Corp (matematică)

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

Definiție[modificare | modificare sursă]

Se numește corp un triplet (K, +, *) în care K este o mulțime cu cel puțin două elemente , iar + și * două operații pe K (numite „adunare” respectiv „înmulțire”) satisfăcând trei axiome:

  1. ( K , + ) este grup abelian cu elementul neutru notat cu 0.
  2. ( K\setminus\{0\}, * ) este grup cu elementul neutru notat cu 1.
  3. Înmulțirea este distributivă față de adunare, adică pentru orice x,y,z\in K:
x*(y+z) = x*y + x*z
(y+z)*x = y*x + z*x

Grupul ( K , + ) se numește grupul aditiv al corpului, iar grupul ( K\setminus\{0\}, * ) se numește grupul multiplicativ al elementelor nenule ale corpului.

Dacă, în plus,înmulțirea este comutativă (echivalent spus în axioma 2 scriem „grup abelian”), atunci tripletul (K, +, *) se numește corp comutativ.

Grupul elementelor inversabile ale unui corp K este U(K)=K\setminus\{0\}.

Exemple[modificare | modificare sursă]

Mulțimea \mathbb{Q}, respectiv \mathbb{R} a numerelor raționale,respectiv reale înzestrată cu operațiile de adunare și înmulțire are o structură de corp comutativ, numit corpul numerelor raționale, respectiv corp numerelor reale.

Inelul \mathbb{Z}_p al claselor de resturi modulo „p” (p-prim) este corp comutativ.

Definiție[modificare | modificare sursă]

O submulțime F a unui corp K se numește subcorp al lui K, dacă operațiile algebrice definite pe K induc pe F operații algebrice, împreună cu care F este corp.

Dacă F este subcorp al lui K, atunci K se numește extindere a lui F și scriem F\subseteq K sau K\supseteq F.

Propoziție[modificare | modificare sursă]

O submulțime nevidă F a unui corp K este un subcorp a lui K dacă și numai dacă:

  1. \forall x,y\in F \Longrightarrow x-y\in F
  2. \forall x\in F, x\ne 0 \Longrightarrow x^{-1}\in F

Condițiile 1 și 2 din propoziția de mai sus sunt echivalente cu condiția: \forall x,y\in F, y\ne 0 \Longrightarrow x*y^{-1}=1.

Exemple de subcorpuri[modificare | modificare sursă]

  1. Fie K un corp. Atunci K este un subcorp al lui K.
  2. \mathbb{Q}\subset \mathbb{R} este o extindere de corpuri.
  3. \mathbb{Q}(\sqrt{2})=\{a+b\sqrt{2}|\  \forall a,b\in \mathbb{Q}\} împreună cu operațiile de adunare și înmulțire este un subcorp a lui \mathbb{R}. Avem \mathbb{Q}\subset \mathbb{Q}(\sqrt{2}) și \mathbb{Q}(\sqrt{2})\subset\mathbb{R} sunt extinderi de corpuri.

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

Gheorghe Ivan, Paul Mihai Șușoi, Elemente de teoria polinoamelor și a ecuațiilor algebrice, Editura Ionescu, 2001.

Vezi și[modificare | modificare sursă]