Sari la conținut

Snub

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Cub snub sau
Cuboctaedru snub
Dodecaedru snub sau
Icosidodecaedru snub
Două copii chirale ale cubului snub, ca vârfuri alternate (roșii sau verzi) ale cuboctaedrului trunchiat

În geometrie, snub este o operație aplicată unui poliedru. Termenul provine din numele date de Kepler la două poliedre arhimedice: cubul snub (cubus simus) și dodecaedrul snub (dodecaedron simum).[1] În general, snuburile au simetrie chirală cu două forme: cu orientare în sensul acelor de ceasornic sau în sens invers acelor de ceasornic. După numele lui Kepler, un snub poate fi văzut ca o expandare a unui poliedru regulat: deplasarea fețelor, răsucirea lor în jurul centrelor lor, adăugarea de poligoane noi centrate pe vârfurile originale și adăugarea de perechi de triunghiuri care se încadrează între marginile originale.

Terminologia a fost generalizată de Coxeter, cu o definiție ușor diferită, pentru o gamă mai largă de politopuri uniforme.

Snubul Conway

[modificare | modificare sursă]

John Conway a explorat operatorii poliedrici generalizați, definind ceea ce acum se numește acum notația Conway a poliedrelor, care poate fi aplicată poliedrelor și pavărilor. Conway numește operația așa cum a fost definită de Coxeter semisnub.

În această notație, operatorul snub (s) este definit de operatorii dual (d) și giro (g) drept s = dg și este echivalent cu o alternare a unei trunchieri a operatorului ambo. Notația Conway evită operația de alternare (half) a lui Coxeter, deoarece se aplică numai la poliedre cu fețe poligonale cu un număr par de laturi.

Figuri regulate snub
Forme pentru snub Poliedre Pavări euclidiene Pavări hiperbolice
Nume Tetraedru Cub or
octaedru
Icosaedru sau
dodecaedru
Pavare pătrată Pavare hexagonală sau
Pavare triunghiulară
Pavare heptagonală sau
Pavare triunghiulară de ordinul 7
Imagini
Notația
Conway
sT sC = sO sI = sD sQ sH = sΔ 7
Imagini

În 4 dimensiuni Conway propune că 24-celule snub ar trebui numit 24-celule semisnub, deoarece, spre deosebire de poliedrele snub tridimensionale, sunt forme omnitrunchiate alternate, nu este un 24-celule omnitrunchiat alternat. În schimb, este de fapt un 24-celule trunchiat alternat.[2]

Snubul Coxeter, regulat și cvasiregulat

[modificare | modificare sursă]
Un cub snub poate fi construit dintr-un rombicuboctaedru prin rotirea celor 6 fețe pătrate albastre până când cele 12 fețe pătrate albe devin perechi de fețe triunghiulare echilaterale

Terminologia lui Coxeter este ușor diferită, înseamnând o trunchiere alternată, obținâmd cubul snub ca un cuboctaedru snub, iar dodecaedrul snub ca un icosidodecaedru snub. Această definiție este utilizată în denumirile a două poliedre Johnson: bisfenoidul snub și antiprisma pătrată snub, precum și în politopuri din dimensiuni superioare, cum ar fi 4-dimensionalul 24-celule snub, cu simbolul Schläfli extins s{3,4,3} și diagrama Coxeter .

Un poliedru regulat (sau pavare), cu simbolul Schläfli , și diagrama Coxeter are trunchierea definită ca și , și are snubul definit ca trunchierea alternată și . Această construcție alternată necesită ca q să fie par.

Un poliedru cvasiregulat, cu simbolul Schläfli sau r{p,q} și diagrama Coxeter sau , are trunchierea cvasiregulată definită ca sau tr{p,q} și sau și are snubul cvasiregulat definit ca rectificarea trunchiată alternată or htr{p,q} = sr{p,q} și sau .

Cub snub, obținut din cub sau cuboctaedru
Sămânță Rectificat
r
Trunchiat
t
Alternat
h
Nume Cub Cuboctaedru
Cub rectificat
Cuboctaedru trunchiat
Cub cantitrunchiat
Cuboctaedru snub
Cub rectificat snub
Notația Conway C CO
rC
tCO
trC or trO
htCO = sCO
htrC = srC
Simbol Schläfli {4,3} or r{4,3} or tr{4,3}
htr{4,3} = sr{4,3}
Diagramă Coxeter sau sau sau
Imagine

De exemplu, cubul snub al lui Kepler este obținut din cuboctaedrul cvasiregulat, cu un simbol Schläfli vertical și diagrama Coxeter , iar așa este mai explicit numit cuboctaedru snub, exprimat de un simbol Schläfli vertical și o diagramă Coxeter . Cuboctaedrul snub este alternarea cuboctaedrului trunchiat, și .

Poliedrele regulate cu fețe cu un număr par de vârfuri pot fi, de asemenea, snubate ca trunchieri alternate, cum ar fi octaedru snub, așa cum , , este alternarea octaedrului trunchiat, și .. Octaedru snub reprezintă pseudoicosaedrul, un icosaedru regulat cu simetrie piritoedrică.

Tetratetraedrul snub, ca și , este alternarea formei cu simetrie tetraedică, trunchiate, și .

Sămânță Trunchiat
t
Alternat
h
Nume Octaedru Octaedru trunchiat Octaedru snub
Notația Conway O tO htO or sO
Simbol Schläfli {3,4} t{3,4} ht{3,4} = s{3,4}
Diagramă Coxeter
Imagine

Operația snub definită de Coxeter permite să se definească n-antiprismele ca sau , bazate pe n-prismele or , unde este un n-hosoedru regulat, un poliedru degenerat, dar o pavare validă a sferei cu fețe în formă de digoane sau lentile.

Hosoedre snub, {2,2p}
Imagine
Diagrame Coxeter





...
...

SimboluriSchläfli s{2,4} s{2,6} s{2,8} s{2,10} s{2,12} s{2,14} s{2,16}... s{2,∞}
sr{2,2}
sr{2,3}
sr{2,4}
sr{2,5}
sr{2,6}
sr{2,7}
sr{2,8}...
...
sr{2,∞}
Notația Conway A2 = T A3 = O A4 A5 A6 A7 A8... A∞

Același proces se aplică pavărilor snub:

Pavare triunghiulară
Δ
Pavare triunghiulară trunchiată
Pavare triunghiulară snub
htΔ = sΔ
{3,6} t{3,6} ht{3,6} = s{3,6}
Snuburi bazate pe {p,4}
Spațiu Sferic Euclidian Hiperbolic
Imagine
Diagramă
Coxeter
...
Simbol
Schläfli
s{2,4} s{3,4} s{4,4} s{5,4} s{6,4} s{7,4} s{8,4} s{∞,4}
Snuburi cvasiregulate bazate pe r{p,3}
Notația
Conway
Sferic Euclidian Hiperbolic
Imagine
Diagramă
Coxeter
...
Simbol
Schläfli
sr{2,3} sr{3,3} sr{4,3} sr{5,3} sr{6,3} sr{7,3} sr{8,3} ... sr{∞,3}
Notație
Conway
A3 sT sC sau sO sD sau sI sΗ sau sΔ
Snuburi cvasiregulate bazate pe r{p,4}
Spațiu Sferic Euclidian Hiperbolic
Imagine
Diagramă
Coxeter
...
Simbol
Schläfli
sr{2,4} sr{3,4} sr{4,4} sr{5,4} sr{6,4} sr{7,4} sr{8,4} ...sr{∞,4}
Notația
Conway
A4 sC sau sO sQ

Poliedre neuniforme snub

[modificare | modificare sursă]

Poliedrele neuniforme cu toate fețele având un număr par de vârfuri pot fi snubate, inclusiv unele seturi infinite; de exemplu:

Bipiramide snub sdt{2,p}
Bipiramidă pătrată snub
Bipiramidă hexagonală snub
Bipiramide rectificate snub srdt{2,p}
Antiprisme snub s{2,2p}
Imagine ...
Simbol
Schläfli
ss{2,4} ss{2,6} ss{2,8} ss{2,10}...
ssr{2,2}
ssr{2,3}
ssr{2,4}
ssr{2,5}...

Poliedrele stelate uniforme snub (Coxeter)

[modificare | modificare sursă]

Poliedrele stelate snub se construiesc pe baza triunghiurilor Schwarz (p q r), cu unghiurile reflexiilor ordonate rațional, iar toate oglinzile sunt active și alternate.

Poliedre stelate uniforme snub

s{3/2,3/2}

s{(3,3,5/2)}

sr{5,5/2}

s{(3,5,5/3)}

sr{5/2,3}

sr{5/3,5}

s{(5/2,5/3,3)}

sr{5/3,3}

s{(3/2,3/2,5/2)}

s{3/2,5/3}

Politopuri și faguri snub din dimensiuni superioare (Coxeter)

[modificare | modificare sursă]

În general, un 4-politop regulat cu simbolul Schläfli , și diagrama Coxeter , are snubul cu simbolul Schläfli extins și .

Un 4-politop rectificat = r{p,q,r}, și are simbolul snubului = sr{p,q,r} și .

Proiecție ortogonală a 24-celule snub

Există un singur 4-politop convex uniform snub, 24-celule snub. 24-celule regulat are simbolul Schläfli și diagrama Coxeter , iar 24-celule snub este reprezentat de și diagrama Coxeter diagram . El are și o construcție cu o simetrie indice 6 ca sau s{31,1,1} și , și o subsimetrie indice 3 ca sau sr{3,3,4} și sau .

Fagurele 24-celule snub asociat poate fi văzut ca sau s{3,4,3,3} și , iar cu simetrie mai mică sau sr{3,3,4,3} și sau , iar cu o formă cu simetrie mai mică ca sau s{31,1,1,1} și .

Un fagure euclidian este un fagurele sleb hexagonal alternat, s{2,6,3} și sau sr{2,3,6} și sau sr{2,3[3]} și .

Alt fagure euclidian (scaliform) este fagurele sleb pătrat alternat, s{2,4,4} și sau sr{2,41,1} și :

Unicul fagure uniform hiperbolic snub este fagurele pavare hexagonală snub, ca s{3,6,3} și , care poate fi construit și ca un fagure pavare hexagonală alternată, h{6,3,3}, . El poate fi construit și ca s{3[3,3]} și .

Alt fagure hiperbolic (scaliform) este fagurele octaedric snub de ordinul 4, s{3,4,4} și .

  1. ^ la Kepler, Harmonices Mundi, 1619
  2. ^ Conway, 2008, p. 401 Gosset's Semi-snob Polyoctahedron
  • en Coxeter, Harold Scott MacDonald; Longuet-Higgins, M. S.; Miller, J. C. P. (). „Uniform polyhedra”. Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences. The Royal Society. 246 (916): 401–450. Bibcode:1954RSPTA.246..401C. doi:10.1098/rsta.1954.0003. ISSN 0080-4614. JSTOR 91532. MR 0062446. 
  • en Coxeter, H.S.M. Regular Polytopes, (3rd edition, 1973), Dover edition, ISBN: 0-486-61480-8 (pp. 154–156 8.6 Partial truncation, or alternation)
  • en Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN: 978-0-471-01003-6 [1], Googlebooks [2]
    • (Paper 17) H.S.M. Coxeter, The Evolution of Coxeter–Dynkin diagrams, [Nieuw Archief voor Wiskunde 9 (1991) 233–248]
    • (Paper 22) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
    • (Paper 23) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
    • (Paper 24) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
  • en H.S.M. Coxeter, The Beauty of Geometry: Twelve Essays, Dover Publications, 1999, ISBN: 978-0-486-40919-1 (Chapter 3: Wythoff's Construction for Uniform Polytopes)
  • en Norman Johnson Uniform Polytopes, Manuscript (1991)
  • en N.W. Johnson: The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs, Ph.D. Dissertation, University of Toronto, 1966
  • en John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, The Symmetries of Things 2008, ISBN: 978-1-56881-220-5
  • en Eric W. Weisstein, Snubification la MathWorld.
  • en Richard Klitzing, Snubs, alternated facetings, and Stott–Coxeter–Dynkin diagrams, Symmetry: Culture and Science, Vol. 21, No.4, 329–344, (2010) [3]
 v  d  m Operatori poliedrici
Sămânță Trunchiere Rectificare Bitrunchiere Dual Expandare Omnitrunchiere Alternări
Poliedru regulat Poliedru trunchiat Poliedru cvasiregulat Poliedru bitrunchiat Poliedru dual Poliedru cantelat Poliedru omnitrunchiat Alternare (geometrie) Poliedru snub Poliedru snub
t0{p,q}
{p,q}
t01{p,q}
t{p,q}
t1{p,q}
r{p,q}
t12{p,q}
2t{p,q}
t2{p,q}
2r{p,q}
t02{p,q}
rr{p,q}
t012{p,q}
tr{p,q}
ht0{p,q}
h{q,p}
ht12{p,q}
s{q,p}
ht012{p,q}
sr{p,q}