Grup (matematică)

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

Salt la: Navigare, căutare
Dezambiguizare
Acest articol se referă la percepţia matematică a noţiunii de grup. Pentru alte sensuri vedeţi Grup (dezambiguizare).
Manevrele posibile ale unui cub Rubik formează un grup.

În matematică, un grup este o structură algebrică ce constă dintr-o mulţime şi o operaţie care combină două elemente ale mulţimii pentru a forma un al treilea element al aceleiaşi mulţimi. Pentru a fi un grup, mulţimea şi operaţia trebuie să satisfacă o serie de condiţii, denumite axiomele grupurilor, şi anume asociativitatea, elementul neutru şi elementul simetric. Deşi acestea sunt proprietăţi cunoscute ale multor structuri matematice, cum ar fi mulţimile de numere—de exemplu, mulţimea numerelor întregi împreună cu operaţia de adunare formează un grup—formularea axiomelor este detaşată de natura concretă a grupului şi de operaţia respectivă. Aceasta permite manevrarea unor entităţi de origini matematice diferite într-o manieră flexibilă, păstrând în acelaşi timp aspecte structurale esenţiale comune ale multor tipuri de obiecte. Omniprezenţa grupurilor în numeroase domenii—atât matematice cât şi din afara matematicii—face din ele un principiu central de organizare în matematica contemporană.[1][2]

Grupurile au proprietatea fundamentală de apropiere de noţiunea de simetrie. Un grup de simetrie adună caracteristicile de simetrie ale unui obiect geometric: el constă din mulţimea transformărilor care lasă obiectul neschimbat, şi operaţia de combinare a acestor transformări prin înlănţuirea lor. Asemenea grupuri de simetrie, în particular grupurile Lie continue, joacă un rol important în mai multe discipline academice. Grupurile matriceale, de exemplu, pot fi folosite pentru a înţelege legi fundamentale ale fizicii, în teoria relativităţii restrânse, sau fenomene de simetrie în chimia moleculară.

Conceptul de grup a apărut din studiul ecuaţiilor polinomiale, începând cu Évariste Galois în anii 1830. După contribuţiile venite din alte domenii, cum ar fi teoria numerelor şi geometria, noţiunea de grup s-a generalizat în preajma anilor 1870. Pentru a explora grupurile, matematicienii au dezvoltat diferite notaţii pentru a descompune grupurile în părţi componente mai mici şi mai uşor de înţeles, cum ar fi subgrupurile sau grupurile simple. O teorie a grupurilor s-a dezvoltat pentru grupurile finite, care a culminat cu clasificarea grupurilor simple finite, încheiată în 1983.

Cuprins

[modifică] Definiţie

Un cuplu (G, \circ), format dintr-o mulţime nevidă G şi o lege de compoziţie internă "\circ" pe G, este grup dacă sunt satisfăcute axiomele:

  1. Axioma închiderii
    Oricare ar fi x şi y din G, şi rezultatul operaţiei x\circ y face parte din G
  2. Axioma asociativităţii
    Oricare ar fi x,y,z din G, (x\circ y)\circ z = x\circ(y\circ z)
  3. Axioma elementului neutru
    Există un element e în G, astfel încât e\circ x = x\circ e = x, oricare ar fi x din G
  4. Axioma elementelor simetrice
    Oricare ar fi x din G, există y în G cu proprietatea că x\circ y = y\circ x = e
    Dacă este satisfăcută şi axioma
  5. Axioma comutativităţii
    Oricare ar fi x,y din G, xoy = yox
    atunci grupul (G, \circ) se numeşte grup comutativ sau abelian.

[modifică] Exemple

[modifică] Mulţimea numerelor întregi

Unul dintre cele mai cunoscute grupuri este cel format de mulţimea numerelor întregi Z, adică mulţimea numerelor

..., −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, ...[3]

împreună cu operaţia de adunare. Proprietăţile acestui grup folosesc drept model pentru axiomele abstracte date în definiţiile de mai sus.

  1. Oricare ar fi doi întregi a şi b, suma a + b este tot un număr întreg. Cu alte cuvinte, adunarea întregilor doi câte doi nu poate da un rezultat care să nu fie întreg. Această proprietate este cunoscută sub numerele de închidere în raport cu operaţia de adunare.
  2. Oricare ar fi trei întregi a, b şi c, (a + b) + c = a + (b + c). Cu alte cuvinte, dacă se adună întâi a cu b, şi rezultatul se adună cu c, rezultatul final este acelaşi cu cel obţinut adunând a cu suma dintre b şi c, proprietate denumită asociativitate.
  3. Dacă a este un număr întreg, atunci 0 + a = a + 0 = a. Zero se numeşte element neutru în raport cu adunarea, deoarece adunarea lui la orice întreg dă acel întreg.
  4. Oricare ar fi un întreg a, există un întreg b astfel încât a + b = b + a = 0. Numărul întreg b se numeşte element simetric al lui a şi se notează cu −a.

[modifică] Un grup de simetrie

Simetriile (adică rotaţiile şi reflexiile) unui pătrat formează un grup denumit grup diedral, şi notat cu D4.[4] Mulţimea conţine următoarele operaţii:


identitatea (păstrarea aşa cum e)
r1 (rotaţia cu 90° în sens orar)
r2 (rotaţia cu 180°)
r3 (rotaţia cu 90° în sens trigonometric)

fv (întoarcerea în oglindă pe verticală)
fh (întoarcerea în oglindă pe orizontală)
fd (întoarcere în oglindă după prima diagonală)
fc (întoarcere în oglindă după a doua diagonală)
Elementele grupului de simetrie al unui pătrat (D4). Colţurile sunt colorate şi numerotate doar pentru vizualizarea operaţiilor.
  • operaţia identitate, care lasă totul neschimbat, notată id;
  • rotaţiile pătratului cu 90° în sens orar, 180°, şi 270° în sens orar, notate cu r1, r2 şi r3, respectively;
  • reflexiile după linia mediană verticală şi cea orizontală (fh respectiv fv), şi reflexiile după cele două diagonale (fd şi fc).

Oricare două transformări a şi b pot fi compuse, adică aplicată una după cealaltă. Rezultatul aplicării lui a şi apoi a lui b se scrie simbolic de la dreapta la stânga astfel:

b • a („aplică transformarea b după aplicarea transformării a”). Notaţia de la dreapta la stânga provine din cea folosită pentru compunerea funcţiilor.

Tabela din dreapta prezintă toate compunerile posibile. De exemplu, rotind cu 270° la dreapta (r3) şi apoi oglindind orizontal (fh) se obţine acelaşi rezultat ca reflezia după diagonală (fd). Utilizând simbolurile de mai sus, cu albastru în tabelă:

fh • r3 = fd.
Tabela grupului D4
• id r1 r2 r3 fv fh fd fc
id id r1 r2 r3 fv fh fd fc
r1 r1 r2 r3 id fc fd fv fh
r2 r2 r3 id r1 fh fv fc fd
r3 r3 id r1 r2 fd fc fh fv
fv fv fd fh fc id r2 r1 r3
fh fh fc fv fd r2 id r3 r1
fd fd fh fc fv r3 r1 id r2
fc fc fv fd fh r1 r3 r2 id
Elementul identitate, r1, r2, şi r3 formează şi ele un subgrup, evidenţiat cu roşu (regiunea din stânga-sus). O clasă laterală la stânga şi o clasă laterală la dreapta ale acestui subgrup sunt evidenţiate cu verde (pe ultimul rând) respectiv cu galben (pe ultima coloană).

Dată fiind mulţimea dată a transformărilor şi operaţia de compunere, acestea formează un grup, respectând axiomele din definiţie astfel:

  1. Axioma de închidere cere ca prin compunerea b • a a oricare două transformări de simetrie a şi b să se obţină tot o transformare de simetrie. Un alt exemplu pentru operaţia pe grup este
    r3 • fh = fc,
    adică rotaţia cu 270° în sens orar a pătratului obţinut prin oglindirea pe orizontală e echivanetă cu oglindirea după diagonala a doua (fc). Într-adevăr, orice combinaţie de două transformări de simetrie reprezintă şi ea o transformare de simetrie, ceea ce se poate verifica cu ajutorul tabelei grupului.
  2. Asociativitatea tratează cazul compunerii a mai mult de două transformări: date fiind trei transformări a, b şi c din D4, există două moduri posibile de calcul a operaţiei "a apoi b apoi c". Cerinţa
    (a • b) • c = a • (b • c)
    înseamnă că operaţia de compunere a trei elemente este independentă de prioritatea operaţiilor, adică dacă întâi se face a după b, şi apoi c după rezultatul a • b este acelaşi lucru cu a face a după rezultatul compunerii lui b cu c. De exemplu, (fd • fv) • r2 = fd • (fv • r2) se poate verifica cu ajutorul tabelei grupului din dreapta
    (fd • fv) • r2  =  r3 • r2  =  r1, care este egal cu
    fd • (fv • r2)  =  fd • fh  =  r1.
  3. Elementul neutru este transformarea identică, ce lasă totul neschimbat: pentru orice transformare a, efectuarea transformării identice după a (sau a lui a după transformarea identică) e acelaşi lucru cu operarea transformării a; în formă simbolică,
    id • a = a,
    a • id = a.
  4. Elementul simetric este cel care inversează transformarea al cărui element simetric este. Fiecare transformare are o astfel de transformare: identitatea, oglindirile fh, fv, fd, fc şi rotaţia la 180° r2 sunt propriile inverse, deoarece prin efectuarea fiecăreia de două ori se obţine orientarea iniţială a pătratului. Rotaţiile r3 şi r1 sunt fiecare elementul simetric al celeilalte. Simbolic,
    fh • fh = id,
    r3 • r1 = r1 • r3 = id.

Spre deosebire de grupul numerelor întregi, în care ordinea operaţiilor este irelevantă, în D4 ea contează: fh • r1 = fc dar r1 • fh = fd. Cu alte cuvinte, D4 nu este grup abelian, ceea ce face structura acestui grup mai dificilă decât cea a numerelor întregi.

[modifică] Istorie

Conceptul modern de grup abstract s-a dezvoltat din mai multe domenii ale matematicii.[5][6][7] Motivaţia originală pentru teoria grupurilor a fost căutarea soluţiilor ecuaţiilor polinomiale de grad mai mare ca 4. Matematicianul francez din secolul al XIX-lea, Évariste Galois, pe baza muncii anterioare a lui Paolo Ruffini şi Joseph-Louis Lagrange, a dat un criteriu pentru existenţa soluţiilor unei anume ecuaţii polinomiale în termeni de grup de simetrie al rădăcinilor polinomului. Elementele acestui grup Galois corespund anumitor permutări ale rădăcinilor. La început, ideile lui Galois au fost respinse de contemporani, fiind publicate doar postum.[8][9] Grupuri de permutare mai general au fost cercetate mai ales de Augustin Louis Cauchy. Lucrarea lui Arthur Cayley intitulată Despre teoria grupurilor, în funcţie de ecuaţia simbolică θn = 1 (1854) dă prima definiţie abstractă a unui grup finit.[10]

Geometria a fost al doilea domeniu în care grupurile au ajuns să fie folosite sistematic, mai ales grupurile de simetrie ca parte a programului Erlangen din 1872 al lui Felix Klein.[11] După apariţia unor geometrii noi, cum ar fi cea hiperbolică şi cea proiectivă, Klein a folosit teoria grupurilor pentru a le organiza într-o manieră mai coerentă. Ducând aceste idei mai departe, Sophus Lie a fondat studiul grupurilor Lie în 1884.[12]

Al treilea domeniu care a contribuit la teoria grupurilor a fost teoria numerelor. Unele structuri de grup abelian fuseseră utilizate implicit în lucrarea de teoria numerelor a lui Carl Friedrich Gauss intitulată Disquisitiones Arithmeticae (1798), şi mai explicit de Leopold Kronecker.[13] În 1847, Ernst Kummer a dus la un apogeu primele încercări de a demonstra ultima teoremă a lui Fermat dezvoltând grupurile care descriu descompunerea în factori primi.[14]

Convergenţa acestor surse variate înspre o teorie uniformă a grupurilor a început cu lucrarea Traité des substitutions et des équations algébriques (1870) a lui Camille Jordan.[15] Walther von Dyck (1882) a dat prima enunţare a definiţiei moderne a grupurilor abstracte.[16] După începutul secolului al XX-lea, grupurile au căpătat recunoaştere după munca de pionierat a lui Ferdinand Georg Frobenius şi William Burnside, care au lucrat la teoria reprezentării grupurilor finite, teorema reprezentării modulare a lui Richard Brauer şi după lucrările lui Issai Schur.[17] Teoria grupurilor Lie, şi mai general, cea a grupurilor local compacte a fost înaintată de Hermann Weyl, Élie Cartan şi mulţi alţii.[18] Teoria grupurilor algebrice a fost schiţată întâi de Claude Chevalley (spre sfârşitul anilor 1930) şi ulterior de Armand Borel şi Jacques Tits.[19]

Anul Teoriei Grupurilor, organizat de Universitatea Chicago în 1960–1961 a reunit matematicieni ca Daniel Gorenstein, John G. Thompson şi Walter Feit, punând bazele unei colaborări care, cu ajutorul altor matematicieni, a dus la clasificarea tuturor grupurilor finite în 1982. Acest proiect a depăşit tentativele anterioare prin dimensiune, atât în termeni de lungime a demonstraţiilor cât şi ca număr de cercetători. Se lucrează încă la simplificarea demonstraţiei acestei clasificări.[20]

[modifică] Consecinţe simple ale axiomelor grupurilor

Proprietăţile de bază ale grupurilor rezultă din axiomele definiţiilor.[21] De exemplu, aplicarea repetată a axiomei de asociativitate arată că legea

a • b • c = (a • b) • c = a • (b • c)

se generalizează la mai mult de trei factori. Deoarece aceasta înseamnă că parantezele pot fi introduse oriunde într-o serie de termeni, ele, de regulă, se omit.[22]

Axiomele pot fi reduse la a afirma doar existenţa unui element neutru la stânga şi a unui invers la stânga, dar se poate demonstra că ambele înseamnă că există şi element neutru la dreapta şi element simetric la dreapta.[23]

[modifică] Unicitatea elementului simetric şi a elementului neutru

Două consecinţe importante ale axiomelor grupurilor sunt unicitatea elementului neutru şi a elementelor simetrice. Poate exista un singur element neutru într-un grup, şi fiecare element dintr-un grup poate avea doar un singur element simetric. Astfel, se vorbeşte despre elementul neutru şi despre elementul simetric al unui element.[24]

Pentru a demonstra unicitatea unui element simetric al lui a, se presupune că a are două elemente simetrice, notate cu l şi r. Atunci

l = l • e      fiindcă e este elementul neutru
= l • (a • r)      deoarece r este element simetric al lui a, deci e = a • r
= (l • a) • r      prin asociativitate, care permite rearanjarea parantezelor
= e • r      întrucât l este un invers al lui a, adică l • a = e
= r      fiindcă e este elementul neutru

Deci cei doi termeni l şi r sunt legaţi printr-un lanţ de egalităţi. Cu alte cuvinte, există un singur element invers al lui a.

[modifică] Împărţirea

În grupuri, se poate efectua împărţirea: date fiind elementele a şi b ale grupului G, există exact o soluţie x din G a ecuaţiei x • a = b.[24] De fapt, înmulţirea la dreapta a ecuaţiei cu a−1 dă soluţia x = x • a • a−1 = b • a−1. Analog, există o singură soluţie y în G pentru ecuaţia a • y = b, şi anume y = a−1 • b. În general, x şi y nu sunt în mod necesar egale.

[modifică] Concepte de bază

Următoarele secţiuni folosesc notaţiile: X = {x, y, z} reprezentând mulţimea X ci elementele x, y, şi z; x ∈ X reprezentând faptul că x este un element al mulţimii X. Notaţia f : X → Y înseamnă că f este o funcţie care ataşează fiecărui element din mulţimea X un element din mulţimea Y.

Pentru a înţelege grupurile dincolo de nivelul unor simple artificii simbolice, sunt necesare nişte concepte mai complexe. Există un principiu conceptual ce stă la baza tuturor noţiunilor următoare: pentru a profita de structura oferită de grupuri (structură pe care mulţimile, de exemplu, nu o au) construcţiile legate de grupuri trebuie să fie compativile cu operatorul grupului. Această compatibilitate se manifestă la nivelul notaţiilor. De exemplu, grupurile pot fi legate unul cu celălalt prin intermediul unor funcţii numite omomorfisme de grup. Aceste omomorfisme sunt obligate să respecte structurile grupurilor într-un sens foarte precis. Structura grupurilor poate fi înţeleasă şi prin separarea lor în componente numite subgrupuri şi grupuri cât. Principiul „păstrării structurilor”—un principiu adesea citat în matematică—este un exemplu de lucru într-o categorie matematică, în acest caz, categoria grupurilor.[25]

[modifică] Omomorfisme de grup

Omomorfismele de grup sunt funcţii care păstrează structura grupului. O funcţie a: G → H între două grupuri este omomorfism dacă ecuaţia

a(g • k) = a(g) • a(k).

este valabilă pentru orice element g, k din G, adică rezultatul este acelaşi dacă se efectuează operaţia de grup după sau înaintea aplicării transformării a. Această cerinţă asigură că a(1G) = 1H, şi că a(g)−1 = a(g−1) pentru orice g din G. Astfel, un omomorfism de grup respectă toată structura lui G furnizată de axiomele grupului.[26]

Două grupuri G şi H se numesc izomorfe dacă există omomorfisme de grup a: G → H şi b: H → G, astfel încât aplicând cele două funcţii una după cealaltă (în ambele ordini posibile) se obţine funcţia identitate a mulţimilor G respectiv H. Adică, a(b(h)) = h şi b(a(g)) = g pentru orice g din G şi h din H. Dintr-un punct de vedere abstract, grupurile izomorfe conţin aceeaşi informaţie. De exemplu, a demonstra că g • g = 1 pentru un element g din G este echivalent cu a demonstra că a(g) • a(g) = 1, deoarece aplicând a asupra primei egalităţi, rezultă cea de-a doua, şi aplicând b celei de-a doua egalităţi, rezultă prima.

[modifică] Subgrupuri

Pentru detalii, vezi: Subgrup.

Informal, un subgrup este un grup H conţinut într-un grup mai mare, G.[27] Concret, elementul identitate al lui G este conţinut în H, iar dacă h1 şi h2 sunt din H, atunci şi h1 • h2 şi h1−1 sunt în H, deci elementele lui H, echipate cu operaţia pe grupuri a lui G restrânsă la submulţimea H a lui G, formează într-adevăr un grup.

În exemplul de mai sus, identitatea şi rotaţiile constituie un subgrup R = {id, r1, r2, r3}, evidenţiat cu roşu pe tabelul grupului: oricare două rotaţii compuse formează tot o rotaţie, şi o rotaţie poate fi inversată de rotaţia complementară, 270° pentru 90°, 180° pentru 180°, şi 90° pentru 270°. Testul de subgrup este o condiţie necesară şi suficientă pentru ca o submulţime H a unui grup G să fie subgrup: este suficient să se verifice că g−1h ∈ H pentru orice elemente g, h ∈ H. Cunoaşterea subgrupurilor este importantă pentru înţelegerea proprietăţilor de ansamblu ale grupului.

Dată fiind o submulţime S a unui grup G, subgrupul generat de S constă din produsele elementelor lui S cu inversele lor. Este cel mai mic subgrup din G care conţine S.[28] În exemplul introductiv de mai sus, subgrupul generat de r2 şi fv constă din cele două elemente, elementul identitate şi fh = fv • r2. Din nou, acesta este un subgrup, deoarece combinând oricare două elemente din cele patru sau inversele acestora dă un element al subgrupului.

[modifică] Clase laterale

În multe situaţii, este de dorit să se considere două elemente de grup ca fiind acelaşi, dacă ele diferă printr-un element al unui subgrup dat. În exemplul de mai sus, în D4, după ce se efectuează o întoarcere în oglindă, pătratul nu se mai întoarce în configuraţia dată de r2 doar prin aplicarea operaţiilor de rotaţie (fără întoarceri în oglindă). Clasele laterale sunt utilizate pentru a formaliza aceasta: un subgrup H defineşte clasele laterale la stânga şi la dreapta, care pot fi considerate a fi translaţii ale lui H printr-un element arbitrar g al grupului. În termeni simbolici, clasele laterale la stânga şi la dreapta pentru H care conţin g sunt

gH = {gh, h ∈ H} şi respectiv Hg = {hg, h ∈ H}.[29]

Clasele laterale ale oricărui subgrup H formează o partiţie a lui G; adică, două clase laterale la stânga sunt fie egale, fie intersecţia lor este o mulţime vidă.[30] Primul caz, g1H = g2H are loc dacă şi numa dacă g1−1g2 ∈ H, adică dacă cele două elemente diferă printr-un element din H. Analog şi pentru clasele laterale la dreapta ale lui H. Clasele laterale la stânga şi la dreapta ale lui H pot să fie sau nu egale. Dacă sunt, adică pentru orice g din G, gH = Hg, atunci despre H se spune că este un subgrup normal. N poate fi considerat mulţime de clase laterale.

În D4, grupul de simetrie de mai sus, clasele laterale la stânga gR ale subgrupului R care constă din transformările de rotaţie sunt fie egale cu R, dacă g este un element al lui R, sau altfel egal cu U = fvR = {fv, fd, fh, fc} (cu verde). Subgrupul R este şi el normal, deoarece fvR = U = Rfv şi analog pentru orice element diferit de fv.

[modifică] Grupuri cât

În plus faţă de ignorarea structurii interne a unui subgrup prin luarea în considerare a claselor laterale, este de dorit dotarea acestei entităţi cu o lege de grup denumită grup cât sau grup factor. Pentru ca aceasta să fie posibil, subgrupul trebuie să fie normal. Dat fiind un subgrup normal N, grupul cât este definit prin

G / N = {gN, g ∈ G}, "G modulo N".[31]

Această mulţime moşteneşte o operaţie pe grupuri (uneori numită înmulţire a claselor laterale, sau adunare a claselor laterale) de la grupul original G: (gN) • (hN) = (gh)N pentru orice g şi h din G. Această definiţie este motivată de ideea că aplicaţia G → G / N care îi asociază fiecărui element g clasa sa laterală gN este un omomorfism de grup, sau de consideraţiile abstracte generale numite proprietăţi universale. Clasa laterală eN = N serveşte drept element neutru în acest grup, iar inversa lui Ng în grupul cât este (gN)−1 = (g−1)N.e[›]

• R U
R R U
U U R
Tabela grupului cât D4 / R.

Elementele grupului cât D4 / R sunt R care este elementul neutru, şi U = fvR. Operaţia pe grup este cea din dreapta. De exemplu, U • U = fvR • fvR = (fv • fv)R = R. Atât subgrupul R = {id, r1, r2, r3}, cât şi câtul corespunzător sunt abeliene, pe când D4 nu este abelian.

Grupurile cât şi subgrupurile formează împreună o modalitate de a descrie fiecare grup prin prezentare: orice grup este câtul grupului liber peste generatoarele grupurilor, împărţite la subgrupul relaţiilor. Grupul diedral D4, de exemplu, poate fi generat de două elemente, r şi f (de exemplu, r = r1, rotaţia la dreapta f = fv oglindirea în verticală—sau oricare alta), ceea ce înseamnă că toate transformările de simetrie ale pătratului sunt o compunere finită de transformări de simetrie sau transformări inverse ale lor. Împreună cu relaţiile

r 4 = f 2 = (rf)2 = 1,[32]

grupul este descris complet. O prezentare a grupului se poate folosi pentru a construi graful Cayley, un dispozitiv folosit pentru a reprezenta grafic grupurile discrete.

Subgrupurile şi grupurile cât sunt legate în felul următor: o submulţime H a lui G se poate vedea ca aplicaţie injectivă H → G, adică orice element al codomeniului cel mult un element căruia îi corespunde prin aplicaţie. În general, omomorfismele nu sunt nici injective nici surjective. Nucleul şi imaginea omomorfismelor de grup şi prima teoremă de izomorfism tratează acest fenomen.

[modifică] Aplicaţii

Un şablon periodic dă naştere unui grup de tapet
Grupul fundamental al unui plan din care lipseşte un punct este format din curbe închise în jurul punctului care lipseşte.

Există numeroase aplicaţii ale grupurilor. Un punct de pornire îl reprezintă mulţimea Z a numerelor întregi împreună cu operaţia de adunare. Dacă se consideră în schimb operaţia de înmulţire, se obţin grupuri multiplicative, care sunt predecesoarele unor importante construcţii din algebra abstractă.

Grupurile au aplicaţii şi în multe alte domenii matematice. Unele obiecte matematice pot fi examinate cu ajutorul grupurilor lor asociative. De exemplu, Henri Poincaré a pus bazele a ceea ce astăzi se numeşte topologie algebrică introducând noţiunea de grup fundamental.[33] Cu ajutorul acestei legături, proprietăţi topologice cum ar fi proximitatea şi continuitatea se traduc în proprietăţi ale grupurilor. De exemplu, elementele grupului fundamental sunt reprezentate prin bucle. În a doua imagine de la dreapta arată nişte bucle într-un plan din care lipseşte un punct. Bucla albastră este considerată a fi nul-omotopică (deci irelevantă), deoarece poate fi redusă continuu la un punct. Prezenţa găurii împiedică bucla portocalie să fie redusă la un punct. Grupul fundamental al planului fără un punct este ciclic infinit, generat de bucla portocalie (sau de oricare curbă care ocoleşte gaura o dată). Astfel, grupul fundamental detectează gaura.

În aplicaţii mai recente, unele construcţii geometrice au fost motivate de noţiuni din teoria grupurilor. Într-un mod similar, teoria grupurilor geometrice implică concepte geometrice, de exemplu în studiul grupurilor hiperbolice.[34] Alte domenii în care apar aplicaţii cruciale ale grupurilor sunt geometria algebrică şi teoria numerelor.[35]

Există şi multe alte aplicaţii practice. Criptografia se bazează pe combinaţia dintre abordarea din teoria grupurilor abstracte şi cunoştinţile algoritmice obţinute în teoria computaţională a grupurilor, în particular la implementarea în domeniul grupurilor finite.[36] Aplicaţiile teoriei grupurilor nu sunt restrânse la matematică; ştiinţe cum sunt fizica, chimia şi informatica utilizează acest concept.

[modifică] Numere

Multe mulţimi de numere, cum ar fi numerele întregi şi cele raţionale prezintă o structură naturală de grup. În unele cazuri, cum este cel al numerelor raţionale, atât adunarea cât şi înmulţirea sunt operaţii care dau naştere unor structuri de grup. Asemenea structuri sunt predecesoarele unor structuri algebrice mai generale, denumite inele şi corpuri.

[modifică] Numerele întregi

Grupul numerelor întregi Z cu operaţia de adunare, notat (Z, +), a fost descris mai sus. Numerele întregi, împreună cu operaţia de înmulţire, (Z, ·) nu formează un grup. Axiomele de închidere, asociativitate şi element neutru sunt satisfăcute, dar nu există întotdeauna element simetric: de exemplu, a = 2 este număr întreg, dar unica soluţie a ecuaţiei a · b = 1 în acest caz este b = 1/2, care nu este număr întreg. Deci nu toate elementele mulţimii Z are un element simetric multiplicativ.k[›]

[modifică] Numerele raţionale

Dorinţa existenţei elementului simetric multiplicativ sugerează luarea în considerare a fracţiilor

a/b

Fracţiile de numere întregi (cu b nenul) sunt cunoscute ca numere raţionale. Mulţimea tuturor acestor fracţii este adesea notată cu Q. Mai este un mic obstacol pentru ca (Q, ·), structura formată din mulţimea numerelor raţionale cu operaţia de înmulţire, să fie grup: deoarece numărul raţional 0 nu are element simetric (adică, nu există x astfel încât x · 0 = 1), (Q, ·) nu este grup.

Dar mulţimea numerelor raţionale nenule Q \ {0} = {q ∈ Q, q ≠ 0} formează un grup abelian cu operaţia de înmulţire, grup notat (Q \ {0}, ·). Axiomele de element neutru şi asociativitate derivă din proprietăţile numerelor întregi. Cerinţa de închidere rămâne valabilă după eliminarea lui zero, deoarece produsul a două numere raţionale nenule nu este niciodată zero. În cele din urmă, elementul simetric al lui a/b este b/a, deci şi axioma elementului simetric este satisfăcută.

Numerele raţionale (inclusiv 0) formează un grup cu operaţia de adunare. Combinarea înmulţirii şi adunării dă structuri mai complicate, denumite inele şi—dacă este posibilă împărţirea, cum e cazul cu mulţimea Q—corpuri, care ocupă o poziţie centrală în algebra abstractă. Argumentele din teoria grupurilor stau la baza unor noţiuni din teoria acestor entităţi.

[modifică] Numerele întregi nenule modulo un număr prim

Pentru orice număr prim p, aritmetica modulară furnizează grupul multiplicativ al întregilor modulo p.[37] Elementele sale sunt numerele întregi nedivizibile cu p, modulo p, adică două numere sunt considerate echivalente dacă diferenţa lor este divizibilă cu p. De exemplu, dacă p = 5, grupul are patru elemente: 1, 2, 3, 4: multiplii lui 5 sunt excluşi, 6 şi −4 sunt echivalente cu 1 etc. Operaţia de grup este cea de înmulţire modulo p. De aceea, 4 · 4 = 1, întrucât produsul lor, 16, este echivalent cu 1, deoarece acesta este restul împărţirii lui 16 la 5, ceea ce se notează cu

16 ≡ 1 (mod 5).

Faptul că p este prim asigură că produsul a două numere întregi din care niciunul nu este divizibil cu p nu este nici el divizibil cu p, de unde rezultă că această mulţime este închisă în raport cu înmulţirea. Elementul neutru este 1, ca în cazul oricărui grup multiplicativ, iar asocativitatea rezultă din proprietatea corespunzătoare a numerelor întregi. În fine, axioma elementului invers cere ca unui întreg a nedivizibil cu p, să îi corespundă un înreg b astfel încât

a · b ≡ 1 (mod p), adică p să dividă diferenţa a · b − 1.

Elementul simetric b poate fi găsit folosind identitatea lui Bézout şi faptul că cel mai mare divizor comun cmmdc(a, p) este egal cu 1.[38] În cazul p = 5 de mai sus, elementul simetric al lui 4 este 4, iar cel al lui 3 este 2, deoarece 3 · 2 = 6 ≡ 1 (mod 5). Astfel, sunt îndeplinite toate axiomele grupurilor. De fapt, acest exemplu este analog cu exemplul (Q\{0}, ·) de mai sus, deoarece este grupul multiplicativ al elementelor nenule din corpul finit Fp, notat Fp×.[39] Aceste grupuri joacă un rol esenţial în criptografia cu chei publice.

[modifică] Grupuri ciclice

Rădăcinile complexe de ordinul 6 formează un grup ciclic. z este un element primitiv, dar z2 nu este, deoarece puterile impare ale lui z nu sunt şi puteri ale lui z2.

Un grup ciclic este un grup ale cărui elemente sunt puteri (când operaţia de grup este considerată a fi de natură aditivă, se preferă termenul multipli) ai unui element a.[40] În notaţia multiplicativă, elementele grupului sunt:

..., a−3, a−2, a−1, a0 = e, a, a2, a3, ...,

unde a2 înseamnă a • a, şi a−3 reprezintă a−1 • a−1 • a−1=(a • a • a)−1 etc. Un astfel de element a se numeşte generator sau element primitiv al grupului.

Un exemplu tipic pentru această categorie de grupuri îl reprezintă grupurile rădăcinilor complexe de ordin n ale unităţii, compus din mulţimea numerelor complexe z ce satisfac relaţia zn = 1 şi operaţia de multiplicare a numerelor complexe.[41] Orice grup ciclic cu n elemente este izomorf cu acest grup. În baza teoriei corpurilor, se poate arăta că grupul Fp× este ciclic: pentru p = 5, 3 este generator deoarece 31 = 3, 32 = 9 ≡ 4, 33 ≡ 2, şi 34 ≡ 1. Un grup ciclic infinit este izomorf cu (Z, +), grupul numerelor întregi cu operaţia de adunare introdus mai sus.[42] Întrucât aceste două prototipuri sunt abeliene, rezultă că orice grup ciclic este abelian.

Studiul grupurilor abeliene este avansat, şi include teorema fundamentală a grupurilor abeliene generate finit; multe noţiuni legate de grupuri, cum ar fi cele de centru şi comutator, descriu punctul până la care un grup dat nu este abelian.[43]

[modifică] Grupurile de simetrie

Grupurile de simetrie sunt grupuri compuse din transformări de simetrie ale unor obiecte matematce date—fie de natură geometrică, cum ar fi grupul de simetrie al pătratului din exemplul introductiv, fie de natură algebrică, cum ar fi ecuaţiile polinomiale şi soluţiile lor.[44] Conceptual, teoria grupurilor poate fi văzută ca fiind studiul simetriei. Matematica simetriilor simplifică mult studiul obiectelor geometrice sau analitice. Se spune că un grup acţionează asupra unui alt obiect matematic X dacă fiecare element al grupului efectuează asupra lui X o operaţie compatibilă cu legea de compoziţie a grupului. În exemplul din dreapta de mai jos, un element de ordinul 7 din grupul triunghiurilor (2,3,7) acţionează asupra mozaicului prin permutarea triunghiurilor evidenţiate (şi a celorlalte). Prin acţiunea grupului, şablonul grupului este legat de structura obiectului asupra căreia acţionează.

Rotaţiile şi oglindirile formează grupul de simetrie al unui icosaedru mare.

În subdomeniile chimiei, cum ar fi cristalografia, grupurile spaţiale şi grupurile punctuale descriu simetriile moleculare şi cristaline. Aceste simetrii stau la baza comportamentului fizic şi chimic al acestor sisteme, iar teoria grupurilor permite simplificări ale analizei mecanice cuantice a acestor proprietăţi.[45] De exemplu, teoria grupurilor este folosită pentru a arăta că tranziţiile optice între anumite niveluri cuantice nu pot avea loc din cauza simetriei stărilor implicate.

Grupurile nu sunt doar utile în evaluarea simetriilor moleculelor, ci prezic şi că moleculele pot uneori să-şi schimbe simetria. Efectul Jahn-Teller este o distorsiune a unei molecule de înaltă simetrie ce apare când ea adoptă o anumită stare fundamentală de simetrie mai scăzută dintr-o mulţime de stări fundamentale posibile legate una de cealaltă prin operaţii de transformare de simetrie a moleculei.[46][47]

Analog, teoria grupurilor ajută la prezicerea schimbărilor proprietăţilor fizice care au loc atunci când un material suferă o tranziţie de fază, de exemplu, de la o formă cristalină cubică la una tetraedrală. Un exemplu este cel al materialelor ferolectrice, în care trecerea dintr-o stare paraelectrică într-una feroelectrică are loc la temperatura Curie şi se leagă de o trecere dintr-o stare paraelectrică de înaltă simetrie în starea feroelectrică, de simetrie inferioară.[48]

Asemenea ruperi spontane ale simetriei şi-au găsit şi alte aplicaţii în fizica particulelor elementare, unde apariţiile lor sunt legate de apariţiile bosonilor Goldstone.

Buckminsterfulerena prezintă
simetrie icosaedrală.		 Amoniacul, NH3. Grupul său de simetrie e de ordinul 6, generat de o rotaţie de 120° şi o reflexie. Cubanul C8H8 prezintă
simetrie octaedrală.		 Ionul complex Hexaacvacupru(II), [Cu(OH2)6]2+. Comparativ cu o formă perfect simetrică, molecula este dilatată pe verticală cu aproximativ 22% (efectul Jahn-Teller). Grupul triunghiurilor (2,3,7), un grup hiperbolic, acţionează asupra acestei teselaţii a planului hiperbolic.

Grupurile de simetrie finite cum ar fi grupurile Mathieu sunt utilizate în teoria codificărilor, care aer la rândul său aplicaţii în corecţia erorilor în transmisia de date, şi în CD playere.[49] O altă apicaţie o reprezintă teoria diferenţială Galois, care caracterizează funcţiile care au primitive de o anumită formă, dând astfel criterii bazate pe teoria grupurilor pentru când soluţiile anumitor ecuaţii diferenţiale se comportă bine. Proprietăţile geometrice ce rămân stabile în raport cu acţiunile de grup sunt studiate în teoria invarianţilor.[50]

[modifică] Grupul general liniar şi teoria reprezentării

Doi vectori (stânga) înmulţiţi cu nişte matrice (centru şi dreapta). Ilustraţia centrală reprezintă o rotaţie în sens orar cu 90°, iar cea din dreapta îi măreşte abscisa de două ori.

Grupurile matriceale constau dintr-o mulţime de matrice şi operaţia de multiplicare a matricelor. Grupul general liniar GL(n, R) constă din toate matricele inversabile nxn cu elemente reale.[51] Subgrupurile lor sunt denumite grupuri matriceale sau grupuri liniare. Grupul diedral din exemplul menţionat mai sus poate fi văzut ca un grup matriceal (foarte mic). Un alt grup matriceal important este grupul special ortogonal SO(n). El descrie toate rotaţiile posibile în n dimensiuni. Prin intermediul unghiurilor Euler, matricele de rotaţie sunt folosite în grafica pe calculator.[52]

Teoria reprezentării este atât o aplicaţie a conceptului de grup cât şi o teorie importantă pentru înţelegerea în profunzime a grupurilor.[53][54] Ea studiază grupul prin intermediul acţiunilor de grup asupra altor spaţii. O clasă mai largă de reprezentări ale grupurilor sunt reprezentările liniare, adică grupul acţionează asupra unui spaţiu vectorial, cum ar fi spaţiul euclidian tridimensional R3. O reprezentare a lui G pe un spaţiu vectorial real n-dimensional este doar un omomorfism de grup

ρ: G → GL(n, R)

de la grupul dat la grupul general liniar. Astfel, operaţia grupului, ce poate fi dată abstract, se traduce în multiplicarea matricelor, făcându-l astfel accesibil calculelor explicite.

Dată fiind o acţiune de grup, aceasta dă noi sensuri studiului obiectului asupra căruia acţionează. Pe de altă parte, ea dă informaţii şi despre grup. Reprezentările de grup sunt un principiu de organizare în teoria grupurilor finite, grupurilor Lie, grupurilor algebrice şi grupurilor topologice, mai ales grupurilor (local) compacte.[53][55]

[modifică] Grupurile Galois

Grupurile Galois au fost dezvoltate pentru a ajuta rezolvarea ecuaţii polinomiale identificând caracteristicile de simetrie ale acestuia.[56][57] De exemplu, soluţiile ecuaţiei de gradul doi ax2 + bx + c = 0 sunt date de

x = (minus b plus sau minus radical din (b pătrat minus 4 a c)) pe 2a

Schimbând "+" şi "−" din expresie, adică permutarea celor două soluţii poate fi văzută ca fiind o (forate simplă) operaţie a grupului. Se cunosc formule similare pentru ecuaţiile cubice şi pentru cele curatice, dar nu există în general pentru ecuaţiile de gradul cinci sau mai mare.[58] Proprietăţile abstracte ale grupurilor Galois asociate cu polinoamele (în particular, solvabilitatea lor) dau un criteriu pentru polinoame ale căror soluţii se pot exprima ca radicali, adică soluţii exprimabile doar prin adunări, înmulţiri, şi radicali similare cu formula de mai sus.[59]

Problema poate fi tratată mai elegant cu ajutorul teoriei corpurilor: considerând corpul de descompunere a unui polinom deplasează problema pe terenul teoriei corpurilor. Teoria Galois modernă generalizează acest tip de grupuri Galois la extensiile de corp şi stabileşte—cu ajutorul teoremei fundamentale a teoriei Galois—o relaţie precisă înter corpuri şi grupuri, subliniind din nou omniprezenţa grupurilor în matematică.

[modifică] Grupuri finite

Un grup se numeşte finit dacă are un număr finit de elemente. Numărul de elemente dintr-un grup G se numeşte ordinul grupului G.[60] O categorie importantă o reprezintă grupurile simetrice SN, grupurile permutărilor de N litere. De exemplu, grupul simetric de 3 litere S3 este grupul format din toate permutările posibile de trei litere ABC, conţinând astfel elementeel ABC, ACB, ..., până la CBA, în total 6 (sau 3 factorial) elemente. Aceasta clasă este fundamentală, întrucât orice grup finit poate fi exprimat ca subgrup al grupului simetric SN pentru un număr întreg N (teorema lui Cayley). Analog cu grupul transformărilor de simetrie ale pătratului de mai sus, S3 poate fi interpretat şi ca grupul de simetrie al unui triunghi echilateral.

Ordinul unui element a dintr-un grup G este cel mai mic număr întreg pozitiv n cu proprietaeta a n = e, unde a n reprezintă

\underbrace{{} \ a \ \cdots\ a\ {}}_{n \text{ factori}},

adică aplicarea opreaţiei • asupra a n copii ale lui a. (Dacă • reprezintă multiplicarea, atunci an corespunde lui a la puterea n.) În grupurile infinite, un astfel de n se poate să nu existe, în care caz se spune că ordinul lui a este infinit. Ordinul unui element este egal cu ordinul subgrupului ciclic generat de acest element.

Tehnici de numărare mai sofisticate, de exemplu numărarea claselor laterael, dau afirmaţii mai precise despre grupurile finite: teorema lui Lagrange spune că pentru un grup finit G ordinul oricărui subgrup finit H divide ordinul lui G.

Grupul diedral (discutat mai sus) este un grup finit de ordinul 8. Ordinul lui r1 este 4, ca şi ordinul subgrupului R pe care îl generează. Ordinul elementelor de reflexie fv etc. este 2. Ambele ordine divid pe 8, aşa cum prezice teorema lui Lagrange. Grupurile Fp× date mai sus au ordinul p − 1.

[modifică] Clasificarea grupurilor simple finite

Matematicienii se străduiesc adesea să realizeze o clasificare completă a unei noţiuni matematice. În contextul grupurilor finite, acest scop conduce rapid la dificultăţi. Conform teoremei lui Lagrange, grupurile finite de ordin p, număr prim, sunt automat şi grupuri ciclice (şi abeliene), notate Zp. Se poate arăta că şi grupurile de ordinul p2 sunt abeliene, afirmaţie care însă nu se generalizează la ordinul p3, după cum reiese din contraexemplul grupului nonabelian D4 de ordin 8 = 23 arătat mai sus.[61] Sistemele CAS pot fi utilizate pentru a genera liste de grupuri mici, dar nu există clasificări ale tuturor grupurilor finite. Un pas intermediar îl reprezintă clasificarea grupurilor finite simple. Un grup netrivial se numeşte grup simplu dacă singurele sale subgrupuri normale sunt grupul trivial şi grupul însuşi. Teorema Jordan-Hölder prezintă grupurile simple ca elemente constitutive ale tuturor grupurilor finite.[62] Generarea listei tuturor grupurilor finite simple a fost o mare realizare din teoria grupurilor. Laureatul Medaliei Fields din 1998 Richard Borcherds a reuşit să demonstreze conjecturile monstrous moonshine, o relaţie surprinzătoare şi profundă între cel mai mare grup sporadic finit simplu—„grupul monstru”—cu anumite funcţii modulare, o componentă a analizei complexe clasice şi teoria corzilor, o teorie ce intenţionează să unifice descrierea multor fenomene fizice.[63]

[modifică] Grupuri cu structură adiţională

 Acest articol are nevoie de atenţia unui expert în matematică.
Recrutaţi unul sau, dacă sunteţi în măsură, ajutaţi chiar dumneavoastră la îmbunătăţirea articolului!

Multe grupuri sunt şi exemple de alte structuri matematice. În termeni de teoria categoriilor, ele sunt obiecte de grup într-o categorie, adică sunt obiecte (exemple de alte structuri matematice) care suferă unele transformări (numite morfisme) care mimează axiomele grupurilor. De exemplu, toate grupurile constituie o mulţime, deci un grup este un obiect de grup din categoria mulţimilor.

[modifică] Grupuri topologice

Cercul unitate din planul complex împreună cu operaţia de multiplicare a numerelor complexe este un grup Lie şi deci un grup topologic. Este topologic deoarece multiplicarea şi împărţirea numerelor complexe sunt continue. El este o varietate şi deci grup Lie, deoarece fiecare vecinătate, cum ar fi arcul de cerc roşu din figură, arată ca o porţiune din dreapta reală (jos).

Unele spaţii topologice pot fi dotate cu o lege de compoziţie de grup. Pentru ca proprietăţile topologice şi cele de grup să se combine corect, operaţiile grupului trebuie să fie continue, adică, g • h, şi g−1 nu trebuie să varieze foarte puternic dacă g şi h variază doar puţin. Astfel de grupuri se numesc grupuri topologice, şi ele sunt obiectele de grup din categoria spaţiilor topologice.[64] Cele mai simple exemple sunt mulţimea numerelor reale R împreună cu operaţia de adunare, (R \ {0}, ·), şi, analog, alte spaţii topologice cum ar fi numerele complexe sau numerele p-adice. Toate aceste grupuri sunt local compacte, şi deci au măsură Haar şi pot fi studiate prin analiză armonică. Primele oferă un formalism abstract de integrale invariante. Invarianţa înseamnă, în cazul numerelor reale de exemplu:

\int f(x)\,dx = \int f(x+c)\,dx

pentru orice c constant. Grupurile matriceale peste aceste grupuri cad sub incidenţa acestui regim, ca şi inelele adelice şi grupurile algebrice adelice, structuri importante pentru teoria numerelor.[65] Grupurile Galois de extensii de grupuri infinite cum ar fi grupul absolut Galois pot şi ele să fie echipate cu o topologie, aşa-numita topologie Krull, importantă pentru generalizarea legăturii schiţate mai sus între corpuri şi grupuri şi extensii de grupuri infinite.[66] O generalizare avansată a acestei idei, adaptată nevoilor geometriei algebrice, este grupul fundamental étale.[67]

[modifică] Grupuri Lie

Grupurile Lie (denumite în cinstea lui Sophus Lie) sunt grupuri cu structură de varietate, adică spaţii care local seamănă cu un spaţiu euclidian de dimensiune corespunzătoare.[68] Din nou, structura adiţională, aici cea de varietate, trebuie să fie compatibilă, adică aplicaţiile corespunzătoare multiplicării şi inversei să fie trebuie să fie netede.

Un elemplu standard este grupul general liniar introdus mai sus: este o submulţime deschisă a spaţiului tuturor matricelor n-pe-n, deoarece este dat de inegalitatea

det (A) ≠ 0,

unde A este o matrice n-pe-n.[69]

Grupurile Lie au o importanţă fundamentală în fizică: teorema lui Noether leagă simetriile continue de cantităţi conservate.[70] Rotaţia, ca şi translaţiile în spaţiu şi timp sunt transformări de simetrie elementare ale legilor mecanicii. Ele pot, de exemplu, să fie folosite pentru a construi modele simple—impunerea, de pildă, a simetriei axiale unei situaţii poate conduce on a la simplificări semnificative ale ecuaţiilor ce trebuie rezolvate pentru a furniza o descriere fizică. Un alt exemplu îl reprezintă transformările Lorentz, care arată o legătură între măsurarea timpului şi vitezei de către doi observatori în mişcare relativă unul faţă de altul. Ele pot fi deduse într-o manieră strict legată de teoria grupurilor, exprimând transformările ca simetrii de rotaţie ale spaţiului Minkowski. Cea din urmă serveşte—în absenţa unei gravitaţii semnificative—ca model al continuumului spaţiu-timp în teoria relativităţii restrânsă.[71] Grupul de simetrie al spaţiului Minkowski, inclusiv translaţiile, este cunoscut sub denumirea de grup Poincaré. Prin cele de mai sus, el joacă un rol esenţial în teoria relativităţii restrânsă şi, în teoriile câmpurilor cuantice.[72] Simetriile care depind de poziţie sunt centrale în descrierea modernă a interacţiunilor fizice cu ajutorul teoriei de scală.[73]

[modifică] Generalizări

În algebra abstractă, sunt definite structuri mai generale prin relaxarea unora dintre axiomele de definiţie ale grupurilor.[25][74][75] De exemplu, dacă se renunţă la condiţia ca fiecare element să aibă un invers, structura algebrică rezultată se numeşte monoid. Mulţimea numerleor naturale N (inclusiv 0) împreună cu operaţia de adunare formează un monoid, la fel şi numerele întregi nenule împreună operaţia de înmulţire (Z \ {0}, ·), vezi mai sus. Există o metodă generală de a adăuga formal inversele elementelor la orice monoid abelian, cum este cazul cu (Q \ {0}, ·) care este calculat din (Z \ {0}, ·), cunoscut sub numele de grup Grothendieck. Groupoidele sunt similare grupurilor cu excepţia faptului că legea de compoziţie a • b nu trebuie definită pentru orice a şi b. Ele apar în studiul unor forme mai complicate de simetrie, adesea în structuri analitice şi topologice, ca grupoidul fundamental.

[modifică] Note

  1. ^ Herstein, 1975, cap. 2, p. 26
  2. ^ Hall, 1967, cap. §1.1, p. 1: "The idea of a group is one which pervades the whole of mathematics both pure and applied."
  3. ^ Lang, 2005, App. 2, p. 360
  4. ^ Herstein, 1975, cap. 2.oper6, p. 54
  5. ^ Wussing 2007
  6. ^ Kleiner 1986
  7. ^ Smith 1906
  8. ^ Galois 1908
  9. ^ Kleiner 1986, p. 202
  10. ^ Cayley 1889
  11. ^ Wussing 2007, §III.2
  12. ^ Lie 1973
  13. ^ Kleiner 1986, p. 204
  14. ^ Wussing 2007, §I.3.4
  15. ^ Jordan 1870
  16. ^ von Dyck 1882
  17. ^ Curtis 2003
  18. ^ Mackey 1976
  19. ^ Borel 2001
  20. ^ Aschbacher 2004
  21. ^ Ledermann 1953, §1.2, pp. 4–5
  22. ^ Ledermann 1973, §I.1, p. 3
  23. ^ Lang 2002, §I.2, p. 7
  24. ^ a b Lang 2005, §II.1, p. 17
  25. ^ a b Mac Lane 1998
  26. ^ Lang 2005, §II.3, p. 34
  27. ^ Lang 2005, §II.1, p. 19
  28. ^ Ledermann 1973, §II.12, p. 39
  29. ^ Lang 2005, §II.4, p. 41
  30. ^ Lang 2002, §I.2, p. 12
  31. ^ Lang 2005, §II.4, p. 45
  32. ^ Lang 2002, §I.2, p. 9
  33. ^ Hatcher 2002, Chapter I, p. 30
  34. ^ Coornaert, Delzant & Papadopoulos 1990
  35. ^ de exemplu, grupurile de clase şi grupurile Picard; Neukirch 1999, în particular §§I.12 şi I.13
  36. ^ Seress 1997
  37. ^ Lang 2005, Chapter VII
  38. ^ Rosen 2000, p. 54 (Theorem 2.1)
  39. ^ Lang 2005, §VIII.1, p. 292
  40. ^ Lang 2005, §II.1, p. 22
  41. ^ Lang 2005, §II.2, p. 26
  42. ^ Lang 2005, §II.1, p. 22 (example 11)
  43. ^ Lang 2002, §I.5, p. 26, 29
  44. ^ Weyl 1952
  45. ^ Conway, Delgado Friedrichs & Huson et al. 2001. Vezi şi Bishop 1993
  46. ^ Bersuker, Isaac (2006), The Jahn-Teller Effect, Cambridge University Press, p. 2, ISBN 0521822122 
  47. ^ Jahn & Teller 1937
  48. ^ Dove, Martin T (2003), Structure and Dynamics: an atomic view of materials, Oxford University Press, p. 265, ISBN 0198506783 
  49. ^ Welsh 1989
  50. ^ Mumford, Fogarty & Kirwan 1994
  51. ^ Lay 2003
  52. ^ Kuipers 1999
  53. ^ a b Fulton & Harris 1991
  54. ^ Serre 1977
  55. ^ Rudin 1990
  56. ^ Robinson 1996, p. viii
  57. ^ Artin 1998
  58. ^ Lang 2002, Chapter VI (vezi în particular p. 273 pentru exemple concrete)
  59. ^ Lang 2002, p. 292 (Teorema VI.7.2)
  60. ^ Kurzweil & Stellmacher 2004
  61. ^ Artin 1991, Theorem 6.1.14. Vezi şi Lang 2002, p. 77 pentru rezultate similare.
  62. ^ Lang 2002, §I. 3, p. 22
  63. ^ Ronan 2007
  64. ^ Husain 1966
  65. ^ Neukirch 1999
  66. ^ Shatz 1972
  67. ^ Milne 1980
  68. ^ Warner 1983
  69. ^ Borel 1991
  70. ^ Goldstein 1980
  71. ^ Weinberg 1972
  72. ^ Naber 2003
  73. ^ Becchi 1997
  74. ^ Denecke & Wismath 2002
  75. ^ Romanowska & Smith 2002

[modifică] Bibliografie

[modifică] Generalităţi

[modifică] Referinţe speciale

[modifică] Referinţe istorice

Adus de la http://ro.wikipedia.org/wiki/Grup_(matematic%C4%83)
Unelte personale