Grup (matematică)

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare
Manevrele posibile ale unui cub Rubik formează un grup.

În matematică, un grup este o structură algebrică ce constă dintr-o mulțime pe care este definită o lege de compoziție internă (operație) care combină două elemente ale mulțimii pentru a forma un al treilea element al aceleiași mulțimi. Pentru a fi un grup, mulțimea și operația trebuie să satisfacă o serie de condiții, denumite axiomele grupurilor, și anume asociativitatea, existența elementului neutru și a elementului simetric. Deși acestea sunt proprietăți cunoscute ale multor structuri matematice, cum ar fi mulțimile de numere—de exemplu, mulțimea numerelor întregi împreună cu operația de adunare formează un grup— formularea axiomelor este detașată de natura concretă a grupului și de operația respectivă. Aceasta permite manevrarea unor entități de origini matematice diferite într-o manieră flexibilă, păstrând în același timp aspecte structurale esențiale comune ale multor tipuri de obiecte. Omniprezența grupurilor în numeroase domenii—atât matematice cât și din afara matematicii—face din ele un principiu central de organizare în matematica contemporană.[1][2]

Grupurile au proprietatea fundamentală de apropiere de noțiunea de simetrie. Un grup de simetrie abstractizează caracteristicile de simetrie ale unui obiect geometric: el constă din mulțimea transformărilor care lasă obiectul neschimbat, și operația de combinare a acestor transformări prin înlănțuirea lor. Asemenea grupuri de simetrie, în particular grupurile Lie continue, joacă un rol important în mai multe discipline academice. Grupurile matriceale, de exemplu, pot fi folosite pentru a înțelege legi fundamentale ale fizicii, în teoria relativității restrânse, sau fenomene de simetrie în chimia moleculară.

Conceptul de grup a apărut în legătură cu studiul ecuațiilor polinomiale, efectuat de către matematicianul francez Évariste Galois în anii 1830. După contribuțiile venite din alte domenii, cum ar fi teoria numerelor și geometria, noțiunea de grup s-a generalizat în preajma anilor 1870. Pentru a explora grupurile, matematicienii au dezvoltat diferite notații pentru a descompune grupurile în părți componente mai mici și mai ușor de înțeles, cum ar fi subgrupurile sau grupurile simple. O teorie a grupurilor s-a dezvoltat pentru grupurile finite, care a culminat cu clasificarea grupurilor simple finite, încheiată în 1983.

Definiție[modificare | modificare sursă]

Un cuplu (G, \circ), format dintr-o mulțime nevidă G și o lege de compoziție internă "\circ" pe G, este grup dacă sunt satisfăcute axiomele:

  1. Axioma închiderii
    Oricare ar fi x și y din G, și rezultatul operației x\circ y face parte din G
  2. Axioma asociativității
    Oricare ar fi x,y,z din G, (x\circ y)\circ z = x\circ(y\circ z)
  3. Axioma elementului neutru
    Există un element e în G, astfel încât e\circ x = x\circ e = x, oricare ar fi x din G
  4. Axioma elementelor simetrice
    Oricare ar fi x din G, există y în G cu proprietatea că x\circ y = y\circ x = e
    Dacă este satisfăcută și axioma
  5. Axioma comutativității
    Oricare ar fi x,y din G, x\circ y = y\circ x
    atunci grupul (G, \circ) se numește grup comutativ sau abelian.

Exemple[modificare | modificare sursă]

Mulțimea numerelor întregi[modificare | modificare sursă]

Unul dintre cele mai cunoscute grupuri este cel format de mulțimea numerelor întregi Z, adică mulțimea numerelor

..., −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, ...[3]

împreună cu operația de adunare. Proprietățile acestui grup folosesc drept model pentru axiomele abstracte date în definițiile de mai sus.

  1. Oricare ar fi doi întregi a și b, suma a + b este tot un număr întreg. Cu alte cuvinte, adunarea întregilor doi câte doi nu poate da un rezultat care să nu fie întreg. Această proprietate este cunoscută sub numerele de închidere în raport cu operația de adunare.
  2. Oricare ar fi trei întregi a, b și c, (a + b) + c = a + (b + c). Cu alte cuvinte, dacă se adună întâi a cu b, și rezultatul se adună cu c, rezultatul final este același cu cel obținut adunând a cu suma dintre b și c, proprietate denumită asociativitate.
  3. Dacă a este un număr întreg, atunci 0 + a = a + 0 = a. Zero se numește element neutru în raport cu adunarea, deoarece adunarea lui la orice întreg dă acel întreg.
  4. Oricare ar fi un întreg a, există un întreg b astfel încât a + b = b + a = 0. Numărul întreg b se numește element simetric al lui a și se notează cu −a.

Un grup de simetrie[modificare | modificare sursă]

Simetriile (adică rotațiile și reflexiile) unui pătrat formează un grup denumit grup diedral, și notat cu D4.[4] Mulțimea conține următoarele operații:

Group D8 id.svg
identitatea (păstrarea așa cum e)
Group D8 90.svg
r1 (rotația cu 90° în sens orar)
Group D8 180.svg
r2 (rotația cu 180°)
Group D8 270.svg
r3 (rotația cu 90° în sens trigonometric)
Group D8 fv.svg
fv (întoarcerea în oglindă pe verticală)
Group D8 fh.svg
fh (întoarcerea în oglindă pe orizontală)
Group D8 f13.svg
fd (întoarcere în oglindă după prima diagonală)
Group D8 f24.svg
fc (întoarcere în oglindă după a doua diagonală)
Elementele grupului de simetrie al unui pătrat (D4). Colțurile sunt colorate și numerotate doar pentru vizualizarea operațiilor.
  • operația identitate, care lasă totul neschimbat, notată id;
  • rotațiile pătratului cu 90° în sens orar, 180°, și 270° în sens orar, notate cu r1, r2 și r3, respectiv;
  • reflexiile după linia mediană verticală și cea orizontală (fh respectiv fv), și reflexiile după cele două diagonale (fd și fc).

Oricare două transformări a și b pot fi compuse, adică aplicată una după cealaltă. Rezultatul aplicării lui a și apoi a lui b se scrie simbolic de la dreapta la stânga astfel:

ba („aplică transformarea b după aplicarea transformării a”). Notația de la dreapta la stânga provine din cea folosită pentru compunerea funcțiilor.

Tabela din dreapta prezintă toate compunerile posibile. De exemplu, rotind cu 270° la dreapta (r3) și apoi oglindind orizontal (fh) se obține același rezultat ca reflezia după diagonală (fd). Utilizând simbolurile de mai sus, cu albastru în tabelă:

fh • r3 = fd.
Tabela grupului D4
id r1 r2 r3 fv fh fd fc
id id r1 r2 r3 fv fh fd fc
r1 r1 r2 r3 id fc fd fv fh
r2 r2 r3 id r1 fh fv fc fd
r3 r3 id r1 r2 fd fc fh fv
fv fv fd fh fc id r2 r1 r3
fh fh fc fv fd r2 id r3 r1
fd fd fh fc fv r3 r1 id r2
fc fc fv fd fh r1 r3 r2 id
Elementul identitate, r1, r2, și r3 formează și ele un subgrup, evidențiat cu roșu (regiunea din stânga-sus). O clasă laterală la stânga și o clasă laterală la dreapta ale acestui subgrup sunt evidențiate cu verde (pe ultimul rând) respectiv cu galben (pe ultima coloană).

Dată fiind mulțimea dată a transformărilor și operația de compunere, acestea formează un grup, respectând axiomele din definiție astfel:

  1. Axioma de închidere cere ca prin compunerea ba a oricare două transformări de simetrie a și b să se obțină tot o transformare de simetrie. Un alt exemplu pentru operația pe grup este
    r3 • fh = fc,
    adică rotația cu 270° în sens orar a pătratului obținut prin oglindirea pe orizontală e echivanetă cu oglindirea după diagonala a doua (fc). Într-adevăr, orice combinație de două transformări de simetrie reprezintă și ea o transformare de simetrie, ceea ce se poate verifica cu ajutorul tabelei grupului.
  2. Asociativitatea tratează cazul compunerii a mai mult de două transformări: date fiind trei transformări a, b și c din D4, există două moduri posibile de calcul a operației "a apoi b apoi c". Cerința
    (ab) • c = a • (bc)
    înseamnă că operația de compunere a trei elemente este independentă de prioritatea operațiilor, adică dacă întâi se face a după b, și apoi c după rezultatul ab este același lucru cu a face a după rezultatul compunerii lui b cu c. De exemplu, (fd • fv) • r2 = fd • (fv • r2) se poate verifica cu ajutorul tabelei grupului din dreapta
    (fd • fv) • r2  =  r3 • r2  =  r1, care este egal cu
    fd • (fv • r2)  =  fd • fh  =  r1.
  3. Elementul neutru este transformarea identică, ce lasă totul neschimbat: pentru orice transformare a, efectuarea transformării identice după a (sau a lui a după transformarea identică) e același lucru cu operarea transformării a; în formă simbolică,
    id • a = a,
    a • id = a.
  4. Elementul simetric este cel care inversează transformarea al cărui element simetric este. Fiecare transformare are o astfel de transformare: identitatea, oglindirile fh, fv, fd, fc și rotația la 180° r2 sunt propriile inverse, deoarece prin efectuarea fiecăreia de două ori se obține orientarea inițială a pătratului. Rotațiile r3 și r1 sunt fiecare elementul simetric al celeilalte. Simbolic,
    fh • fh = id,
    r3 • r1 = r1 • r3 = id.

Spre deosebire de grupul numerelor întregi, în care ordinea operațiilor este irelevantă, în D4 ea contează: fh • r1 = fc dar r1 • fh = fd. Cu alte cuvinte, D4 nu este grup abelian, ceea ce face structura acestui grup mai dificilă decât cea a numerelor întregi.

Istorie[modificare | modificare sursă]

Conceptul modern de grup abstract s-a dezvoltat din mai multe domenii ale matematicii.[5][6][7] Motivația originală pentru teoria grupurilor a fost căutarea soluțiilor ecuațiilor polinomiale de grad mai mare ca 4. Matematicianul francez din secolul al XIX-lea, Évariste Galois, pe baza muncii anterioare a lui Paolo Ruffini și Joseph-Louis Lagrange, a dat un criteriu pentru existența soluțiilor unei anume ecuații polinomiale în termeni de grup de simetrie al rădăcinilor polinomului. Elementele acestui grup Galois corespund anumitor permutări ale rădăcinilor. La început, ideile lui Galois au fost respinse de contemporani, fiind publicate doar postum.[8][9] Grupuri de permutare mai general au fost cercetate mai ales de Augustin Louis Cauchy. Lucrarea lui Arthur Cayley intitulată Despre teoria grupurilor, în funcție de ecuația simbolică θn = 1 (1854) dă prima definiție abstractă a unui grup finit.[10]

Geometria a fost al doilea domeniu în care grupurile au ajuns să fie folosite sistematic, mai ales grupurile de simetrie ca parte a programului Erlangen din 1872 al lui Felix Klein.[11] După apariția unor geometrii noi, cum ar fi cea hiperbolică și cea proiectivă, Klein a folosit teoria grupurilor pentru a le organiza într-o manieră mai coerentă. Ducând aceste idei mai departe, Sophus Lie a fondat studiul grupurilor Lie în 1884.[12]

Al treilea domeniu care a contribuit la teoria grupurilor a fost teoria numerelor. Unele structuri de grup abelian fuseseră utilizate implicit în lucrarea de teoria numerelor a lui Carl Friedrich Gauss intitulată Disquisitiones Arithmeticae (1798), și mai explicit de Leopold Kronecker.[13] În 1847, Ernst Kummer a dus la un apogeu primele încercări de a demonstra ultima teoremă a lui Fermat dezvoltând grupurile care descriu descompunerea în factori primi.[14]

Convergența acestor surse variate înspre o teorie uniformă a grupurilor a început cu lucrarea Traité des substitutions et des équations algébriques (1870) a lui Camille Jordan.[15] Walther von Dyck (1882) a dat prima enunțare a definiției moderne a grupurilor abstracte.[16] După începutul secolului al XX-lea, grupurile au căpătat recunoaștere după munca de pionierat a lui Ferdinand Georg Frobenius și William Burnside, care au lucrat la teoria reprezentării grupurilor finite, teorema reprezentării modulare a lui Richard Brauer și după lucrările lui Issai Schur.[17] Teoria grupurilor Lie, și mai general, cea a grupurilor local compacte a fost înaintată de Hermann Weyl, Élie Cartan și mulți alții.[18] Teoria grupurilor algebrice a fost schițată întâi de Claude Chevalley (spre sfârșitul anilor 1930) și ulterior de Armand Borel și Jacques Tits.[19]

Anul Teoriei Grupurilor, organizat de Universitatea Chicago în 1960–1961 a reunit matematicieni ca Daniel Gorenstein, John G. Thompson și Walter Feit, punând bazele unei colaborări care, cu ajutorul altor matematicieni, a dus la clasificarea tuturor grupurilor finite în 1982. Acest proiect a depășit tentativele anterioare prin dimensiune, atât în termeni de lungime a demonstrațiilor cât și ca număr de cercetători. Se lucrează încă la simplificarea demonstrației acestei clasificări.[20]

Consecințe simple ale axiomelor grupurilor[modificare | modificare sursă]

Proprietățile de bază ale grupurilor rezultă din axiomele definițiilor.[21] De exemplu, aplicarea repetată a axiomei de asociativitate arată că legea

abc = (ab) • c = a • (bc)

se generalizează la mai mult de trei factori. Deoarece aceasta înseamnă că parantezele pot fi introduse oriunde într-o serie de termeni, ele, de regulă, se omit.[22]

Axiomele pot fi reduse la a afirma doar existența unui element neutru la stânga și a unui invers la stânga, dar se poate demonstra că ambele înseamnă că există și element neutru la dreapta și element simetric la dreapta.[23]

Unicitatea elementului simetric și a elementului neutru[modificare | modificare sursă]

Două consecințe importante ale axiomelor grupurilor sunt unicitatea elementului neutru și a elementelor simetrice. Poate exista un singur element neutru într-un grup, și fiecare element dintr-un grup poate avea doar un singur element simetric. Astfel, se vorbește despre elementul neutru și despre elementul simetric al unui element.[24]

Pentru a demonstra unicitatea unui element simetric al lui a, se presupune că a are două elemente simetrice, notate cu l și r. Atunci

l = le      fiindcă e este elementul neutru
= l • (ar)      deoarece r este element simetric al lui a, deci e = ar
= (la) • r      prin asociativitate, care permite rearanjarea parantezelor
= er      întrucât l este un invers al lui a, adică la = e
= r      fiindcă e este elementul neutru

Deci cei doi termeni l și r sunt legați printr-un lanț de egalități. Cu alte cuvinte, există un singur element invers al lui a.

Împărțirea[modificare | modificare sursă]

În grupuri, se poate efectua împărțirea: date fiind elementele a și b ale grupului G, există exact o soluție x din G a ecuației xa = b.[24] De fapt, înmulțirea la dreapta a ecuației cu a−1 dă soluția x = xaa−1 = ba−1. Analog, există o singură soluție y în G pentru ecuația ay = b, și anume y = a−1b. În general, x și y nu sunt în mod necesar egale.

Concepte de bază[modificare | modificare sursă]

Pentru a înțelege grupurile dincolo de nivelul unor simple artificii simbolice, sunt necesare niște concepte mai complexe. Există un principiu conceptual ce stă la baza tuturor noțiunilor următoare: pentru a profita de structura oferită de grupuri (structură pe care mulțimile, de exemplu, nu o au) construcțiile legate de grupuri trebuie să fie compatibile cu operatorul grupului. Această compatibilitate se manifestă la nivelul notațiilor. De exemplu, grupurile pot fi legate unul cu celălalt prin intermediul unor funcții numite omomorfisme de grup. Aceste omomorfisme sunt obligate să respecte structurile grupurilor într-un sens foarte precis. Structura grupurilor poate fi înțeleasă și prin separarea lor în componente numite subgrupuri și grupuri cât. Principiul „păstrării structurilor”—un principiu adesea citat în matematică—este un exemplu de lucru într-o categorie matematică, în acest caz, categoria grupurilor.[25]

Omomorfisme de grup[modificare | modificare sursă]

Omomorfismele de grup sunt funcții care păstrează structura grupului. O funcție a: GH între două grupuri este omomorfism dacă ecuația

a(gk) = a(g) • a(k).

este valabilă pentru orice element g, k din G, adică rezultatul este același dacă se efectuează operația de grup după sau înaintea aplicării transformării a. Această cerință asigură că a(1G) = 1H, și că a(g)−1 = a(g−1) pentru orice g din G. Astfel, un omomorfism de grup respectă toată structura lui G furnizată de axiomele grupului.[26]

Două grupuri G și H se numesc izomorfe dacă există omomorfisme de grup a: GH și b: HG, astfel încât aplicând cele două funcții una după cealaltă (în ambele ordini posibile) se obține funcția identitate a mulțimilor G respectiv H. Adică, a(b(h)) = h și b(a(g)) = g pentru orice g din G și h din H. Dintr-un punct de vedere abstract, grupurile izomorfe conțin aceeași informație. De exemplu, a demonstra că gg = 1 pentru un element g din G este echivalent cu a demonstra că a(g) • a(g) = 1, deoarece aplicând a asupra primei egalități, rezultă cea de-a doua, și aplicând b celei de-a doua egalități, rezultă prima.

Subgrupuri[modificare | modificare sursă]

Informal, un subgrup este un grup H conținut într-un grup mai mare, G.[27] Concret, elementul identitate al lui G este conținut în H, iar dacă h1 și h2 sunt din H, atunci și h1h2 și h1−1 sunt în H, deci elementele lui H, echipate cu operația pe grupuri a lui G restrânsă la submulțimea H a lui G, formează într-adevăr un grup.

În exemplul de mai sus, identitatea și rotațiile constituie un subgrup R = {id, r1, r2, r3}, evidențiat cu roșu pe tabelul grupului: oricare două rotații compuse formează tot o rotație, și o rotație poate fi inversată de rotația complementară, 270° pentru 90°, 180° pentru 180°, și 90° pentru 270°. Testul de subgrup este o condiție necesară și suficientă pentru ca o submulțime H a unui grup G să fie subgrup: este suficient să se verifice că g−1hH pentru orice elemente g, hH. Cunoașterea subgrupurilor este importantă pentru înțelegerea proprietăților de ansamblu ale grupului.

Dată fiind o submulțime S a unui grup G, subgrupul generat de S constă din produsele elementelor lui S cu inversele lor. Este cel mai mic subgrup din G care conține S.[28] În exemplul introductiv de mai sus, subgrupul generat de r2 și fv constă din cele două elemente, elementul identitate și fh = fv • r2. Din nou, acesta este un subgrup, deoarece combinând oricare două elemente din cele patru sau inversele acestora dă un element al subgrupului.

Clase laterale[modificare | modificare sursă]

În multe situații, este de dorit să se considere două elemente de grup ca fiind același, dacă ele diferă printr-un element al unui subgrup dat. În exemplul de mai sus, în D4, după ce se efectuează o întoarcere în oglindă, pătratul nu se mai întoarce în configurația dată de r2 doar prin aplicarea operațiilor de rotație (fără întoarceri în oglindă). Clasele laterale sunt utilizate pentru a formaliza aceasta: un subgrup H definește clasele laterale la stânga și la dreapta, care pot fi considerate a fi translații ale lui H printr-un element arbitrar g al grupului. În termeni simbolici, clasele laterale la stânga și la dreapta pentru H care conțin g sunt

gH = {gh, hH} și respectiv Hg = {hg, hH}.[29]

Clasele laterale ale oricărui subgrup H formează o partiție a lui G; adică, două clase laterale la stânga sunt fie egale, fie intersecția lor este o mulțime vidă.[30] Primul caz, g1H = g2H are loc dacă și numa dacă g1−1g2H, adică dacă cele două elemente diferă printr-un element din H. Analog și pentru clasele laterale la dreapta ale lui H. Clasele laterale la stânga și la dreapta ale lui H pot să fie sau nu egale. Dacă sunt, adică pentru orice g din G, gH = Hg, atunci despre H se spune că este un subgrup normal. N poate fi considerat mulțime de clase laterale.

În D4, grupul de simetrie de mai sus, clasele laterale la stânga gR ale subgrupului R care constă din transformările de rotație sunt fie egale cu R, dacă g este un element al lui R, sau altfel egal cu U = fvR = {fv, fd, fh, fc} (cu verde). Subgrupul R este și el normal, deoarece fvR = U = Rfv și analog pentru orice element diferit de fv.

Grupuri cât[modificare | modificare sursă]

În plus față de ignorarea structurii interne a unui subgrup prin luarea în considerare a claselor laterale, este de dorit dotarea acestei entități cu o lege de grup denumită grup cât sau grup factor. Pentru ca aceasta să fie posibil, subgrupul trebuie să fie normal. Dat fiind un subgrup normal N, grupul cât este definit prin

G / N = {gN, gG}, "G modulo N".[31]

Această mulțime moștenește o operație pe grupuri (uneori numită înmulțire a claselor laterale, sau adunare a claselor laterale) de la grupul original G: (gN) • (hN) = (gh)N pentru orice g și h din G. Această definiție este motivată de ideea că aplicația GG / N care îi asociază fiecărui element g clasa sa laterală gN este un omomorfism de grup, sau de considerațiile abstracte generale numite proprietăți universale. Clasa laterală eN = N servește drept element neutru în acest grup, iar inversa lui Ng în grupul cât este (gN)−1 = (g−1)N.e[›]

R U
R R U
U U R
Tabela grupului cât D4 / R.

Elementele grupului cât D4 / R sunt R care este elementul neutru, și U = fvR. Operația pe grup este cea din dreapta. De exemplu, UU = fvR • fvR = (fv • fv)R = R. Atât subgrupul R = {id, r1, r2, r3}, cât și câtul corespunzător sunt abeliene, pe când D4 nu este abelian.

Grupurile cât și subgrupurile formează împreună o modalitate de a descrie fiecare grup prin prezentare: orice grup este câtul grupului liber peste generatoarele grupurilor, împărțite la subgrupul relațiilor. Grupul diedral D4, de exemplu, poate fi generat de două elemente, r și f (de exemplu, r = r1, rotația la dreapta f = fv oglindirea în verticală—sau oricare alta), ceea ce înseamnă că toate transformările de simetrie ale pătratului sunt o compunere finită de transformări de simetrie sau transformări inverse ale lor. Împreună cu relațiile

r 4 = f 2 = (rf)2 = 1,[32]

grupul este descris complet. O prezentare a grupului se poate folosi pentru a construi graful Cayley, un dispozitiv folosit pentru a reprezenta grafic grupurile discrete.

Subgrupurile și grupurile cât sunt legate în felul următor: o submulțime H a lui G se poate vedea ca aplicație injectivă HG, adică orice element al codomeniului cel mult un element căruia îi corespunde prin aplicație. În general, omomorfismele nu sunt nici injective nici surjective. Nucleul și imaginea omomorfismelor de grup și prima teoremă de izomorfism tratează acest fenomen.

Aplicații[modificare | modificare sursă]

Un şablon periodic dă naştere unui grup de tapet
Grupul fundamental al unui plan din care lipseşte un punct este format din curbe închise în jurul punctului care lipseşte.

Există numeroase aplicații ale grupurilor. Un punct de pornire îl reprezintă mulțimea Z a numerelor întregi împreună cu operația de adunare. Dacă se consideră în schimb operația de înmulțire, se obțin grupuri multiplicative, care sunt predecesoarele unor importante construcții din algebra abstractă.

Grupurile au aplicații și în multe alte domenii matematice. Unele obiecte matematice pot fi examinate cu ajutorul grupurilor lor asociative. De exemplu, Henri Poincaré a pus bazele a ceea ce astăzi se numește topologie algebrică introducând noțiunea de grup fundamental.[33] Cu ajutorul acestei legături, proprietăți topologice cum ar fi proximitatea și continuitatea se traduc în proprietăți ale grupurilor. De exemplu, elementele grupului fundamental sunt reprezentate prin bucle. În a doua imagine de la dreapta arată niște bucle într-un plan din care lipsește un punct. Bucla albastră este considerată a fi nul-omotopică (deci irelevantă), deoarece poate fi redusă continuu la un punct. Prezența găurii împiedică bucla portocalie să fie redusă la un punct. Grupul fundamental al planului fără un punct este ciclic infinit, generat de bucla portocalie (sau de oricare curbă care ocolește gaura o dată). Astfel, grupul fundamental detectează gaura.

În aplicații mai recente, unele construcții geometrice au fost motivate de noțiuni din teoria grupurilor. Într-un mod similar, teoria grupurilor geometrice implică concepte geometrice, de exemplu în studiul grupurilor hiperbolice.[34] Alte domenii în care apar aplicații cruciale ale grupurilor sunt geometria algebrică și teoria numerelor.[35]

Există și multe alte aplicații practice. Criptografia se bazează pe combinația dintre abordarea din teoria grupurilor abstracte și cunoștințile algoritmice obținute în teoria computațională a grupurilor, în particular la implementarea în domeniul grupurilor finite.[36] Aplicațiile teoriei grupurilor nu sunt restrânse la matematică; științe cum sunt fizica, chimia și informatica utilizează acest concept.

Numere[modificare | modificare sursă]

Multe mulțimi de numere, cum ar fi numerele întregi și cele raționale prezintă o structură naturală de grup. În unele cazuri, cum este cel al numerelor raționale, atât adunarea cât și înmulțirea sunt operații care dau naștere unor structuri de grup. Asemenea structuri sunt predecesoarele unor structuri algebrice mai generale, denumite inele și corpuri.

Numerele întregi[modificare | modificare sursă]

Grupul numerelor întregi Z cu operația de adunare, notat (Z, +), a fost descris mai sus. Numerele întregi, împreună cu operația de înmulțire, (Z, ·) nu formează un grup. Axiomele de închidere, asociativitate și element neutru sunt satisfăcute, dar nu există întotdeauna element simetric: de exemplu, a = 2 este număr întreg, dar unica soluție a ecuației a · b = 1 în acest caz este b = 1/2, care nu este număr întreg. Deci nu toate elementele mulțimii Z are un element simetric multiplicativ.k[›]

Numerele raționale[modificare | modificare sursă]

Dorința existenței elementului simetric multiplicativ sugerează luarea în considerare a fracțiilor

a/b

Fracțiile de numere întregi (cu b nenul) sunt cunoscute ca numere raționale. Mulțimea tuturor acestor fracții este adesea notată cu Q. Mai este un mic obstacol pentru ca (Q, ·), structura formată din mulțimea numerelor raționale cu operația de înmulțire, să fie grup: deoarece numărul rațional 0 nu are element simetric (adică, nu există x astfel încât x · 0 = 1), (Q, ·) nu este grup.

Dar mulțimea numerelor raționale nenule Q \ {0} = {qQ, q ≠ 0} formează un grup abelian cu operația de înmulțire, grup notat (Q \ {0}, ·). Axiomele de element neutru și asociativitate derivă din proprietățile numerelor întregi. Cerința de închidere rămâne valabilă după eliminarea lui zero, deoarece produsul a două numere raționale nenule nu este niciodată zero. În cele din urmă, elementul simetric al lui a/b este b/a, deci și axioma elementului simetric este satisfăcută.

Numerele raționale (inclusiv 0) formează un grup cu operația de adunare. Combinarea înmulțirii și adunării dă structuri mai complicate, denumite inele și—dacă este posibilă împărțirea, cum e cazul cu mulțimea Q—corpuri, care ocupă o poziție centrală în algebra abstractă. Argumentele din teoria grupurilor stau la baza unor noțiuni din teoria acestor entități.

Numerele întregi nenule modulo un număr prim[modificare | modificare sursă]

Pentru orice număr prim p, aritmetica modulară furnizează grupul multiplicativ al întregilor modulo p.[37] Elementele sale sunt numerele întregi nedivizibile cu p, modulo p, adică două numere sunt considerate echivalente dacă diferența lor este divizibilă cu p. De exemplu, dacă p = 5, grupul are patru elemente: 1, 2, 3, 4: multiplii lui 5 sunt excluși, 6 și −4 sunt echivalente cu 1 etc. Operația de grup este cea de înmulțire modulo p. De aceea, 4 · 4 = 1, întrucât produsul lor, 16, este echivalent cu 1, deoarece acesta este restul împărțirii lui 16 la 5, ceea ce se notează cu

16 ≡ 1 (mod 5).

Faptul că p este prim asigură că produsul a două numere întregi din care niciunul nu este divizibil cu p nu este nici el divizibil cu p, de unde rezultă că această mulțime este închisă în raport cu înmulțirea. Elementul neutru este 1, ca în cazul oricărui grup multiplicativ, iar asocativitatea rezultă din proprietatea corespunzătoare a numerelor întregi. În fine, axioma elementului invers cere ca unui întreg a nedivizibil cu p, să îi corespundă un înreg b astfel încât

a · b ≡ 1 (mod p), adică p să dividă diferența a · b − 1.

Elementul simetric b poate fi găsit folosind identitatea lui Bézout și faptul că cel mai mare divizor comun cmmdc(a, p) este egal cu 1.[38] În cazul p = 5 de mai sus, elementul simetric al lui 4 este 4, iar cel al lui 3 este 2, deoarece 3 · 2 = 6 ≡ 1 (mod 5). Astfel, sunt îndeplinite toate axiomele grupurilor. De fapt, acest exemplu este analog cu exemplul (Q\{0}, ·) de mai sus, deoarece este grupul multiplicativ al elementelor nenule din corpul finit Fp, notat Fp×.[39] Aceste grupuri joacă un rol esențial în criptografia cu chei publice.

Grupuri ciclice[modificare | modificare sursă]

Rădăcinile complexe de ordinul 6 formează un grup ciclic. z este un element primitiv, dar z2 nu este, deoarece puterile impare ale lui z nu sunt şi puteri ale lui z2.

Un grup ciclic este un grup ale cărui elemente sunt puteri (când operația de grup este considerată a fi de natură aditivă, se preferă termenul multipli) ai unui element a.[40] În notația multiplicativă, elementele grupului sunt:

..., a−3, a−2, a−1, a0 = e, a, a2, a3, ...,

unde a2 înseamnă aa, și a−3 reprezintă a−1a−1a−1=(aaa)−1 etc. Un astfel de element a se numește generator sau element primitiv al grupului.

Un exemplu tipic pentru această categorie de grupuri îl reprezintă grupurile rădăcinilor complexe de ordin n ale unității, compus din mulțimea numerelor complexe z ce satisfac relația zn = 1 și operația de multiplicare a numerelor complexe.[41] Orice grup ciclic cu n elemente este izomorf cu acest grup. În baza teoriei corpurilor, se poate arăta că grupul Fp× este ciclic: pentru p = 5, 3 este generator deoarece 31 = 3, 32 = 9 ≡ 4, 33 ≡ 2, și 34 ≡ 1. Un grup ciclic infinit este izomorf cu (Z, +), grupul numerelor întregi cu operația de adunare introdus mai sus.[42] Întrucât aceste două prototipuri sunt abeliene, rezultă că orice grup ciclic este abelian.

Studiul grupurilor abeliene este avansat, și include teorema fundamentală a grupurilor abeliene generate finit; multe noțiuni legate de grupuri, cum ar fi cele de centru și comutator, descriu punctul până la care un grup dat nu este abelian.[43]

Grupurile de simetrie[modificare | modificare sursă]

Grupurile de simetrie sunt grupuri compuse din transformări de simetrie ale unor obiecte matematce date—fie de natură geometrică, cum ar fi grupul de simetrie al pătratului din exemplul introductiv, fie de natură algebrică, cum ar fi ecuațiile polinomiale și soluțiile lor.[44] Conceptual, teoria grupurilor poate fi văzută ca fiind studiul simetriei. Matematica simetriilor simplifică mult studiul obiectelor geometrice sau analitice. Se spune că un grup acționează asupra unui alt obiect matematic X dacă fiecare element al grupului efectuează asupra lui X o operație compatibilă cu legea de compoziție a grupului. În exemplul din dreapta de mai jos, un element de ordinul 7 din grupul triunghiurilor (2,3,7) acționează asupra mozaicului prin permutarea triunghiurilor evidențiate (și a celorlalte). Prin acțiunea grupului, șablonul grupului este legat de structura obiectului asupra căreia acționează.

Rotaţiile şi oglindirile formează grupul de simetrie al unui icosaedru mare.

În subdomeniile chimiei, cum ar fi cristalografia, grupurile spațiale și grupurile punctuale descriu simetriile moleculare și cristaline. Aceste simetrii stau la baza comportamentului fizic și chimic al acestor sisteme, iar teoria grupurilor permite simplificări ale analizei mecanice cuantice a acestor proprietăți.[45] De exemplu, teoria grupurilor este folosită pentru a arăta că tranzițiile optice între anumite niveluri cuantice nu pot avea loc din cauza simetriei stărilor implicate.

Grupurile nu sunt doar utile în evaluarea simetriilor moleculelor, ci prezic și că moleculele pot uneori să-și schimbe simetria. Efectul Jahn-Teller este o distorsiune a unei molecule de înaltă simetrie ce apare când ea adoptă o anumită stare fundamentală de simetrie mai scăzută dintr-o mulțime de stări fundamentale posibile legate una de cealaltă prin operații de transformare de simetrie a moleculei.[46][47]

Analog, teoria grupurilor ajută la prezicerea schimbărilor proprietăților fizice care au loc atunci când un material suferă o tranziție de fază, de exemplu, de la o formă cristalină cubică la una tetraedrală. Un exemplu este cel al materialelor ferolectrice, în care trecerea dintr-o stare paraelectrică într-una feroelectrică are loc la temperatura Curie și se leagă de o trecere dintr-o stare paraelectrică de înaltă simetrie în starea feroelectrică, de simetrie inferioară.[48]

Asemenea ruperi spontane ale simetriei și-au găsit și alte aplicații în fizica particulelor elementare, unde aparițiile lor sunt legate de aparițiile bosonilor Goldstone.

C60a.png Ammonia-3D-balls-A.png Cubane-3D-balls.png Hexaaquacopper(II)-3D-balls.png Uniform tiling 73-t2 colored.png
Buckminsterfulerena prezintă
simetrie icosaedrală.
Amoniacul, NH3. Grupul său de simetrie e de ordinul 6, generat de o rotație de 120° și o reflexie. Cubanul C8H8 prezintă
simetrie octaedrală.
Ionul complex Hexaacvacupru(II), [Cu(OH2)6]2+. Comparativ cu o formă perfect simetrică, molecula este dilatată pe verticală cu aproximativ 22% (efectul Jahn-Teller). Grupul triunghiurilor (2,3,7), un grup hiperbolic, acționează asupra acestei teselații a planului hiperbolic.

Grupurile de simetrie finite cum ar fi grupurile Mathieu sunt utilizate în teoria codificărilor, care aer la rândul său aplicații în corecția erorilor în transmisia de date, și în CD playere.[49] O altă apicație o reprezintă teoria diferențială Galois, care caracterizează funcțiile care au primitive de o anumită formă, dând astfel criterii bazate pe teoria grupurilor pentru când soluțiile anumitor ecuații diferențiale se comportă bine. Proprietățile geometrice ce rămân stabile în raport cu acțiunile de grup sunt studiate în teoria invarianților.[50]

Grupul general liniar și teoria reprezentării[modificare | modificare sursă]

Doi vectori (stânga) înmulțiți cu niște matrice (centru și dreapta). Ilustrația centrală reprezintă o rotație în sens orar cu 90°, iar cea din dreapta îi mărește abscisa de două ori.

Grupurile matriceale constau dintr-o mulțime de matrice și operația de multiplicare a matricelor. Grupul general liniar GL(n, R) constă din toate matricele inversabile nxn cu elemente reale.[51] Subgrupurile lor sunt denumite grupuri matriceale sau grupuri liniare. Grupul diedral din exemplul menționat mai sus poate fi văzut ca un grup matriceal (foarte mic). Un alt grup matriceal important este grupul special ortogonal SO(n). El descrie toate rotațiile posibile în n dimensiuni. Prin intermediul unghiurilor Euler, matricele de rotație sunt folosite în grafica pe calculator.[52]

Teoria reprezentării este atât o aplicație a conceptului de grup cât și o teorie importantă pentru înțelegerea în profunzime a grupurilor.[53][54] Ea studiază grupul prin intermediul acțiunilor de grup asupra altor spații. O clasă mai largă de reprezentări ale grupurilor sunt reprezentările liniare, adică grupul acționează asupra unui spațiu vectorial, cum ar fi spațiul euclidian tridimensional R3. O reprezentare a lui G pe un spațiu vectorial real n-dimensional este doar un omomorfism de grup

ρ: GGL(n, R)

de la grupul dat la grupul general liniar. Astfel, operația grupului, ce poate fi dată abstract, se traduce în multiplicarea matricelor, făcându-l astfel accesibil calculelor explicite.

Dată fiind o acțiune de grup, aceasta dă noi sensuri studiului obiectului asupra căruia acționează. Pe de altă parte, ea dă informații și despre grup. Reprezentările de grup sunt un principiu de organizare în teoria grupurilor finite, grupurilor Lie, grupurilor algebrice și grupurilor topologice, mai ales grupurilor (local) compacte.[53][55]

Grupurile Galois[modificare | modificare sursă]

Grupurile Galois au fost dezvoltate pentru a ajuta rezolvarea ecuații polinomiale identificând caracteristicile de simetrie ale acestuia.[56][57] De exemplu, soluțiile ecuației de gradul doi ax2 + bx + c = 0 sunt date de

x = (minus b plus sau minus radical din (b pătrat minus 4 a c)) pe 2a

Schimbând "+" și "−" din expresie, adică permutarea celor două soluții poate fi văzută ca fiind o (forate simplă) operație a grupului. Se cunosc formule similare pentru ecuațiile cubice și pentru cele cuadratice, dar nu există în general pentru ecuațiile de gradul cinci sau mai mare.[58] Proprietățile abstracte ale grupurilor Galois asociate cu polinoamele (în particular, solvabilitatea lor) dau un criteriu pentru polinoame ale căror soluții se pot exprima ca radicali, adică soluții exprimabile doar prin adunări, înmulțiri, și radicali similare cu formula de mai sus.[59]

Problema poate fi tratată mai elegant cu ajutorul teoriei corpurilor: considerând corpul de descompunere a unui polinom deplasează problema pe terenul teoriei corpurilor. Teoria Galois modernă generalizează acest tip de grupuri Galois la extensiile de corp și stabilește—cu ajutorul teoremei fundamentale a teoriei Galois—o relație precisă înter corpuri și grupuri, subliniind din nou omniprezența grupurilor în matematică.

Grupuri finite[modificare | modificare sursă]

Un grup se numește finit dacă are un număr finit de elemente. Numărul de elemente dintr-un grup G se numește ordinul grupului G.[60] O categorie importantă o reprezintă grupurile simetrice SN, grupurile permutărilor de N litere. De exemplu, grupul simetric de 3 litere S3 este grupul format din toate permutările posibile de trei litere ABC, conținând astfel elementele ABC, ACB, ..., până la CBA, în total 6 (sau 3 factorial) elemente. Această clasă este fundamentală, întrucât orice grup finit poate fi exprimat ca subgrup al grupului simetric SN pentru un număr întreg N (teorema lui Cayley). Analog cu grupul transformărilor de simetrie ale pătratului de mai sus, S3 poate fi interpretat și ca grupul de simetrie al unui triunghi echilateral.

Ordinul unui element a dintr-un grup G este cel mai mic număr întreg pozitiv n cu proprietaeta a n = e, unde a n reprezintă

\underbrace{{} \  a \ \cdots\  a\  {}}_{n \text{ factori}},

adică aplicarea opreației • asupra a n copii ale lui a. (Dacă • reprezintă multiplicarea, atunci an corespunde lui a la puterea n.) În grupurile infinite, un astfel de n se poate să nu existe, în care caz se spune că ordinul lui a este infinit. Ordinul unui element este egal cu ordinul subgrupului ciclic generat de acest element.

Tehnici de numărare mai sofisticate, de exemplu numărarea claselor laterale, dau afirmații mai precise despre grupurile finite: teorema lui Lagrange spune că pentru un grup finit G ordinul oricărui subgrup finit H divide ordinul lui G.

Grupul diedral (discutat mai sus) este un grup finit de ordinul 8. Ordinul lui r1 este 4, ca și ordinul subgrupului R pe care îl generează. Ordinul elementelor de reflexie fv etc. este 2. Ambele ordine divid pe 8, așa cum prezice teorema lui Lagrange. Grupurile Fp× date mai sus au ordinul p − 1.

Clasificarea grupurilor simple finite[modificare | modificare sursă]

Matematicienii se străduiesc adesea să realizeze o clasificare completă a unei noțiuni matematice. În contextul grupurilor finite, acest scop conduce rapid la dificultăți. Conform teoremei lui Lagrange, grupurile finite de ordin p, număr prim, sunt automat și grupuri ciclice (și abeliene), notate Zp. Se poate arăta că și grupurile de ordinul p2 sunt abeliene, afirmație care însă nu se generalizează la ordinul p3, după cum reiese din contraexemplul grupului nonabelian D4 de ordin 8 = 23 arătat mai sus.[61] Sistemele CAS pot fi utilizate pentru a genera liste de grupuri mici, dar nu există clasificări ale tuturor grupurilor finite. Un pas intermediar îl reprezintă clasificarea grupurilor finite simple. Un grup netrivial se numește grup simplu dacă singurele sale subgrupuri normale sunt grupul trivial și grupul însuși. Teorema Jordan-Hölder prezintă grupurile simple ca elemente constitutive ale tuturor grupurilor finite.[62] Generarea listei tuturor grupurilor finite simple a fost o mare realizare din teoria grupurilor. Richard Borcherds, laureat al Medaliei Fields pe 1998, a reușit să demonstreze conjecturile monstrous moonshine, o relație surprinzătoare și profundă între cel mai mare grup sporadic finit simplu—„grupul monstru”—cu anumite funcții modulare, o componentă a analizei complexe clasice și teoria corzilor, o teorie ce intenționează să unifice descrierea multor fenomene fizice.[63]

Grupuri cu structură adițională[modificare | modificare sursă]

Multe grupuri sunt și exemple de alte structuri matematice. În termeni de teoria categoriilor, ele sunt obiecte de grup într-o categorie, adică sunt obiecte (exemple de alte structuri matematice) care suferă unele transformări (numite morfisme) care mimează axiomele grupurilor. De exemplu, toate grupurile constituie o mulțime, deci un grup este un obiect de grup din categoria mulțimilor.

Grupuri topologice[modificare | modificare sursă]

Cercul unitate din planul complex împreună cu operația de multiplicare a numerelor complexe este un grup Lie și deci un grup topologic. Este topologic deoarece multiplicarea și împărțirea numerelor complexe sunt continue. El este o varietate și deci grup Lie, deoarece fiecare vecinătate, cum ar fi arcul de cerc roșu din figură, arată ca o porțiune din dreapta reală (jos).

Unele spații topologice pot fi dotate cu o lege de compoziție de grup. Pentru ca proprietățile topologice și cele de grup să se combine corect, operațiile grupului trebuie să fie continue, adică, gh, și g−1 nu trebuie să varieze foarte puternic dacă g și h variază doar puțin. Astfel de grupuri se numesc grupuri topologice, și ele sunt obiectele de grup din categoria spațiilor topologice.[64] Cele mai simple exemple sunt mulțimea numerelor reale R împreună cu operația de adunare, (R \ {0}, ·), și, analog, alte spații topologice cum ar fi numerele complexe sau numerele p-adice. Toate aceste grupuri sunt local compacte, și deci au măsură Haar și pot fi studiate prin analiză armonică. Primele oferă un formalism abstract de integrale invariante. Invarianța înseamnă, în cazul numerelor reale de exemplu:

\int f(x)\,dx = \int f(x+c)\,dx

pentru orice c constant. Grupurile matriceale peste aceste grupuri cad sub incidența acestui regim, ca și inelele adelice și grupurile algebrice adelice, structuri importante pentru teoria numerelor.[65] Grupurile Galois de extensii de grupuri infinite cum ar fi grupul absolut Galois pot și ele să fie echipate cu o topologie, așa-numita topologie Krull, importantă pentru generalizarea legăturii schițate mai sus între corpuri și grupuri și extensii de grupuri infinite.[66] O generalizare avansată a acestei idei, adaptată nevoilor geometriei algebrice, este grupul fundamental étale.[67]

Grupuri Lie[modificare | modificare sursă]

Grupurile Lie (denumite în cinstea lui Sophus Lie) sunt grupuri cu structură de varietate, adică spații care local seamănă cu un spațiu euclidian de dimensiune corespunzătoare.[68] Din nou, structura adițională, aici cea de varietate, trebuie să fie compatibilă, adică aplicațiile corespunzătoare multiplicării și inversei să fie trebuie să fie netede.

Un elemplu standard este grupul general liniar introdus mai sus: este o submulțime deschisă a spațiului tuturor matricelor n-pe-n, deoarece este dat de inegalitatea

det (A) ≠ 0,

unde A este o matrice n-pe-n.[69]

Grupurile Lie au o importanță fundamentală în fizică: teorema lui Noether leagă simetriile continue de cantități conservate.[70] Rotația, ca și translațiile în spațiu și timp sunt transformări de simetrie elementare ale legilor mecanicii. Ele pot, de exemplu, să fie folosite pentru a construi modele simple—impunerea, de pildă, a simetriei axiale unei situații poate conduce on a la simplificări semnificative ale ecuațiilor ce trebuie rezolvate pentru a furniza o descriere fizică. Un alt exemplu îl reprezintă transformările Lorentz, care arată o legătură între măsurarea timpului și vitezei de către doi observatori în mișcare relativă unul față de altul. Ele pot fi deduse într-o manieră strict legată de teoria grupurilor, exprimând transformările ca simetrii de rotație ale spațiului Minkowski. Cea din urmă servește—în absența unei gravitații semnificative—ca model al continuumului spațiu-timp în teoria relativității restrânsă.[71] Grupul de simetrie al spațiului Minkowski, inclusiv translațiile, este cunoscut sub denumirea de grup Poincaré. Prin cele de mai sus, el joacă un rol esențial în teoria relativității restrânsă și, în teoriile câmpurilor cuantice.[72] Simetriile care depind de poziție sunt centrale în descrierea modernă a interacțiunilor fizice cu ajutorul teoriei de scală.[73]

Generalizări[modificare | modificare sursă]

În algebra abstractă, sunt definite structuri mai generale prin relaxarea unora dintre axiomele de definiție ale grupurilor.[25][74][75] De exemplu, dacă se renunță la condiția ca fiecare element să aibă un invers, structura algebrică rezultată se numește monoid. Mulțimea numerelor naturale N (inclusiv 0) împreună cu operația de adunare formează un monoid, la fel și numerele întregi nenule împreună cu operația de înmulțire (Z \ {0}, ·), vezi mai sus. Există o metodă generală de a adăuga formal inversele elementelor la orice monoid abelian, cum este cazul cu (Q \ {0}, ·) care este calculat din (Z \ {0}, ·), cunoscut sub numele de grup Grothendieck. Groupoidele sunt similare grupurilor cu excepția faptului că legea de compoziție a • b nu trebuie definită pentru orice a și b. Ele apar în studiul unor forme mai complicate de simetrie, adesea în structuri analitice și topologice, ca grupoidul fundamental.

Note[modificare | modificare sursă]

  1. ^ Herstein, 1975, cap. 2, p. 26
  2. ^ Hall, 1967, cap. §1.1, p. 1: "The idea of a group is one which pervades the whole of mathematics both pure and applied."
  3. ^ Lang, 2005, App. 2, p. 360
  4. ^ Herstein, 1975, cap. 2.oper6, p. 54
  5. ^ Wussing 2007
  6. ^ Kleiner 1986
  7. ^ Smith 1906
  8. ^ Galois 1908
  9. ^ Kleiner 1986, p. 202
  10. ^ Cayley 1889
  11. ^ Wussing 2007, §III.2
  12. ^ Lie 1973
  13. ^ Kleiner 1986, p. 204
  14. ^ Wussing 2007, §I.3.4
  15. ^ Jordan 1870
  16. ^ von Dyck 1882
  17. ^ Curtis 2003
  18. ^ Mackey 1976
  19. ^ Borel 2001
  20. ^ Aschbacher 2004
  21. ^ Ledermann 1953, §1.2, pp. 4–5
  22. ^ Ledermann 1973, §I.1, p. 3
  23. ^ Lang 2002, §I.2, p. 7
  24. ^ a b Lang 2005, §II.1, p. 17
  25. ^ a b Mac Lane 1998
  26. ^ Lang 2005, §II.3, p. 34
  27. ^ Lang 2005, §II.1, p. 19
  28. ^ Ledermann 1973, §II.12, p. 39
  29. ^ Lang 2005, §II.4, p. 41
  30. ^ Lang 2002, §I.2, p. 12
  31. ^ Lang 2005, §II.4, p. 45
  32. ^ Lang 2002, §I.2, p. 9
  33. ^ Hatcher 2002, Chapter I, p. 30
  34. ^ Coornaert, Delzant & Papadopoulos 1990
  35. ^ de exemplu, grupurile de clase și grupurile Picard; Neukirch 1999, în particular §§I.12 și I.13
  36. ^ Seress 1997
  37. ^ Lang 2005, Chapter VII
  38. ^ Rosen 2000, p. 54 (Theorem 2.1)
  39. ^ Lang 2005, §VIII.1, p. 292
  40. ^ Lang 2005, §II.1, p. 22
  41. ^ Lang 2005, §II.2, p. 26
  42. ^ Lang 2005, §II.1, p. 22 (example 11)
  43. ^ Lang 2002, §I.5, p. 26, 29
  44. ^ Weyl 1952
  45. ^ Conway, Delgado Friedrichs & Huson et al. 2001. Vezi și Bishop 1993
  46. ^ Bersuker, Isaac (2006), The Jahn-Teller Effect, Cambridge University Press, p. 2, ISBN 0521822122 
  47. ^ Jahn & Teller 1937
  48. ^ Dove, Martin T (2003), Structure and Dynamics: an atomic view of materials, Oxford University Press, p. 265, ISBN 0198506783 
  49. ^ Welsh 1989
  50. ^ Mumford, Fogarty & Kirwan 1994
  51. ^ Lay 2003
  52. ^ Kuipers 1999
  53. ^ a b Fulton & Harris 1991
  54. ^ Serre 1977
  55. ^ Rudin 1990
  56. ^ Robinson 1996, p. viii
  57. ^ Artin 1998
  58. ^ Lang 2002, Chapter VI (vezi în particular p. 273 pentru exemple concrete)
  59. ^ Lang 2002, p. 292 (Teorema VI.7.2)
  60. ^ Kurzweil & Stellmacher 2004
  61. ^ Artin 1991, Theorem 6.1.14. Vezi și Lang 2002, p. 77 pentru rezultate similare.
  62. ^ Lang 2002, §I. 3, p. 22
  63. ^ Ronan 2007
  64. ^ Husain 1966
  65. ^ Neukirch 1999
  66. ^ Shatz 1972
  67. ^ Milne 1980
  68. ^ Warner 1983
  69. ^ Borel 1991
  70. ^ Goldstein 1980
  71. ^ Weinberg 1972
  72. ^ Naber 2003
  73. ^ Becchi 1997
  74. ^ Denecke & Wismath 2002
  75. ^ Romanowska & Smith 2002

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

Generalități[modificare | modificare sursă]

Referințe speciale[modificare | modificare sursă]

Referințe istorice[modificare | modificare sursă]