Cubul Rubik

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

Salt la: Navigare, căutare
Cubul Rubik, rezolvat (desen)

Cubul Rubik este un joc problemă de tip puzzle inventat în 1974[1] de către sculptorul şi profesorul de arhitectură maghiar Ernő Rubik.

Numit iniţial „Cubul Magic” de către inventatorul său, Ernő Rubik, a fost redenumit „Cubul lui Rubik” de compania Ideal Toys în 1980[1] şi a câştigat premiul special pentru Cel mai bun joc problemă la Jocul Anului în Germania. Este considerată a fi cea mai bine vândută jucărie din lume, cu peste 300.000.000 de cuburi vândute în lume până în 2005.[2]

Într-un cub Rubik clasic, fiecare din cele şase feţe este acoperită cu 9 etichete, colorate în una din şase culori (în mod tradiţional alb, galben, portocaliu, roşu, albastru şi verde). Un mecanism de pivoţi permite rotirea independentă a fiecărei feţe, şi astfel amestecarea culorilor. Pentru rezolvarea jocului, fiecare faţă trebuie să aibă o singură culoare.

Aniversarea a douăzeci şi cinci de ani de la inventarea cubului a avut loc în 2005, când a fost produsă o variantă specială, cu o etichetă în centrul feţei reflective (care a înlocuit-o pe cea albă) cu un logo „Cubul lui Rubik 1980-2005”.

Există patru variaţii ale Cubului, produse pe scară largă: Cubul de buzunar, de 2×2×2, cubul standard 3×3×3, apoi de 4×4×4 şi de 5×5×5. Recent, s-au produs şi versiuni mai mari (V-Cube 6 şi V-Cube 7).

Cubul a inspirat o întreagă categorie de jocuri similare, din care fac parte cuburile de diferite dimensiuni menţionate mai sus, ca şi alte forme geometrice cum ar fi tetraedrul (de exemplu, Pyraminx), octaedrul, dodecaedrul, şi icosaedrul. Există jocuri multidimensionale virtuale, simulat pe calculator cu un software care permite utilizatorilor să manevreze obiecte cum ar fi un cub Rubik tetradimensional, care nu poate fi construit fizic.

Cuprins

[modifică] Concepţia şi dezvoltarea

În martie 1970, Larry Nichols a inventat un joc 2×2×2 numit „Puzzle with Pieces Rotatable in Groups” („joc cu piese rotibile în grupuri”) şi a depus cerere de patentare în Canada. Cubul lui Nichols era susţinut de magneţi. Nichols a primit patentul U.S. Patent 3655201 la 11 aprilie 1972, cu doi ani înainte de inventarea de către Rubik a variantei îmbunătăţite.

La 9 aprilie 1970, Frank Fox a cerut patent pentru al său „3×3×3 sferic”. Şi-a primit patentul în Regatul Unit (1344259) la 16 ianuarie 1974.

Rubik a inventat „Cubul Magic” în 1974 şi a obţinut patentul HU170062 în Ungaria pentru el în 1975 dar nu a căutat patente internaţionale. Primele prototipuri s-au produs spre sfârşitul lui 1977 şi au fost distribuite prin magazinele de jucării din Budapesta. Cubul magic era susţinut de piese de plastic interconectate, care sunt mai ieftin de produs decât magneţii din varianta lui Nichols. În septembrie 1979, s-a semnat un acord cu Ideal Toys pentru a aduce Cubul Magic în Occident, iar jocul şi-a făcut debutul internaţional la târgurile de jucării din Londra, Paris, Nürnberg şi New York în ianuarie şi februarie 1980.

După acest debut, avansul Cubului către distribuţia de masă a fost frânat temporar, pentru a putea fi produs după standardele occidentale de siguranţă şi ambalare. S-a produs un cub mai uşor, iar Ideal Toys a decis să-i schimbe numele. Printre variantele luate în calcul s-au numărat „Nodul gordian” şi „Aurul incaşilor”, dar în final s-a păstrat numele „Cubul lui Rubik”, şi primul lot a fost exportat din Ungaria în mai 1980.

Nichols a acordat patentul său companiei la care lucra, Moleculon Research Corp., care a dat în judecată Ideal Toy Company în 1982. În 1984, Ideal a pierdut procesul de încălcare a patentului şi a făcut apel. În 1986, curtea de apel a confirmat decizia că Cubul Rubik de buzunar 2×2×2 încălca patentul lui Nichols, dar a decis că varianta 3×3×3 nu este acoperită de acel patent.[3]

Chiar când cererea de patent a lui Rubik era analizată, Terutoshi Ishigi, un inginer autodidact proprietar al unor oţelării de lângă Tokyo, a depus cerere pentru patent în Japonia pentru un mecanism aproape identic şi a primit (patentul japonez JP55-008192) în 1976. Până la intrarea învigoare a legii patentelor amendată în 1999, biroul de invenţii din Japonia acorda patente japoneze pentru tehnologii secrete noi la nivel naţional (abia după 1999 a devenit necesar ca patentele să fie date pe idei în premieră mondială)[4][5], iar invenţia lui Ishigi este acceptată în general ca o reinventare independentă.[6][7][8]

Rubik a depus cerere pentru un nou patent în Ungaria la 28 octombrie 1980, şi a cerut şi alte patente. În Statele Unite, Rubik a primit patentul U.S. Patent 4378116 la 29 martie 1983, pentru Cub.

Inventatorul grec Panagiotis Verdes a patentat şi el o metodă de creare a cuburilor mai mari de 5×5×5, până la 11×11×11. Proiectele sale, care includ mecanisme îmbunătăţite pentru dimensiunile 3×3×3, 4×4×4, şi 5×5×5, sunt potrivite pentru rezolvările în viteză, iar proiectele existente pentru cuburi mai mari de 5×5×5 se defectează uşor. În iunie 2008, sunt disponibile şi modele 5x5x5, 6x6x6, şi 7x7x7.

[modifică] Funcţionare

Cub Rubik parţial dezasamblat.

Un cub standard are latura de 5,7 cm. Jocul constă din douăzecişi şase de cuburi mici. Cubul central de pe fiecare faţă are o singură faţă colorată; acestea sunt fixate de mecanismul central. Ele furnizează structura pe care sunt montate celelalte şi în jurul căreia se rotesc. Astfel, există douăzeci şi una de piese: o piesă centrală ce constă din trei axe intersectate ce susţin şase pătrate centrale, permiţându-le să se rotească, şi douăzeci de piese de plastic mai mici care se montează pe ea pentru a forma jocul asamblat. Cubul poate fi demontată fără mare dificultate, de regulă prin a roti o parte laterală la 45° şi a scoate cubul din colţ. Totuşi, desprinderea unui cub dintr-un colţ este o modalitate prin care se poate rupe un cub central—stricând jocul—este mult mai sigur să se folosească o şurubelniţă pentru a proteja cubul central. Este un proces foarte simplu să se rezolve cubul prin demontarea lui şi reasamblarea într-o poziţie rezolvată. Există douăsprezece piese de pe muchii care arată fiecare câte două feţe colorate which, şi opt piese de colţ care arată câte trei culori. Fiecare piesă are o combinaţie unică de culori, dar nu toate combinaţiile sunt prezente (de exemplu, dacă roşu şi portocaliu sunt pe feţe opuse ale cubului rezolvat, nu există nicio piesă de pe muchie, care să aibă cele două culori împreună). Poziţia relativă a acestor cuburi poate fi modificată prin rotirea unei treimi de cub la 90°, 180° sau la 270°, dar poziţia feţelor colorate în starea rezolvată nu poate fi modificată: ea este fixată de poziţiile relative ale pătratelor din centru şi de distribuţia combinaţiilor de culori pe piesele de pe colţ şi pe cele de pe muchii.

La majoritatea cuburilor recente, culorile etichetelor sunt: roşu—cu portocaliu pe faţa opusă; galben—cu alb pe faţa opusă—şi verde, cu albastru pe faţa opusă. Există însă şi cuburi cu alte aranjamente de culori; de exemplu, faţa galbenă ar putea fi opusă celei verzi, cea albastră opusă celei albe.

[modifică] Permutări

Un cub Rubik are opt colţuri şi douăsprezece muchii. Există 8! moduri de aranjare a pieselor din colţ. Şapte pot fi orientate independent, iar orientarea celui de-al optulea depinde de celelalte şapte, dând în total 37 posibilităţi. Există 12!/2 moduri de aranjare a muchiilor, deoarece o permutare impară a colţurilor implică o permutare impară a munchiilor. Unsprezece muchii pot fi puse independent în câte două orientări, cu orientarea ultimei depinzând de celelalte, ceea ce dă 211 posibilităţi.[9]

{8! \times 3^7 \times 12! \times 2^{10}} \approx 4.33 \times 10^{19}

Sunt exact 43.252.003.274.489.856.000 posibilităţi. În reclame, se spune adesea că jocul are doar miliarde de poziţii, deoarece ordinele mai mari de mărime sunt greu de înţeles de mulţi. Dacă s-ar pune cap la cap cuburi Rubik de 57 mm fiecare într-o permutare diferită, epuizând toate posibiliţăţile, şirul ar avea 261 ani lumină lungime.

Cifra de mai sus se limitează la permutările care pot fi obţinute doar prin rotirea feţelor cubului. Dacă se consideră şi permutările atinse prin dezasamblarea cubului, numărul este de douăsprezece ori mai mare:

{8! \times 3^8 \times 12! \times 2^{12}} \approx 5,19 \times 10^{20}.

Numărul complet este de 519.024.039.293.878.272.724 aranjamente posibile ale pieselor care îl compun, dar numai una din douăsprezece este rezolvabilă. Aceasta pentru că nu există secvenţe de mutări care să schimbe o pereche de piese sau să rotească un singur cub de pe colţ sau de pe muchie. Astfel, sunt douăsprezece seturi de configuraţii, numite uneori „universuri” sau „orbite”, în care cubul poate fi plasat prin dezasamblare şi reasamblare.

În pofida numărului mare de poziţii posibile, toate cuburile se pot rezolva în cel mult douăzeci şi cinci de mutări.[10] [11] Numărul mare de permutări este adesea dat ca măsură a complexităţii unui cub Rubik. Dificultatea jocului nu derivă însă în mod necesar din numărul mare de permutări; constrângerea impusă de mutările permise este factorul cel mai semnificativ. De exemplu, numărul de permutări ale celor 26 de litere ale alfabetului (26! = 4.03 × 1026) este mai mare decât cel al cubului Rubik, dar o problemă semnificativ mai simplă decât sortarea unei permutări a celor 26 de litere în ordine alfabetică în condiţiile în care este permisă orice interschimbare de litere vecine.

[modifică] Feţele centrale

Cubul Rubik original nu are semne de orientare pe feţele centrale, deşi unele aveau cuvintele „Rubik's Cube” pe pătratul central al feţei albe şi deci rezolvarea lui nu necesită atenţie la orientarea acelor feţe. Totuşi, cu un marker, se poate, de exemplu, marca pătratele centrale ale unui cub rezolvat cu patru semne colorate pe fiecare latură, fiecare corespunzătoare culorii feţei adiacente. Unele cuburi au fost produse cu marcaje pe toate pătratele. Astfel, se poate amesteca şi apoi rezolva cubul, având totuşi marcajele de pe centre rotite, şi astfel devine un test suplimentar rezolvarea centrelor.

Marcarea cubului Rubik îi creşte dificultatea mai ales pentru că măreşte numărul de configuraţii diferite posibile. Când cubul este rezolvat fără interes pentru orientările pătratelor centrale, va exista mereu un număr par de pătrate care trebuie mai trebuie rotite cu 90°. Astfel, există 46/2 = 2.048 configuraţii posibile ale pătratelor centrale în poziţia altfel rezolvată, crescând numărul total de permutări ale cubului de la 43.252.003.274.489.856.000 (4.3×1019) la 88.580.102.706.155.225.088.000 (8.9×1022).

[modifică] Rezolvarea

Au fost descoperiţi independent mai mulţi algoritmi de rezolvare a cubului Rubik. Cea mai populară metodă este cea dezvoltată de David Singmaster şi publicată în cartea sa Notes on Rubik's "Magic Cube" (Note asupra «Cubului Magic» al lui Rubik) în 1981. Acest algoritm implică rezolvarea cubului nivel cu nivel, în care întâi se rezolvă un nivel, cel de sus, apoi cel median, şi în cele din urmă şi cel de la bază. Rezolvarea cubului nivel cu nivel poate fi făcută în mai puţin de un minut de o persoană învăţată cu algoritmul. Printre alte soluţii generale se numără metodele „colţurile întâi” sau combinaţii de alte câteva metode. Majoritatea tutorialelor expun metoda nivel cu nivel, întrucât ea se pretează la explicarea într-un ghid pas cu pas.

[modifică] Notarea mişcărilor

Cub Rubik în mijlocul unei rotaţii.
Cub Rubik rezolvat.

Majoritatea ghidurilor de soluţii pentru cubul Rubik 3×3×3 utilizează aceeaşi notaţie, iniţiată de David Singmaster, pentru a comunica secvenţe de mutări. Aceasta este de obicei denumită „notaţia cubului” sau, în alte lucrări, „notaţia Singmaster”, sau, rareori „notaţia bazată pe direcţie”. Natura sa relativă permite scrierea de algoritmi care pot fi aplicaţi indiferent de ce faţă este aleasă ca fiind cea de „sus” sau cum sunt organizate culorile pe un cub particular.

  • F (Front, Faţă): partea cu faţa spre rezolvitor
  • B (Back, Spate): partea opusă feţei
  • U (Up, Sus): partea de deasupra feţei
  • D (Down, Jos): faţa opusă celei de sus
  • L (Left, Stânga): faţa aflată la stânga celei din faţă
  • R (Right, Dreapta): faţa aflată la dreapta celei din faţă
  • f (Front two layers, două niveluri din faţă): nivelul din faţă şi nivelul median corespunzător
  • b (Back two layers, două niveluri din spate): nivelul din spate şi nivelul median corespunzător
  • u (Up two layers, două niveuri de sus) : nivelul de sus şi nivelul median corespunzător
  • d (Down two layers, două niveluri de jos) : nivelul de jos şi nivelul median corespunzător
  • l (Left two layers, două niveluri din stânga) : nivelul din stânga şi nivelul median corespunzător
  • r (Right two layers, două niveluri din dreapta) : nivelul din dreapta şi nivelul median corespunzător
  • x (rotaţie): rotaţie în sus
  • y (rotaţie): rotaţie spre stânga
  • z (rotaţie): rotaţie pe partea din dreapta

Când o literă este urmată de un apostrof, înseamnă o rotaţie cu 90 de grade în sens trigonometric, iar litera fără apostrof înseamnă rotaţia cu 90 de grade în sens orar. O literă urmată de un 2 (uneori la exponent, ²) înseamnă rotaţia feţei cu 180 de grade (indiferent de direcţie). Astfel R înseamnă faţa din dreapta rotită în sens orar, dar R' înseamnă faţa din dreapta rotită în sens trigonometric. Când x, y sau z au apostrof, ele semnifică rotaţia cubului în direcţia opusă. Când rotaţia are un ², înseamnă că trebuie efectuată de două ori.

Această notaţie poate fi utilizată şi pe cubul de buzunar, şi poate fi extinsă şi pentru cuburile mai mari.

Mutări mai rar folosite sunt rotaţia întregului cub, sau a două treimi din el. Literele x, y, şi z sunt utilizate pentru a indica rotaţia întregului cub în jurul unei axe. Axa x este linia care trece prin feţele dreaptă şi stângă, axa y este cea care trece prin feţele de sus şi de jos, iar axa z este linia care trece prin feţele din faţă şi din spate. (Această mutare este folosită rar în majoritatea soluţiilor, încât unele soluţii nu folosesc notaţia, şi spun doar „opriţi şi întoarceţi cubul cu susul în jos” sau altceva similar.)

De exemplu, algoritmul F2 U' R' L F2 R L' U' F2, care roteşte muchiile stânga sus, faţă sus şi sus dreapta în sens trigonometric fără a afecta nicio altă parte a cubului reprezintă următoarea secvenţă de mişcări:

  1. Întoarce partea din faţă cu 180 de grade.
  2. Întoarce partea de sus cu 90 de grade în sens trigonometric.
  3. Întoarce partea din dreapta cu 90 de grade în sens trigonometric counter-clockwise.
  4. Întoarce partea din stânga cu 90 de grade în sens orar.
  5. Întoarce partea din faţă cu 180 de grade.
  6. Întoarce partea din stânga cu 90 de grade în sens orar.
  7. Întoarce partea din stânga cu 90 de grade în sens trigonometric.
  8. Întoarce partea de sus cu 90 de grade în sens trigonometric.
  9. Întoarce partea din faţă cu 180 de grade.

Pentru începătorii în învăţarea algoritmilor de rezolvare a cubului, această notaţie poate fi dificil de utilizat, şi multe soluţii disponibile online se folosesc de animaţii care demonstrează algoritmii prezentaţi.

[modifică] Algoritmi

În jargonul pasionaţilor, o secvenţă de mutări memorată şi care are un anumit efect asupra cubului se numeşte algoritm. Această terminologie derivă din utilizarea termenului de algoritm din matematică, cu semnificaţia de listă bine definită de instrucţiuni pentru realizarea unui scop, pornind dintr-o stare iniţială şi trecând prin stări succesive bine definite, până la o stare finală dorită. Diferitele metode de rezolvare a cubului Rubik folosesc fiecare câte un set al său de algoritmi, împreună cu descrieri ale efectelor pe care le au, şi cu situaţiile în care pot fi folosite pentru a duce cubul la o stare mai apropiată de rezolvare.

Majoritatea algoritmilor sunt gândiţi pentru a transforma doar o mică parte din cub, fără a avea impact asupra altor părţi care ar fi putut fi deja rezolvate, astfel încât să poată fi aplicate repetat în părţi diferite ale cubului până când întregul cub este rezolvat. De exemplu, există algoritmi cunoscuţi pentru ciclarea a trei colţuri fără schimbarea restului cubului, sau pentru a schimba orientarea unei perechi de muchii, lăsându-le pe celelalte intacte.

Unii algoritmi au un anumit efect dorit asupra cubului (de exemplu, interschimbarea a două colţuri) dar altele ar putea avea şi efectul secundar de a schimba alte părţi ale cubului (cum ar fi permutarea unor muchii). Există unii algoritmi care adesea sunt mai simpli decât cei fără efecte secundare, şi sunt folosiţi la începutul soluţionării cubului când mare parte din joc nu a fost rezolvat, iar efectele secundare nu sunt importante. Spre sfârşitul soluţiei, în schimb, sunt folosiţi algoritmii mai specifici (şi de obicei mai complicaţi), pentru a preveni stricarea unor părţi ale jocului care au fost deja rezolvate.

[modifică] Soluţii pentru jocul în viteză

Există unele soluţii gândite cu scopul de a face rezolvarea cubului Rubik cât mai rapidă cu putinţă.

Cea mai cunoscută soluţie rapidă a fost dezvoltată de Jessica Fridrich. Este o metodă nivel-cu-nivel foarte eficientă şi care necesită un număr mare de algoritmi, mai ales pentru orientare şi pentru permutarea ultimului nivel. Coţurile primului nivel şi cel de-al doilea nivel sunt rezolvate simultan, fiecare colţ împreună cu o piesă de pe o muchie a nivelului al doilea.

O altă metodă foarte răspândită a fost dezvoltată de Lars Petrus. În această metodă, se rezolvă întâi o secţiune 2×2×2, extinsă apoi la 2×2×3, şi apoi muchiile incorecte sunt rezolvate cu ajutorul unui algoritm de trei mişcări, care elimină nevoia unui posibil algoritm de 32 de mişcări ce ar putea să fie necesar mai târziu. Unul dintre avantajele acestei metode este acela că ea tinde să dea soluţiile după mai puţine mişcări. Din acest motiv, metoda lui Petrus este foarte des folosită în concursurile în care se urmăreşte atingerea unui număr minim de mutări.

Soluţiile elementare necesită învăţarea a doar patru sau cinci algoritmi, dar sunt în general ineficiente, rezolvarea întregului cub necesitând în medie aproximativ 100 de rotaţii. Prin comparaţie cu acestea, metoda avansată a lui Fridrich necesită învăţarea a aproximativ 120 de algoritmi dar permite rezolvarea cubului în medie în doar 55 de mutări. Un alt fel de soluţie dezvoltată de Ryan Heise[12] nu utilizează algoritmi, ci mai degrabă se bazează pe un set de principii de bază ce pot fi utilizate pentru a rezolva cubul în mai puţin de 40 de mişcări. „Soluţia supremă” (în engleză Ultimate Solution) a lui Philip Marshall este o variaţie a metodei lui Fridrich, având doar 65 de rotaţii în medie, dar necesitând memorarea a doar doi algoritmi[13].

[modifică] Căutarea soluţiilor optime

Metodele manuale de soluţionare descrise mai sus sunt gândite pentru a fi uşor de învăţat, dar s-au depus eforturi mari pentru a găsi soluţii şi mai rapide pentru cubul Rubik.

În 1982, David Singmaster şi Alexander Frey au emis ipoteza că numărul de mişcări necesar pentru a rezolva un cub Rubik, în condiţiile unui algoritm ideal, ar putea fi cu puţin mai mare de 20. În 2007, Daniel Kunkle şi Gene Cooperman au utilizat metode de căutare pe calculator pentru a demonstra că orice configuraţie de cub Rubik 3×3×3 poate fi rezolvată în maxim 26 de mutări. [10] [14] În 2008, Tomas Rokicki a coborât maximul la 22 de mutări. [15] [16] [17] Se continuă încercările de a reduce limita maximă pentru soluţii optime.

[modifică] Competiţii şi recorduri

S-au ţinut numeroase concursuri de rezolvare rapidă a cubului Rubik pentru a afla cine poate rezolva jocul în cel mai scurt timp. Numărul concursurilor creşte în fiecare an; între 2003 şi 2006 s-au ţinut 72 de competiţii oficiale, dintre care 33 doar în 2006.

Primul campionat mondial organizat de Guinness Book of World Records a avut loc la München la 13 martie 1981. Toate cuburile au fost mutate de 40 de ori şi lubrifiate cu parafină. Învingătorul oficial, cu un record de 38 de secunde, a fost localnicul Jury Froeschl.

Primul campionat mondial internaţional s-a ţinut la Budapesta la 5 iunie 1982, şi a fost câştigat de Minh Thai, un student vietnamez din Los Angeles, cu un timp de 22,95 secunde.

După 2003, cuncursurile sunt decise mediana obţinută din cinci încercări; dar se înregistrează şi timpul cel mai bun. World Cube Association păstrează o istorie a recordurilor mondiale. [18] În 2004, WCA a impus utilizarea unui dispozitiv de cronometrare numit Stackmat.

Recordul mondial pentru o singură încercare este deţinut de Erik Akkersdijk care, în 2008, a rezolvat un cub în 7,08 secunde la Czech Open 2008. Recordul mondial pentru timpul mediu îi aparţine lui Tomasz Zolnowski, cu timpul de 10,63 secunde, la 4 aprilie 2009.

[modifică] Concursuri alternative

În plus, se ţin şi competiţii alternative neoficiale, în care participanţii sunt invitaţi să rezolve cubul în condiţii neobişnuite. Printre acestea se numără:

  • Rezolvarea cubului legat la ochi[19]
  • Rezolvarea cubului cu o persoană legată la ochi şi cealaltă dictând mişcările pe care să le facă
  • Rezolvarea cubului sub apă dintr-o singură respiraţie[20]
  • Rezolvarea cubului cu o singură mână[21]
  • Rezolvarea cubului cu picioarele[22]

Dintre aceste competiţii neoficiale, WCA omologhează doar competiţiile de rezolvare legat la ochi, cu o singură mână şi cu picioarele.[23]

[modifică] Note

  1. ^ a b Rubik's Official Online Site
  2. ^ Marshall, Ray. Squaring up to the Rubchallenge. icNewcastle. Accesat la data de 15 august 2005.
  3. ^ Moleculon Research Corporation v. CBS, Inc.
  4. ^ http://www.wipo.int/clea/en/text_html.jsp?lang=EN&id=2657 Japan: Patents (PCT), Law (Consolidation), 26/04/1978 (22/12/1999), No. 30 (No. 220)
  5. ^ http://www.patents.jp/Archive/20030210-02.pdf Major Amendments to the Japanese Patent Law (since 1985)
  6. ^ Hofstadter, Douglas R. (1985). Metamagical Themas, Basic Books.Hofstadter dă numele sub forma „Ishige”.
  7. ^ http://cubeman.org/cchrono.txt
  8. ^ The History of Rubik's Cube - Erno Rubik
  9. ^ Martin Schönert "Analyzing Rubik's Cube with GAP": grupul de permutare al cubului Rubik examinată cu sistemul algebric computerizat GAP
  10. ^ a b Kunkle, D.; Cooperman, C. (2007). „Twenty-Six Moves Suffice for Rubik's Cube”. Proceedings of the International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation (ISSAC '07), ACM Press. 
  11. ^ KFC (2008). „Rubik’s cube proof cut to 25 moves”.. 
  12. ^ Metoda lui Ryan Heise
  13. ^ Philip Marshall (2005), The Ultimate Solution to Rubik's Cube.
  14. ^ Julie J. Rehmeyer. Cracking the Cube. MathTrek. Accesat la data de 2007-08-09.
  15. ^ Tom Rokicki. Twenty-Five Moves Suffice for Rubik's Cube. Accesat la data de 2008-03-24.
  16. ^ Rubik's Cube Algorithm Cut Again, Down to 23 Moves. Slashdot. Accesat la data de 2008-06-05.
  17. ^ Tom Rokicki. Twenty-Two Moves Suffice. Accesat la data de 2008-08-20.
  18. ^ World Cube Association Official Results. World Cube Association. Accesat la data de 2008-02-16.
  19. ^ Rubik's 3x3x3 Cube: Blindfolded records
  20. ^ Rubik's Cube 3x3x3: Underwater
  21. ^ Rubik's 3x3x3 Cube: One-handed
  22. ^ Rubik's 3x3x3 Cube: With feet
  23. ^ Competition Regulations, Article 9: Events. World Cube Association (2008-04-09). Accesat la data de 2008-04-16.

[modifică] Legături externe

Commons
Wikimedia Commons conţine materiale multimedia legate de Cubul Rubik
Wikibooks
 Wikibooks: Cum se rezolvă un cub Rubik (în limba engleză) – Material de informare

Adus de la http://ro.wikipedia.org/wiki/Cubul_Rubik
Unelte personale