Cubul Rubik

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare
Cubul Rubik, rezolvat (desen)

Cubul lui Rubik este un joc problemă de tip puzzle inventat în 1974[1] de către sculptorul și profesorul de arhitectură maghiar Ernő Rubik.

Numit inițial „Cubul Magic” de către inventatorul său, Ernő Rubik, a fost redenumit „Cubul lui Rubik” de compania Ideal Toys în 1980[1] și a câștigat premiul special pentru Cel mai bun joc problemă la Jocul Anului în Germania. Este considerată a fi cea mai bine vândută jucărie din lume, cu peste 300.000.000 de cuburi vândute în lume până în 2005.[2]

Într-un cub Rubik clasic, fiecare din cele șase fețe este acoperită cu 9 etichete, colorate în una din șase culori (în mod tradițional alb, galben, portocaliu, roșu, albastru și verde). Un mecanism de pivoți permite rotirea independentă a fiecărei fețe, și astfel amestecarea culorilor. Pentru rezolvarea jocului, fiecare față trebuie să aibă o singură culoare.

Aniversarea a douăzeci și cinci de ani de la inventarea cubului a avut loc în 2005, când a fost produsă o variantă specială, cu o etichetă în centrul feței reflective (care a înlocuit-o pe cea albă) cu un logo „Cubul lui Rubik 1980-2005”.

Există patru variații ale Cubului, produse pe scară largă: Cubul de buzunar, de 2×2×2, cubul standard 3×3×3, apoi de 4×4×4 și de 5×5×5. Recent, s-au produs și versiuni mai mari (V-Cube 6 și V-Cube 7).

Cubul a inspirat o întreagă categorie de jocuri similare, din care fac parte cuburile de diferite dimensiuni menționate mai sus, ca și alte forme geometrice cum ar fi tetraedrul (de exemplu, Pyraminx), octaedrul, dodecaedrul, și icosaedrul. Există jocuri multidimensionale virtuale, simulat pe calculator cu un software care permite utilizatorilor să manevreze obiecte cum ar fi un cub Rubik tetradimensional, care nu poate fi construit fizic.

Concepția și dezvoltarea[modificare | modificare sursă]

În martie 1970, Larry Nichols a inventat un joc 2×2×2 numit „Puzzle with Pieces Rotatable in Groups” („joc cu piese rotibile în grupuri”) și a depus cerere de patentare în Canada. Cubul lui Nichols era susținut de magneți. Nichols a primit patentul U.S. Patent 3655201 la 11 aprilie 1972, cu doi ani înainte de inventarea de către Rubik a variantei îmbunătățite.

La 9 aprilie 1970, Frank Fox a cerut patent pentru al său „3×3×3 sferic”. Și-a primit patentul în Regatul Unit (1344259) la 16 ianuarie 1974.

Rubik a inventat „Cubul Magic” în 1974 și a obținut patentul HU170062 în Ungaria pentru el în 1975 dar nu a căutat patente internaționale. Primele prototipuri s-au produs spre sfârșitul lui 1977 și au fost distribuite prin magazinele de jucării din Budapesta. Cubul magic era susținut de piese de plastic interconectate, care sunt mai ieftin de produs decât magneții din varianta lui Nichols. În septembrie 1979, s-a semnat un acord cu Ideal Toys pentru a aduce Cubul Magic în Occident, iar jocul și-a făcut debutul internațional la târgurile de jucării din Londra, Paris, Nürnberg și New York în ianuarie și februarie 1980.

După acest debut, avansul Cubului către distribuția de masă a fost frânat temporar, pentru a putea fi produs după standardele occidentale de siguranță și ambalare. S-a produs un cub mai ușor, iar Ideal Toys a decis să-i schimbe numele. Printre variantele luate în calcul s-au numărat „Nodul gordian” și „Aurul incașilor”, dar în final s-a păstrat numele „Cubul lui Rubik”, și primul lot a fost exportat din Ungaria în mai 1980.

Nichols a acordat patentul său companiei la care lucra, Moleculon Research Corp., care a dat în judecată Ideal Toy Company în 1982. În 1984, Ideal a pierdut procesul de încălcare a patentului și a făcut apel. În 1986, curtea de apel a confirmat decizia că Cubul Rubik de buzunar 2×2×2 încălca patentul lui Nichols, dar a decis că varianta 3×3×3 nu este acoperită de acel patent.[3]

Chiar când cererea de patent a lui Rubik era analizată, Terutoshi Ishigi, un inginer autodidact proprietar al unor oțelării de lângă Tokyo, a depus cerere pentru patent în Japonia pentru un mecanism aproape identic și a primit (patentul japonez JP55-008192) în 1976. Până la intrarea învigoare a legii patentelor amendată în 1999, biroul de invenții din Japonia acorda patente japoneze pentru tehnologii secrete noi la nivel național (abia după 1999 a devenit necesar ca patentele să fie date pe idei în premieră mondială)[4][5], iar invenția lui Ishigi este acceptată în general ca o reinventare independentă.[6][7][8]

Rubik a depus cerere pentru un nou patent în Ungaria la 28 octombrie 1980, și a cerut și alte patente. În Statele Unite, Rubik a primit patentul U.S. Patent 4378116 la 29 martie 1983, pentru Cub.

Inventatorul grec Panagiotis Verdes a patentat și el o metodă de creare a cuburilor mai mari de 5×5×5, până la 11×11×11. Proiectele sale, care includ mecanisme îmbunătățite pentru dimensiunile 3×3×3, 4×4×4, și 5×5×5, sunt potrivite pentru rezolvările în viteză, iar proiectele existente pentru cuburi mai mari de 5×5×5 se defectează ușor. În iunie 2008, sunt disponibile și modele 5x5x5, 6x6x6, și 7x7x7.

Funcționare[modificare | modificare sursă]

Cub Rubik parţial dezasamblat.

Un cub standard are latura de 5,7 cm. Jocul constă din douăzeci și șase de cuburi mici. Cubul central de pe fiecare față are o singură față colorată; acestea sunt fixate de mecanismul central. Ele furnizează structura pe care sunt montate celelalte și în jurul căreia se rotesc. Astfel, există douăzeci și una de piese: o piesă centrală ce constă din trei axe intersectate ce susțin șase pătrate centrale, permițându-le să se rotească, și douăzeci de piese de plastic mai mici care se montează pe ea pentru a forma jocul asamblat. Cubul poate fi demontat fără mare dificultate, de regulă prin a roti o parte laterală la 45° și a scoate cubul din colț. Totuși, desprinderea unui cub dintr-un colț este o modalitate prin care se poate rupe un cub central — stricând jocul — este mult mai sigur să se folosească o șurubelniță pentru a proteja cubul central. Este un proces foarte simplu să se rezolve cubul prin demontarea lui și reasamblarea într-o poziție rezolvată. Există douăsprezece piese de pe muchii care arată fiecare câte două fețe colorate, și opt piese de colț care arată câte trei culori. Fiecare piesă are o combinație unică de culori, dar nu toate combinațiile sunt prezente (de exemplu, dacă roșu și portocaliu sunt pe fețe opuse ale cubului rezolvat, nu există nicio piesă de pe muchie, care să aibă cele două culori împreună). Poziția relativă a acestor cuburi poate fi modificată prin rotirea unei treimi de cub la 90°, 180° sau la 270°, dar poziția fețelor colorate în starea rezolvată nu poate fi modificată: ea este fixată de pozițiile relative ale pătratelor din centru și de distribuția combinațiilor de culori pe piesele de pe colț și pe cele de pe muchii.

La majoritatea cuburilor recente, culorile etichetelor sunt: roșu — cu portocaliu pe fața opusă; galben — cu alb pe fața opusă și verde - cu albastru pe fața opusă. Există însă și cuburi cu alte aranjamente de culori; de exemplu, fața galbenă ar putea fi opusă celei verzi, cea albastră opusă celei albe.

Permutări[modificare | modificare sursă]

Un cub Rubik are opt colțuri și douăsprezece muchii. Există 8! moduri de aranjare a pieselor din colț. Șapte pot fi orientate independent, iar orientarea celui de-al optulea depinde de celelalte șapte, dând în total 37 posibilități. Există 12!/2 moduri de aranjare a muchiilor, deoarece o permutare impară a colțurilor implică o permutare impară a muchiilor. Unsprezece muchii pot fi puse independent în câte două orientări, cu orientarea ultimei depinzând de celelalte, ceea ce dă 211 posibilități.[9]

  {8! \times 3^7 \times 12! \times 2^{10}} \approx 4.33 \times 10^{19}

Sunt exact 43.252.003.274.489.856.000 posibilități. În reclame, se spune adesea că jocul are doar miliarde de poziții, deoarece ordinele mai mari de mărime sunt greu de înțeles de mulți. Dacă s-ar pune cap la cap cuburi Rubik de 57 mm fiecare într-o permutare diferită, epuizând toate posibilițățile, șirul ar avea 261 ani lumină lungime.

Cifra de mai sus se limitează la permutările care pot fi obținute doar prin rotirea fețelor cubului. Dacă se consideră și permutările atinse prin dezasamblarea cubului, numărul este de douăsprezece ori mai mare:

  {8! \times 3^8 \times 12! \times 2^{12}} \approx 5,19 \times 10^{20}.

Numărul complet este de 519.024.039.293.878.272.724 aranjamente posibile ale pieselor care îl compun, dar numai una din douăsprezece este rezolvabilă. Aceasta pentru că nu există secvențe de mutări care să schimbe o pereche de piese sau să rotească un singur cub de pe colț sau de pe muchie. Astfel, sunt douăsprezece seturi de configurații, numite uneori „universuri” sau „orbite”, în care cubul poate fi plasat prin dezasamblare și reasamblare.

În pofida numărului mare de poziții posibile, toate cuburile se pot rezolva în cel mult douăzeci și cinci de mutări.[10] [11] Numărul mare de permutări este adesea dat ca măsură a complexității unui cub Rubik. Dificultatea jocului nu derivă însă în mod necesar din numărul mare de permutări; constrângerea impusă de mutările permise este factorul cel mai semnificativ. De exemplu, numărul de permutări ale celor 26 de litere ale alfabetului (26! = 4.03 × 1026) este mai mare decât cel al cubului Rubik, dar o problemă semnificativ mai simplă decât sortarea unei permutări a celor 26 de litere în ordine alfabetică în condițiile în care este permisă orice interschimbare de litere vecine.

Fețele centrale[modificare | modificare sursă]

Cubul Rubik original nu are semne de orientare pe fețele centrale, deși unele aveau cuvintele „Rubik's Cube” pe pătratul central al feței albe și deci rezolvarea lui nu necesită atenție la orientarea acelor fețe. Totuși, cu un marker, se poate, de exemplu, marca pătratele centrale ale unui cub rezolvat cu patru semne colorate pe fiecare latură, fiecare corespunzătoare culorii feței adiacente. Unele cuburi au fost produse cu marcaje pe toate pătratele. Astfel, se poate amesteca și apoi rezolva cubul, având totuși marcajele de pe centre rotite, și astfel devine un test suplimentar rezolvarea centrelor.

Marcarea cubului Rubik îi crește dificultatea mai ales pentru că mărește numărul de configurații diferite posibile. Când cubul este rezolvat fără interes pentru orientările pătratelor centrale, va exista mereu un număr par de pătrate care trebuie mai trebuie rotite cu 90°. Astfel, există 46/2 = 2.048 configurații posibile ale pătratelor centrale în poziția altfel rezolvată, crescând numărul total de permutări ale cubului de la 43.252.003.274.489.856.000 (4.3×1019) la 88.580.102.706.155.225.088.000 (8.9×1022).

Rezolvarea[modificare | modificare sursă]

Au fost descoperiți independent mai mulți algoritmi de rezolvare a cubului Rubik. Cea mai populară metodă este cea dezvoltată de David Singmaster și publicată în cartea sa Notes on Rubik's "Magic Cube" (Note asupra «Cubului Magic» al lui Rubik) în 1981. Acest algoritm implică rezolvarea cubului nivel cu nivel, în care întâi se rezolvă un nivel, cel de sus, apoi cel median, și în cele din urmă și cel de la bază. Rezolvarea cubului nivel cu nivel poate fi făcută în mai puțin de un minut de o persoană învățată cu algoritmul. Printre alte soluții generale se numără metodele „colțurile întâi” sau combinații de alte câteva metode. Majoritatea tutorialelor expun metoda nivel cu nivel, întrucât ea se pretează la explicarea într-un ghid pas cu pas.

Notarea mișcărilor[modificare | modificare sursă]

Cub Rubik în mijlocul unei rotaţii.
Cub Rubik rezolvat.

Majoritatea ghidurilor de soluții pentru cubul Rubik 3×3×3 utilizează aceeași notație, inițiată de David Singmaster, pentru a comunica secvențe de mutări. Aceasta este de obicei denumită „notația cubului” sau, în alte lucrări, „notația Singmaster”, sau, rareori „notația bazată pe direcție”. Natura sa relativă permite scrierea de algoritmi care pot fi aplicați indiferent de ce față este aleasă ca fiind cea de „sus” sau cum sunt organizate culorile pe un cub particular.

  • F (Front, Față): partea cu fața spre rezolvitor
  • B (Back, Spate): partea opusă feței
  • U (Up, Sus): partea de deasupra feței
  • D (Down, Jos): fața opusă celei de sus
  • L (Left, Stânga): fața aflată la stânga celei din față
  • R (Right, Dreapta): fața aflată la dreapta celei din față
  • f (Front two layers, două niveluri din față): nivelul din față și nivelul median corespunzător
  • b (Back two layers, două niveluri din spate): nivelul din spate și nivelul median corespunzător
  • u (Up two layers, două niveuri de sus) : nivelul de sus și nivelul median corespunzător
  • d (Down two layers, două niveluri de jos) : nivelul de jos și nivelul median corespunzător
  • l (Left two layers, două niveluri din stânga) : nivelul din stânga și nivelul median corespunzător
  • r (Right two layers, două niveluri din dreapta) : nivelul din dreapta și nivelul median corespunzător
  • x (rotație): rotație în sus
  • y (rotație): rotație spre stânga
  • z (rotație): rotație pe partea din dreapta

Când o literă este urmată de un apostrof, înseamnă o rotație cu 90 de grade în sens trigonometric, iar litera fără apostrof înseamnă rotația cu 90 de grade în sens orar. O literă urmată de un 2 (uneori la exponent, ²) înseamnă rotația feței cu 180 de grade (indiferent de direcție). Astfel R înseamnă fața din dreapta rotită în sens orar, dar R' înseamnă fața din dreapta rotită în sens trigonometric. Când x, y sau z au apostrof, ele semnifică rotația cubului în direcția opusă. Când rotația are un ², înseamnă că trebuie efectuată de două ori.

Această notație poate fi utilizată și pe cubul de buzunar, și poate fi extinsă și pentru cuburile mai mari.

Mutări mai rar folosite sunt rotația întregului cub, sau a două treimi din el. Literele x, y, și z sunt utilizate pentru a indica rotația întregului cub în jurul unei axe. Axa x este linia care trece prin fețele dreaptă și stângă, axa y este cea care trece prin fețele de sus și de jos, iar axa z este linia care trece prin fețele din față și din spate. (Această mutare este folosită rar în majoritatea soluțiilor, încât unele soluții nu folosesc notația, și spun doar „opriți și întoarceți cubul cu susul în jos” sau altceva similar.)

De exemplu, algoritmul F2 U' R' L F2 R L' U' F2, care rotește muchiile stânga sus, față sus și sus dreapta în sens trigonometric fără a afecta nicio altă parte a cubului reprezintă următoarea secvență de mișcări:

  1. Întoarce partea din față cu 180 de grade.
  2. Întoarce partea de sus cu 90 de grade în sens trigonometric.
  3. Întoarce partea din dreapta cu 90 de grade în sens trigonometric.
  4. Întoarce partea din stânga cu 90 de grade în sens orar.
  5. Întoarce partea din față cu 180 de grade.
  6. Întoarce partea din dreapta cu 90 de grade în sens orar.
  7. Întoarce partea din stânga cu 90 de grade în sens trigonometric.
  8. Întoarce partea de sus cu 90 de grade în sens trigonometric.
  9. Întoarce partea din față cu 180 de grade.

Pentru începătorii în învățarea algoritmilor de rezolvare a cubului, această notație poate fi dificil de utilizat, și multe soluții disponibile online se folosesc de animații care demonstrează algoritmii prezentați.

Algoritmi[modificare | modificare sursă]

În jargonul pasionaților, o secvență de mutări memorată și care are un anumit efect asupra cubului se numește algoritm. Această terminologie derivă din utilizarea termenului de algoritm din matematică, cu semnificația de listă bine definită de instrucțiuni pentru realizarea unui scop, pornind dintr-o stare inițială și trecând prin stări succesive bine definite, până la o stare finală dorită. Diferitele metode de rezolvare a cubului Rubik folosesc fiecare câte un set al său de algoritmi, împreună cu descrieri ale efectelor pe care le au, și cu situațiile în care pot fi folosite pentru a duce cubul la o stare mai apropiată de rezolvare.

Majoritatea algoritmilor sunt gândiți pentru a transforma doar o mică parte din cub, fără a avea impact asupra altor părți care ar fi putut fi deja rezolvate, astfel încât să poată fi aplicate repetat în părți diferite ale cubului până când întregul cub este rezolvat. De exemplu, există algoritmi cunoscuți pentru ciclarea a trei colțuri fără schimbarea restului cubului, sau pentru a schimba orientarea unei perechi de muchii, lăsându-le pe celelalte intacte.

Unii algoritmi au un anumit efect dorit asupra cubului (de exemplu, interschimbarea a două colțuri) dar altele ar putea avea și efectul secundar de a schimba alte părți ale cubului (cum ar fi permutarea unor muchii). Există unii algoritmi care adesea sunt mai simpli decât cei fără efecte secundare, și sunt folosiți la începutul soluționării cubului când mare parte din joc nu a fost rezolvat, iar efectele secundare nu sunt importante. Spre sfârșitul soluției, în schimb, sunt folosiți algoritmii mai specifici (și de obicei mai complicați), pentru a preveni stricarea unor părți ale jocului care au fost deja rezolvate.

Soluții pentru jocul în viteză[modificare | modificare sursă]

Există unele soluții gândite cu scopul de a face rezolvarea cubului Rubik cât mai rapidă cu putință.

Cea mai cunoscută soluție rapidă a fost dezvoltată de Jessica Fridrich. Este o metodă nivel-cu-nivel foarte eficientă și care necesită un număr mare de algoritmi, mai ales pentru orientare și pentru permutarea ultimului nivel. Colțurile primului nivel și cel de-al doilea nivel sunt rezolvate simultan, fiecare colț împreună cu o piesă de pe o muchie a nivelului al doilea.

O altă metodă foarte răspândită a fost dezvoltată de Lars Petrus. În această metodă, se rezolvă întâi o secțiune 2×2×2, extinsă apoi la 2×2×3, și apoi muchiile incorecte sunt rezolvate cu ajutorul unui algoritm de trei mișcări, care elimină nevoia unui posibil algoritm de 32 de mișcări ce ar putea să fie necesar mai târziu. Unul dintre avantajele acestei metode este acela că ea tinde să dea soluțiile după mai puține mișcări. Din acest motiv, metoda lui Petrus este foarte des folosită în concursurile în care se urmărește atingerea unui număr minim de mutări.

Soluțiile elementare necesită învățarea a doar patru sau cinci algoritmi, dar sunt în general ineficiente, rezolvarea întregului cub necesitând în medie aproximativ 100 de rotații. Prin comparație cu acestea, metoda avansată a lui Fridrich necesită învățarea a aproximativ 120 de algoritmi dar permite rezolvarea cubului în medie în doar 55 de mutări. Un alt fel de soluție dezvoltată de Ryan Heise[12] nu utilizează algoritmi, ci mai degrabă se bazează pe un set de principii de bază ce pot fi utilizate pentru a rezolva cubul în mai puțin de 40 de mișcări. „Soluția supremă” (în engleză Ultimate Solution) a lui Philip Marshall este o variație a metodei lui Fridrich, având doar 65 de rotații în medie, dar necesitând memorarea a doar doi algoritmi[13].

Căutarea soluțiilor optime[modificare | modificare sursă]

Metodele manuale de soluționare descrise mai sus sunt gândite pentru a fi ușor de învățat, dar s-au depus eforturi mari pentru a găsi soluții și mai rapide pentru cubul Rubik.

În 1982, David Singmaster și Alexander Frey au emis ipoteza că numărul de mișcări necesar pentru a rezolva un cub Rubik, în condițiile unui algoritm ideal, ar putea fi cu puțin mai mare de 20. În 2007, Daniel Kunkle și Gene Cooperman au utilizat metode de căutare pe calculator pentru a demonstra că orice configurație de cub Rubik 3×3×3 poate fi rezolvată în maxim 26 de mutări. [10] [14] În 2008, Tomas Rokicki a coborât maximul la 22 de mutări. [15] [16] [17] Se continuă încercările de a reduce limita maximă pentru soluții optime.

Competiții și recorduri[modificare | modificare sursă]

S-au ținut numeroase concursuri de rezolvare rapidă a cubului Rubik pentru a afla cine poate rezolva jocul în cel mai scurt timp. Numărul concursurilor crește în fiecare an; între 2003 și 2006 s-au ținut 72 de competiții oficiale, dintre care 33 doar în 2006.

Primul campionat mondial organizat de Guinness Book of World Records a avut loc la München la 13 martie 1981. Toate cuburile au fost mutate de 40 de ori și lubrifiate cu parafină. Învingătorul oficial, cu un record de 38 de secunde, a fost localnicul Jury Froeschl.

Primul campionat mondial internațional s-a ținut la Budapesta la 5 iunie 1982, și a fost câștigat de Minh Thai, un student vietnamez din Los Angeles, cu un timp de 22,95 secunde.

După 2003, cuncursurile sunt decise de media aritmetică a celor trei încercări mediane din cinci, dar se înregistrează și timpul cel mai bun. World Cube Association păstrează o istorie a recordurilor mondiale. [18] În 2004, WCA a impus utilizarea unui dispozitiv de cronometrare numit Stackmat.

Recordul mondial pentru o singură încercare îi aparține olandezului Mats Valk, care în cadrul competiției Zonhovan Open în Belgia, a obținut timpul de 5,55 secunde.

Cel mai reprezentativ "speedcuber" al României este Cristian Antoniu Leana, el fiind deținătorul recordurilor naționale de 11,88 secunde(1 încercare) și 12,35 secunde(media din 5 încercări), ambele stabilite la Bacău Open 2012

Concursuri alternative[modificare | modificare sursă]

În plus, se țin și competiții alternative neoficiale, în care participanții sunt invitați să rezolve cubul în condiții neobișnuite. Printre acestea se numără:

  • Rezolvarea cubului legat la ochi[19]
  • Rezolvarea cubului cu o persoană legată la ochi și cealaltă dictând mișcările pe care să le facă
  • Rezolvarea cubului sub apă dintr-o singură respirație[20]
  • Rezolvarea cubului cu o singură mână[21]
  • Rezolvarea cubului cu picioarele[22]

Dintre aceste competiții neoficiale, WCA omologhează doar competițiile de rezolvare legat la ochi, cu o singură mână și cu picioarele.[23]

Note[modificare | modificare sursă]

  1. ^ a b Rubik's Official Online Site
  2. ^ Marshall, Ray. „Squaring up to the Rubchallenge”. icNewcastle. http://icnewcastle.icnetwork.co.uk/1000expats/expatsfeatures/tm_objectid=15786140&method=full&siteid=50080&headline=squaring-up-to-the-rubik-challenge-name_page.html. Accesat la 15 august 2005. 
  3. ^ Moleculon Research Corporation v. CBS, Inc.
  4. ^ http://www.wipo.int/clea/en/text_html.jsp?lang=EN&id=2657 Japan: Patents (PCT), Law (Consolidation), 26/04/1978 (22/12/1999), No. 30 (No. 220)
  5. ^ http://www.patents.jp/Archive/20030210-02.pdf Major Amendments to the Japanese Patent Law (since 1985)
  6. ^ Hofstadter, Douglas R. (1985). Metamagical Themas. Basic Books Hofstadter dă numele sub forma „Ishige”.
  7. ^ http://cubeman.org/cchrono.txt
  8. ^ The History of Rubik's Cube - Erno Rubik
  9. ^ Martin Schönert "Analyzing Rubik's Cube with GAP": grupul de permutare al cubului Rubik examinată cu sistemul algebric computerizat GAP
  10. ^ a b Kunkle, D.; Cooperman, C. (2007). „Twenty-Six Moves Suffice for Rubik's Cube”. Proceedings of the International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation (ISSAC '07). ACM Press. http://www.ccs.neu.edu/home/gene/papers/rubik.pdf. 
  11. ^ KFC (2008). „Rubik’s cube proof cut to 25 moves. http://arxivblog.com/?p=332. 
  12. ^ Metoda lui Ryan Heise
  13. ^ Philip Marshall (2005), The Ultimate Solution to Rubik's Cube.
  14. ^ Julie J. Rehmeyer. „Cracking the Cube”. MathTrek. http://blog.sciencenews.org/mathtrek/2007/08/cracking_the_cube.html. Accesat la 9 august 2007. 
  15. ^ Tom Rokicki. „Twenty-Five Moves Suffice for Rubik's Cube. http://arxiv.org/abs/0803.3435. Accesat la 24 martie 2008. 
  16. ^ Rubik's Cube Algorithm Cut Again, Down to 23 Moves”. Slashdot. http://science.slashdot.org/article.pl?sid=08/06/05/2054249. Accesat la 5 iunie 2008. 
  17. ^ Tom Rokicki. „Twenty-Two Moves Suffice. http://cubezzz.homelinux.org/drupal/?q=node/view/121. Accesat la 20 august 2008. 
  18. ^ World Cube Association Official Results”. World Cube Association. http://www.worldcubeassociation.org/results/regions.php?regionId=&eventId=333&years=&history=History. Accesat la 16 februarie 2008. 
  19. ^ Rubik's 3x3x3 Cube: Blindfolded records
  20. ^ Rubik's Cube 3x3x3: Underwater
  21. ^ Rubik's 3x3x3 Cube: One-handed
  22. ^ Rubik's 3x3x3 Cube: With feet
  23. ^ Competition Regulations, Article 9: Events”. World Cube Association. 9 aprilie 2008. http://www.worldcubeassociation.org/regulations/#events. Accesat la 16 aprilie 2008. 

Legături externe[modificare | modificare sursă]

Commons
Wikimedia Commons conține materiale multimedia legate de Cubul Rubik