Asociativitate

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

În matematică, o operaţie binară se numeşte asociativă dacă într-o expresie care conţine de două sau mai multe ori operatorul respectiv, ordinea operaţiilor nu contează atîta vreme cît ordinea operanzilor nu se schimbă. De exemplu adunarea numerelor reale este asociativă, pentru că

(a + b) + c = a + (b + c).

În schimb scăderea numerelor reale nu este asociativă:

$(a - b) - c \ne a - (b - c).$

Cuprins

1 Definiţie
2 Exemple
- 2.1 Operaţii asociative
- 2.2 Operaţii neasociative
3 Bibliografie
4 Vezi şi

[modifică] Definiţie

Fie o operaţie binară $*$ definită pe mulţimea $A$ . Operaţia se numeşte asociativă dacă îndeplineşte condiţia:

$(x*y)*z=x*(y*z)\qquad \forall x,y,z\in A.$

În cazul operaţiilor pentru care a fost demonstrată asociativitatea parantezele care arată ordinea operaţiilor nu mai sînt necesare şi de obicei se scrie

x * y * z .

[modifică] Exemple

[modifică] Operaţii asociative

Adunarea şi înmulţirea numerelor reale sînt asociative:

$\left. \begin{matrix} (x+y)+z=x+(y+z)=x+y+z\quad \\ (x\,y)z=x(y\,z)=x\,y\,z\qquad\qquad\qquad\quad\ \ \, \end{matrix} \right\} \forall x,y,z\in\mathbb{R}.$

Aceleaşi proprietăţi le au adunarea şi înmulţirea numerelor complexe.

Atît adunarea cît şi înmulţirea matricelor sînt asociative. Înmulţirea matricelor este însă necomutativă, deci deşi ordinea operaţiilor se poate schimba, ordinea operanzilor trebuie păstrată.

Similar sînt asociative operaţiile: intersecţia şi uniunea mulţimilor, extragerea celui mai mare divizor comun şi a celui mai mic multiplu comun, compunerea funcţiilor şi altele.