Geometrie hiperbolică

Drepte care trec printr-un punct dat P şi care nu intersectează dreapta R.

În matematică, geometria hiperbolică (numită și geometria lobacevskiană sau geometria Bolyai-Lobacevskiană) este o geometrie non-euclidiană, adică axioma (postulatul) paralelelor din geometria euclidiană este înlocuită. Axioma paralelelor din geometria euclidiană este echivalentă cu faptul că, într-un spațiu bidimensional, pentru orice dreaptă d și orice punct P care nu aparține dreptei d, există o unică dreaptă care trece prin P și care nu intersectează dreapta d, adică este paralelă cu d. În geometria hiperbolică există cel puțin două drepte care trec prin P și nu se intersectează cu d, astfel încât această axiomă nu mai ramâne valabilă. Diverse modele au fost construite cu ajutorul geometriei euclidiene, prin excluderea axiomelor din geometria hiperbolică, demonstrând astfel că axioma paralelelor este independentă de celelalte axiome ale lui Euclid. O proprietate caracteristică geometriei hiperbolice atestă faptul că suma unghiurilor unui triunghi este mai mică decât măsura unui unghi drept. În cazul în care vârfurile tind la infinit, există triunghiuri hiperbolice ideale, în care toate cele trei unghiuri au măsurile egale cu 0°.

Triunghiuri

În planul hiperbolic distanțele pot fi măsurate în termeni de o unitate de lungime $R = \frac{1}{\sqrt{-K}}$, fiind analoagele razelor unor sfere din geometria sferică. Utilizând această unitate de lungime, există în geometria hiperbolică, o teoremă echivalentă cu teorema lui Pitagora. Dacă $a, b\,$ sunt două laturi ale unui triunghi dreptunghic, iar $c\,$ este ipotenuza sa atunci avem:

$\cosh c=\cosh a\cosh b\,.$

Funcția cosh este o funcție hiperbolică, echivalentă funcției standard cosinus. Toate cele trei funcții trigonometrice standard au echivalente hiperbolice. În trigonometrie, în relațiile ce conțin laturile și unghiurile unui triunghi hiperbolic, funcțiile hiperbolice sunt aplicate laturilor, iar funcțiile trigonometrice standard sunt aplicate unghiurilor. De exemplu, teorema sinusului într-un triunghi hiperbolic este:

$\frac{\sin A}{\sinh a} = \frac{\sin B}{\sinh b} = \frac{\sin C}{\sinh c}.$

Spre deosebire de triunghiurile euclidiene, în care suma tuturor unghiurilor este egală cu 180 de grade sau $\pi$ radiani, în triunghiurile hiperbolice toate cele trei unghiuri însumează mai puțin de 180 de grade. Această diferență se datorează defectului. Aria unui triunghi hiperbolic este dată de defectul său, înmulțit cu $R^2$ , unde $R = \frac{1}{\sqrt{-K}}$ . Ca o consecință, toate triunghiurile hiperbolice au aria mai mică decât $\pi{R^2}$. La fel ca în geometria sferică singurele triunghiuri asemenea sunt triunghiurile congruente.

Cercuri și sfere

În geometria hiperbolică lungimea unui cerc de rază $r \,$ este mai mare decât $2 \pi r \,.$. De fapt este egală cu

$2\pi R \sinh \frac{r}{R} \,.$

Aria discului închis este

$2\pi R^2 (\cosh \frac{r}{R} - 1) \,.$

Aria suprafeței unei sfere este

$4\pi R^2 \sinh^2 \frac{r}{R} \,.$

Vezi și

• Patrulaterul Saccheri
• Geometrie sferică

Referințe

• Coxeter, H. S. M., (1942) Non-Euclidean geometry, University of Toronto Press, Toronto
• Fenchel, Werner (1989). Elementary geometry in hyperbolic space. De Gruyter Studies in mathematics. 11. Berlin-New York: Walter de Gruyter & Co. 
• Fenchel, Werner; Nielsen, Jakob; edited by Asmus L. Schmidt (2003). Discontinuous groups of isometries in the hyperbolic plane. De Gruyter Studies in mathematics. 29. Berlin: Walter de Gruyter & Co. 
• Lobachevsky, Nikolai I., (2010) Pangeometry, Edited and translated by Athanase Papadopoulos, Heritage of European Mathematics, Vol. 4. Zürich: European Mathematical Society (EMS). xii, 310~p, ISBN 978-3-03719-087-6/hbk
• Milnor, John W., (1982) Hyperbolic geometry: The first 150 years, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) Volume 6, Number 1, pp. 9–24.
• Reynolds, William F., (1993) Hyperbolic Geometry on a Hyperboloid, American Mathematical Monthly 100:442-455.
• Stillwell, John (1996). Sources of hyperbolic geometry. History of Mathematics. 10. Providence, R.I.: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-0529-9. http://books.google.com/books?id=ZQjBXxxQsucCFormat:Inconsistent citations 
• Samuels, David., (March 2006) Knit Theory Discover Magazine, volume 27, Number 3.
• James W. Anderson, Hyperbolic Geometry, Springer 2005, ISBN 1-85233-934-9
• James W. Cannon, William J. Floyd, Richard Kenyon, and Walter R. Parry (1997) Hyperbolic Geometry, MSRI Publications, volume 31.