Spațiu topologic

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

Un spațiu topologic este o mulțime pe care s-a definit o structură pe baza căreia se definesc noțiunile de vecinătate, convergență și limită.

Ca definiție formală, un spațiu topologic este o pereche (X,\mathcal{T}), cu \mathcal{T}\subseteq\mathcal{P}(X) (\mathcal{P}(X) desemnează mulțimea submulțimilor lui X), satisfăcând simultan următoarele proprietăți:

  1. \emptyset\in\mathcal{T} și X\in\mathcal{T}
  2. dacă A,B\in\mathcal{T}, atunci A\cap B\in\mathcal{T}
  3. dacă \mathcal{A}\subseteq\mathcal{T}, atunci \bigcup \mathcal{A}\in\mathcal{T}

Mulțimile din \mathcal{T} se numesc mulțimi deschise. Proprietatea 1 spune că mulțimea vidă și spațiul însuși trebuie să fie mulțimi deschise. Proprietatea 2 cere ca orice intersecție de două mulțimi deschise să fie o mulțime deschisă; prin inducție matematică rezultă de aici că intersecția oricărei familii finite de mulțimi deschise este o mulțime deschisă. Proprietatea 3 cere ca reuniunea oricărei familii (nu neapărat finite) de mulțimi deschise să fie o mulțime deschisă.

Exemple[modificare | modificare sursă]

  1. \mathcal{T}=\{\emptyset,X\} este topologia „cea mai grosieră” ce poate fi definită pe o mulțime.
  2. \mathcal{T}=\mathcal{P}(X) este topologia „cea mai fină” ce poate fi definită, numită topologia discretă.
  3. Dacă d este o funcție distanță (o metrică) definită pe X (X este un spațiu metric), topologia indusă de metrica d are ca mulțimi deschise toate mulțimile care satisfac proprietatea că pentru fiecare punct există o bilă de rază nenulă inclusă în acea mulțime:
\mathcal{T}=\{A\in\mathcal{P}(X) | \forall x\in A,\exists \varepsilon\in(0,\infty):B(x,\varepsilon)\subseteq A\}

unde B(x,\varepsilon)=\{y\in X|d(x,y)<\varepsilon\} este bila (deschisă) de centru x și de rază \varepsilon.

Vecinătăți[modificare | modificare sursă]

Se numește vecinătate a unui punct x\in X al unui spațiu topologic orice submulțime V\subseteq X ce conține o mulțime deschisă ce conține punctul x: \exists D\in\mathcal{T}\,:\ x\in D\subseteq V.

Submulțimi speciale ale unui spațiu topologic[modificare | modificare sursă]

Mulțimi închise[modificare | modificare sursă]

O submulțime a unui spațiu topologic X se numește închisă dacă complementul său față de spațiul X este o mulțime deschisă.

Din proprietățile mulțimilor deschisă rezultă că mulțimea vidă, întreg spațiul X, orice reuniune finită de mulțimi închise și orice intersecție (posibil infinită) de mulțimi închise este o mulțime închisă.

Mulțimi conexe[modificare | modificare sursă]

O submulțime M a unui spațiu topologic X se numește conexă dacă nu există nici o acoperire a ei prin două mulțimi deschise disjuncte:

\not\exists A,B\in\mathcal{T},A\cap M\neq\emptyset,B\cap M\neq\emptyset, A\cap B=\emptyset, A\cup B\supseteq M

Pentru întregul spațiu X, condiția de conexitate este echivalentă cu aceea de-a nu avea altă submulțime simultan închisă și deschisă decât mulțimea vidă și întregul spațiu.

Mulțimi compacte[modificare | modificare sursă]

O submulțime M a unui spațiu topologic X se numește compactă dacă din orice acoperire deschisă a ei se poate extrage o acoperire finită. Mai exact, pentru orice familie \mathcal{F}\subseteq\mathcal{T} satisfăcând \bigcup \mathcal{F}\supseteq M, există o subfamilie \mathcal{F}_0\subseteq\mathcal{F} satisfăcând \bigcup \mathcal{F}_0\supseteq M.

Extinderi ale conceptului[modificare | modificare sursă]

Pentru orice structură algebrică se poate introduce o topologie discretă.

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

  • Andrei Iacob, Metode topologice în mecanica clasică, Editura Academiei RSR, 1973.

Vezi și[modificare | modificare sursă]