Asociativitate

În matematică, o operație binară se numește asociativă dacă într-o expresie care conține de două sau mai multe ori operatorul respectiv, ordinea operațiilor nu contează atîta vreme cît ordinea operanzilor nu se schimbă. De exemplu adunarea numerelor reale este asociativă, pentru că

$(a + b) + c = a + (b + c).$

În schimb scăderea numerelor reale nu este asociativă:

$(a - b) - c \ne a - (b - c).$

Definiție

Fie o operație binară $*$ definită pe mulțimea $A$. Operația se numește asociativă dacă îndeplinește condiția:

$(x*y)*z=x*(y*z)\qquad \forall x,y,z\in A.$

În cazul operațiilor pentru care a fost demonstrată asociativitatea parantezele care arată ordinea operațiilor nu mai sînt necesare și de obicei se scrie

$x*y*z.$

Exemple

Operații asociative

Adunarea și înmulțirea numerelor reale sînt asociative:

$\left. \begin{matrix} (x+y)+z=x+(y+z)=x+y+z\quad \\ (x\,y)z=x(y\,z)=x\,y\,z\qquad\qquad\qquad\quad\ \ \, \end{matrix} \right\} \forall x,y,z\in\mathbb{R}.$

Aceleași proprietăți le au adunarea și înmulțirea numerelor complexe.

Atît adunarea cît și înmulțirea matricelor sînt asociative. Înmulțirea matricelor este însă necomutativă, deci deși ordinea operațiilor se poate schimba, ordinea operanzilor trebuie păstrată.

Similar sînt asociative operațiile: intersecția și uniunea mulțimilor, extragerea celui mai mare divizor comun și a celui mai mic multiplu comun, compunerea funcțiilor și altele.

Operații neasociative

Scăderea, împărțirea și ridicarea la putere sînt operații neasociative:

$(5-3)-2\ne 5-(3-2)$

$(4/2)/2\ne 4/(2/2)$

$2^{(1^2)}\ne (2^1)^2$

Bibliografie

• en Wolfram MathWorld: Associative

Vezi și

• Comutativitate