Inel (matematică)

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

Un inel I=(A, +, *) este o structură algebrică formată dintr-o mulțime suport \ A și două operații binare, definite pe produsul cartezian A \times A cu valori în \ A, numite convențional + (sau operația aditivă) și * (sau operația multiplicativă), astfel încât:

  1. G = ( A , + ) formează un grup comutativ sau abelian. Elementul neutru al lui G se notează în general cu 0.
  2. S = ( A, * ) formează un semigrup.
  3. Se îndeplinește proprietatea de distributivitate a înmulțirii față de adunare, adică pentru orice x,y,z\in A:
x*(y+z) = (x*y) + (x*z)
(x+y)*z = (x*z) + (y*z)

Definiții[modificare | modificare sursă]

Dacă operația de înmulțire este comutativă, adică

(\forall x,y\in A)\  x*y=y*x atunci inelul A este un inel comutativ.

Dacă A\ne\{0\} și înmulțirea admite element neutru, adică

(\exists 1\in A)\ (\forall x\in A)\ 1*x=x*1=x atunci inelul A este inel cu unitate sau inel unitar.

Un inel comutativ cu cel puțin două elemente și fără divizori ai lui zero se numește inel integru (sau domeniu de integritate).[1]

Un inel în care orice element (în afară de 0) are invers față de înmulțire se numește corp.

Elementul neutru în raport cu operația + se notează 0 și se numește elementul nul, iar simetricul lui x\in A în raport cu adunarea se notează -x și se numește opusul lui x. În loc de x+(-y), vom nota x-y.

Dacă A este inel unitar, atunci elementele lui A simetrizabile în raport cu operația multiplicativă se numesc elemente inversabile .

Se notează cu U(A) mulțimea elementelor inversabile ale inelului unitar A, adică

U(A)=\{x\in A|\exists \ x^,\in A, x*\ x^,=\ x^,*x=1\}

Fie A un inel. Două elemente x,y\in A se numesc permutabile dacă x*y=y*x. Un element a\in A se numește element central dacă el permută cu orice element din inelul A. Mulțimea

C(A):=\{a\in A|a*x=x*a, \forall x\in A\}

a tuturor elementelor centrale din A se numește centrul inelului A.

Exemple de inele[modificare | modificare sursă]

  1. Inelul numerelor întregi
    (\mathbb{Z},+,*) este inel comutativ în care elementul nul este 0 și elementul unitate este 1, iar U(\mathbb{Z})=\{-1,1\}.
  2. Inelul numerelor raționale
    (\mathbb{Q},+,*) este inel comutativ în care elementul nul este 0 și elementul unitate este 1. În plus U(\mathbb{Q})=\mathbb{Q^*}.
  3. Inelul numerelor reale
    (\mathbb{R},+,*) este inel comutativ în care elementul nul este 0 și elementul unitate este 1. În plus U(\mathbb{R})=\mathbb{R^*}.
  4. Inelul numerelor complexe
    (\mathbb{C},+,*) este inel comutativ cu U(\mathbb{C})=\mathbb{C^*}.
  5. Inelul \mathbb{Z}_n al claselor de resturi modulo n.
    (\mathbb{Z}_n,+,*) este inel comutativ, iar U(\mathbb{Z}_n)=\{\hat a\in \mathbb{Z}_n| (a,n)=1\}.

Proprietăți[modificare | modificare sursă]

Fie A un inel. Atunci pentru \forall x,y,z\in A, avem:

  1. x*0=0*x=0
  2. (-x)*y=x*(-y)=-x*y
  3. (-x)*(-y)=x*y
  4. x*(y-z)=x*y-x*z și (y-z)*x=y*x-z*x
  5. Dacă A este inel cu unitate, atunci (-1)*x=-x
  6. Dacă n\in \mathbb{N}^*,atunci definim x^1=x și x^m=x^{m-1} *x, (m \geq 2) . Pentru \forall m,n\in \mathbb{N}^*, avem x^{m+n}=x^m*x^n.

Note[modificare | modificare sursă]

  1. ^ Ioan Purdea, Gheorghe Pic, Tratat de algebră modernă, Vol. 1, Editura Academiei Republicii Socialiste România, București, 1977, p. 219

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

  • Gheorghe Ivan, Paul Mihai Șușoi, Elemente de teoria polinoamelor și a ecuațiilor algebrice, Editura Ionescu, 2001.
  • Vasile Popuța, Algebră. Curs elementar de structuri fundamentale, Editura Mirton, Timișoara, 1998.