Grup Coxeter

În matematică, un grup Coxeter, numit după H.S.M. Coxeter, este un grup abstract care admite o descriere formală în funcție de reflexii (sau oglindiri). Grupurile Coxeter finite sunt chiar grupurile de reflexie euclidiene finite. Un exemplu este grupul de simetrie al poliedrelor regulate. Totuși, nu toate grupurile Coxeter sunt finite și nu toate pot fi descrise în funcție de simetrii și reflexii euclidiene. Grupurile Coxeter au fost introduse în 1934 ca abstracții ale grupurilor de reflexie,(Coxeter 1934) iar grupurile Coxeter finite au fost clasificate în 1935(Coxeter 1935).

Grupurile Coxeter au aplicații în multe domenii ale matematicii. Exemple de grupuri finite Coxeter sunt grupurile de simetrie ale politopurilor regulate și grupurile Weyl din algebrele Lie simple. Exemple de grupuri Coxeter infinite sunt grupurile triunghiului corespunzătoare teselărilor regulate ale planului euclidian și hiperbolic, și grupurile Weyl infinit-dimensionale ale algebrelor Kac–Moody.

Articolul se bazează în special pe două surse: (Humphreys 1992) și (Davis 2007).

Definiție

În mod formal, un grup Coxeter poate fi definit ca un grup cu prezentarea:

$\left\langle r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n}\mid (r_{i}r_{j})^{m_{ij}}=1\right\rangle$

unde $m_{ii}=1$ și $m_{ij}\geq 2$ pentru $i\neq j$. Condiția $m_{ij}=\infty$ însemnă că nu ar trebui impusă nicio relație de forma $(r_{i}r_{j})^{m}$.

Perechea $(W,S)$ unde $W$ este un grup Coxeter cu generatorii $S=\{r_{1},\dots ,r_{n}\}$ este numită sistem Coxeter. De reținut că în general $S$ nu este determinat unic de $W$. De exemplu, grupurile Coxeter de tip $B_{3}$ și $A_{1}\times A_{3}$ sunt izomorfe dar sistemele Coxeter nu sunt echivalente (v. mai jos).

Din definiția de mai sus se pot trage imediat o serie de concluzii.

• Relația $m_{ii}=1$ înseamnă că $(r_{i}r_{i})^{1}=(r_{i})^{2}=1$ pentru toți $i$ ; adică generatorii sunt involuții.
• Dacă $m_{ij}=2$, atunci generatorii $r_{i}$ și $r_{j}$ sunt comutativi. Aceasta rezultă observând că

$xx=yy=1$,

care, împreună cu

$xyxy=1$

implică

$xy=x(xyxy)y=(xx)yx(yy)=yx$.

Alternativ, deoarece generatorii sunt involuții, $r_{i}=r_{i}^{-1}$, prin urmare $(r_{i}r_{j})^{2}=r_{i}r_{j}r_{i}r_{j}=r_{i}r_{j}r_{i}^{-1}r_{j}^{-1}$, iar asta este același lucru cu a fi comutator.

• Pentru a evita redundanța dintre relații, este necesară presupunerea că $m_{ij}=m_{ji}$. Aceasta rezultă observând că

$yy=1$,

care, împreună cu

$(xy)^{m}=1$

implică

$(yx)^{m}=(yx)^{m}yy=y(xy)^{m}y=yy=1$.

Alternativ, $(xy)^{k}$ și $(yx)^{k}$ sunt elemente conjugate, deoarece $y(xy)^{k}y^{-1}=(yx)^{k}yy^{-1}=(yx)^{k}$.

Matricile Coxeter și Schläfli

O matrice Coxeter este o matrice simetrică $n\times n$, cu intrările $m_{ij}$. Orice matrice simetrică cu intrări diagonale exclusiv 1 și intrări nediagonale din mulțimea $\{2,3,\ldots \}\cup \{\infty \}$ este o matrice Coxeter.

Matricea Coxeter poate fi codificată convenabil printr-o diagramă Coxeter, conform următoarelor reguli.

• Vârfurile, care formează nodurile grafului sunt etichetate cu indicii generatorului.
• Vârfurile $i$ și $j$ sunt adiacente dacă și numai dacă $m_{ij}\geq 3$.
• O latură (legătură) este etichetată cu valoarea $m_{ij}$ ori de câte ori valoarea este $4$ sau mai mare.

În particular, doi generatori sunt comutativi dacă și numai dacă nu sunt conectați printr-o latură. Mai mult, dacă un graf Coxeter are două sau mai multe componente conectate, grupul asociat este produsul direct al grupurilor asociate componentelor individuale. Astfel, reuniunea disjunctă a grafurilor Coxeter produce un produs direct al grupurilor Coxeter.

Matricea Coxeter, $M_{ij}$, este legată de $n\times n$ matricea Schläfli $C$ cu intrări $C_{ij}=-2\cos(\pi /M_{ij})$, dar elementele sunt modificate, fiind proporționale cu produsul scalar al perechilor de generatori. Matricea Schläfli este utilă deoarece valorile proprii determină dacă grupul Coxeter este de tip finit (toate pozitive), tip afin (toate nenegative, cel puțin un zero) sau tip nedefinit (altfel). Tipul nedefinit este uneori subdivizat în continuare, de ex. în grupuri hiperbolice și alte grupuri Coxeter. Există mai multe definiții neechivalente pentru grupurile Coxeter hiperbolice.

Exemple

Grup Coxeter	A1×A1	A2	B2	H2	G2	${\tilde {I}}_{1}$	A3	B3	D4	${\tilde {A}}_{3}$
Diagramă Coxeter
Matrice Coxeter	$\left[{\begin{smallmatrix}1&2\\2&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&3\\3&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&4\\4&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&5\\5&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&6\\6&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&\infty \\\infty &1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&3&2\\3&1&3\\2&3&1\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&4&2\\4&1&3\\2&3&1\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&3&2&2\\3&1&3&3\\2&3&1&2\\2&3&2&1\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&3&2&3\\3&1&3&2\\2&3&1&3\\3&2&3&1\end{smallmatrix}}\right]$
Matrice Schläfli	$\left[{\begin{smallmatrix}2&0\\0&2\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}\ \,2&-1\\-1&\ \,2\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}\ \,2&-{\sqrt {2}}\\-{\sqrt {2}}&\ \,2\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}\ \,2&-\phi \\-\phi &\ \,2\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}\ \,2&-{\sqrt {3}}\\-{\sqrt {3}}&\ \,2\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}\ \,2&-2\\-2&\ \,2\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}\ \,2&-1&\ \,0\\-1&\ \,2&-1\\\ \,0&-1&\ \,2\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}\ \,\ \ 2&-{\sqrt {2}}&\ \,0\\-{\sqrt {2}}&\ \,\ \ 2&-1\\\ \,\ \ 0&\ \,-1&\ \,2\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}\ \,2&-1&\ \,0&\ \,0\\-1&\ \,2&-1&-1\\\ \,0&-1&\ \,2&\ \,0\\\ \,0&-1&\ \,0&\ \,2\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}\ \,2&-1&\ \,0&-1\\-1&\ \,2&-1&\ \,0\\\ \,0&-1&\ \,2&-1\\-1&\ \,0&-1&\ \,2\end{smallmatrix}}\right]$

Exemplu

Graful $A_{n}$ în care nodurile de la 1 la n sunt plasate într-un rând, cu fiecare nod conectat printr-o muchie cu vecinii săi imediați dă naștere la grupul simetric S_n+1; generatorii corespund transpozițiilor (1 2), (2 3), ... , (n n+1). Două transpoziții neconsecutive comută întotdeauna, în timp ce (k k+1) (k+1 k+2) dă permutarea ciclică (k k+2 k+1). Desigur, acest lucru arată doar că S_n+1 este grupul factor din grupul Coxeter descris de graf, dar nu este prea dificil să se verifice dacă egalitatea este adevărată.

Conexiunea cu grupurile de reflexie

Grupurile Coxeter sunt profund legate de grupurile de reflexie. Simplu spus, grupurile Coxeter sunt grupuri abstracte (date printr-o prezentare), în timp ce grupurile de reflexie sunt grupuri concrete (date ca subgrupuri ale grupurilor liniare sau diverse generalizări). Grupurile Coxeter au provenit din studiul grupurilor de reflexie — ele sunt o abstractizare: un grup de reflexie este un subgrup al unui grup liniar generat de reflexii (care are ordinul 2), în timp ce un grup Coxeter este un grup abstract generat de involuții (elemente de ordinul 2, abstracție din reflexii), și ale cărei relații au o anumită formă ($(r_{i}r_{j})^{k}$, corespunzând intersecțiilor hiperplanelor la un unghi de $\pi /k$, cu $r_{i}r_{j}$ fiind de ordinul k, extras dintr-o rotație de $2\pi /k$).

Grupul abstract al unui grup de reflexie este un grup Coxeter, în timp ce invers, un grup de reflexie poate fi văzut ca o reprezentare liniară a unui grup Coxeter. Pentru grupurile de reflexie finite, aceasta produce o corespondență exactă: fiecare grup finit Coxeter admite o reprezentare fidelă ca un grup de reflecție finit al unui spațiu euclidian. Însă pentru grupurile Coxeter infinite, un grup Coxeter poate să nu admită o reprezentare ca grup de reflecție.

Din punct de vedere istoric, (Coxeter 1934) a demonstrat că fiecare grup de reflexie este un grup Coxeter (adică, are o prezentare în care toate relațiile sunt de forma $r_{i}^{2}$ sau $(r_{i}r_{j})^{k}$). Prin această lucrare a introdus noțiunea de grup Coxeter, în timp ce în (Coxeter 1935) a demonstrat că fiecare grup finit Coxeter are o reprezentare ca grup de reflexie și a clasificat grupurile finite Coxeter.

Grupuri Coxeter finite

Grafuri Coxeter ale grupurilor Coxeter finite

Clasificare

Grupurile Coxeter finite au fost clasificate în (Coxeter 1935) conform diagramelor Coxeter–Dynkin. Toate sunt reprezentate de grupurile de reflexie a spațiilor euclidiene finite dimensional.

Grupurile finite Coxeter constau din trei familii cu un singur parametru, de rang crescător $A_{n},B_{n},D_{n},$ o familie cu un singur parametru de dimensiunea doi, $I_{2}(p),$ și șase grupuri excepționale: $E_{6},E_{7},E_{8},F_{4},H_{3}$ și $H_{4}.$ Produsul a multe grupuri Coxeter finite din această listă este și el un grup Coxeter și toate grupurile Coxeter finite se formează astfel.

Grupuri Weyl

Multe, dar nu toate dintre acestea, sunt grupuri Weyl, iar orice grup Weyl poate fi realizat ca grup Coxeter. Grupurile Weyl sunt familiile $A_{n},B_{n},$ și $D_{n},$ iar excepțiile $E_{6},E_{7},E_{8},F_{4}$ și $I_{2}(6)$ sunt notate în notația grupurilor Weyl cu $G_{2}.$ Excepțiile $H_{3}$ și $H_{4}$ nu sunt grupuri Weyl, iar familia excepțională $I_{2}(p)$ coincide cu unul dintre grupurile Weyl (anume, $I_{2}(3)\cong A_{2},I_{2}(4)\cong B_{2},$ and $I_{2}(6)\cong G_{2}$).

Acest lucru poate fi demonstrat prin compararea restricțiilor asupra diagramelor Dynkin (neorientate) cu restricțiile asupra diagramelor Coxeter ale grupurilor finite: formal, graful Coxeter poate fi obținut din diagrama Dynkin ștergând orientarea legăturilor și înlocuind fiecare legătură dublă cu o legătură etichetată „4” și fiecare legătură triplă cu o legătură etichetată „6”. De asemenea, de reținut că fiecare grup Coxeter finit generat este un grup automat. Diagramele Dynkin au restricția suplimentară conform căreia singurele etichete ale legăturilor permise sunt „2”, „3”, „4” și „6”, ceea ce dă rezultatele de mai sus. Geometric, aceasta corespunde cu teorema de restricție cristalografică, iar faptul că politopurile excluse nu umplu spațiul sau nu pavează planul — pentru $H_{3}$, dodecaedrul (dualul icosaedrului) nu umplu spațiul; pentru $H_{4}$ 120-celule (dualul lui 600-celule) nu umplu spațiul; pentru $I_{2}(p)$ un p-gon nu pavează planul, cu excepția $p=3,4$ sau $6$ (dalele triunghiulare, pătrate și respectiv hexagonale).

De reținut și că diagramele Dynkin (orientate) B_n și C_n generează același grup Weyl (deci grup Coxeter), deoarece acestea diferă ca grafuri orientate, dar sunt la fel ca grafuri neorientate- orientarea contează pentru sistemele de generatori, dar nu pentru grupul Weyl; aceasta corespunde cu hipercubul și ortoplexul care sunt politopuri diferite, dar au același grup de simetrie.

Proprietăți

În tabelul următor sunt date unele proprietăți ale grupurilor Coxeter finite ireductibile. Ordinea grupurilor reductibile poate fi calculată din produsul ordinelor subgrupurilor lor ireductibile.

Rang n	Simbol grup	Simbol alternativ	Notația Coxeter	Diagramă Coxeter	Reflexii m=1⁄2nh	Număr Coxeter h	Ordin	Structura grupului	politopuri asociate
1	A1	A1	[ ]		1	2	2	$S_{2}$	{ }
2	A2	A2	[3]		3	3	6	$S_{3}\cong D_{6}\cong \operatorname {GO} _{2}^{-}(2)\cong \operatorname {GO} _{2}^{+}(4)$	{3}
3	A3	A3	[3,3]		6	4	24	$S_{4}$	{3,3}
4	A4	A4	[3,3,3]		10	5	120	$S_{5}$	{3,3,3}
5	A5	A5	[3,3,3,3]		15	6	720	$S_{6}$	{3,3,3,3}
n	An	An	[3n−1]	...	n(n + 1)/2	n + 1	(n + 1)!	$S_{n+1}$	n-simplex
2	B2	C2	[4]		4	4	8	$C_{2}\wr S_{2}\cong D_{8}\cong \operatorname {GO} _{2}^{-}(3)\cong \operatorname {GO} _{2}^{+}(5)$	{4}
3	B3	C3	[4,3]		9	6	48	$C_{2}\wr S_{3}\cong S_{4}\times 2$	{4,3} / {3,4}
4	B4	C4	[4,3,3]		16	8	384	$C_{2}\wr S_{4}$	-{4,3,3} / {3,3,4}
5	B5	C5	[4,3,3,3]		25	10	3840	$C_{2}\wr S_{5}$	{4,3,3,3} / {3,3,3,4}
n	Bn	Cn	[4,3n−2]	...	n2	2n	2n n!	$C_{2}\wr S_{n}$	n-cub / n-ortoplex
4	D4	B4	[31,1,1]		12	6	192	$C_{2}^{3}S_{4}\cong 2^{1+4}\colon S_{3}$	h{4,3,3} / {3,31,1}
5	D5	B5	[32,1,1]		20	8	1920	$C_{2}^{4}S_{5}$	h{4,3,3,3} / {3,3,31,1}
n	Dn	Bn	[3n−3,1,1]	...	n(n − 1)	2(n − 1)	2n−1 n!	$C_{2}^{n-1}S_{n}$	n-semicub / n-ortoplex
6	E6	E6	[32,2,1]		36	12	51840 (72x6!)	$\operatorname {GO} _{6}^{-}(2)\cong \operatorname {SO} _{5}(3)\cong \operatorname {PSp} _{4}(3)\colon 2\cong \operatorname {PSU} _{4}(2)\colon 2$	221, 122
7	E7	E7	[33,2,1]		63	18	2903040 (72x8!)	$\operatorname {GO} _{7}(2)\times 2\cong \operatorname {Sp} _{6}(2)\times 2$	321, 231, 132
8	E8	E8	[34,2,1]		120	30	696729600 (192x10!)	$2\cdot \operatorname {GO} _{8}^{+}(2)$	421, 241, 142
4	F4	F4	[3,4,3]		24	12	1152	$\operatorname {GO} _{4}^{+}(3)\cong 2^{1+4}\colon (S_{3}\times S_{3})$	{3,4,3}
2	G2	– (D6 2)	[6]		6	6	12	$D_{12}\cong \operatorname {GO} _{2}^{-}(5)\cong \operatorname {GO} _{2}^{+}(7)$	{6}
2	H2	G2	[5]		5	5	10	$D_{10}\cong \operatorname {GO} _{2}^{-}(4)$	{5}
3	H3	G3	[3,5]		15	10	120	$2\times A_{5}$	{3,5} / {5,3}
4	H4	G4	[3,3,5]		60	30	14400	$2\cdot (A_{5}\times A_{5})\colon 2$	{5,3,3} / {3,3,5}
2	I2(n)	Dn 2	[n]		n	n	2n	$D_{2n}$ $\cong \operatorname {GO} _{2}^{-}(n-1)$ când n = pk + 1, p prim $\cong \operatorname {GO} _{2}^{+}(n+1)$ când n = pk − 1, p prim	{p}

Grupuri de simetrie ale politopurilor regulate

Toate grupurile de simetrie ale politopurilor regulate sunt grupuri Coxeter finite. De reținut că politopul dual are același grup de simetrie.

Există trei serii de politopuri regulate în toate dimensiunile. Grupul de simetrie al unui n-simplex regulat este grupul simetric S_n+1, cunoscut și ca grupul Coxeter de tip A_n. Grupul de simetrie al n-cubului și al dualului său, n-ortoplexul, este B_n, este cunoscut ca grupul hiperoctaedric.

Politopurile regulate excepționale din două, trei și patru dimensiuni corespund altor grupuri Coxeter. În două dimensiuni, grupurile diedrale, care sunt grupurile de simetrie ale poligoanelor regulate, formează seria I₂(p). În trei dimensiuni, grupul de simetrie al dodecaedrului regulat și al dualului său, icosaedrul regulat, este H₃, cunoscut sub numele de grupul icosaedric complet. În patru dimensiuni, există trei politopuri regulate particulare, 24-celule, 120-celule și 600-celule. Primul are grupul de simetrie F₄, iar celelalte două sunt duale și au grupul de simetrie H₄.

Grupurile Coxeter de tip D_n, E₆, E₇ și E₈ sunt grupurile de simetrie ale anumitor politopuri semiregulate.

Grupuri Coxeter afine

Diagramele Coxeter pentru grupurile Coxeter afine

Diagrama Stiefel pentru sistemul de generatori $G_{2}$

Grupurile Coxeter afine formează o a doua serie importantă de grupuri Coxeter. Acestea nu sunt ele însele finite, dar fiecare conține un subgrup abelian normal astfel încât grupul factor corespunzător este finit. În fiecare caz grupul factor este el însuși un grup Coxeter, iar graful Coxeter al grupului Coxeter afin este obținut din graful Coxeter al grupului factor adăugând un alt vârf și una sau două muchii suplimentare. De exemplu, pentru n ≥ 2, graful format din n+1 vârfuri într-un cerc este obținut așa din A_n , iar grupul Coxeter corespunzător este grupul Weyl afin al A_n (grupul simetric afin). Pentru n = 2, acest lucru poate fi reprezentat ca un subgrup al grupului de simetrie al pavării regulate a planului cu triunghiuri echilaterale.

În general, fiind dat sistem de generatori, se poate construi diagrama Stiefel asociată, constând din hiperplanele ortogonale pe generatori împreună cu unele translații ale acestor hiperplane. Grupul Coxeter afin (sau grupul Weyl afin) este apoi grupul generat de reflexiile (afine) pe toate hiperplanele din diagramă. Diagrama Stiefel împarte planul în infinit de numeroase componente conexe numite nișe, iar grupul Coxeter afin acționează liber și tranzitiv asupra nișelor, la fel cum grupul Weyl obișnuit acționează liber și tranzitiv asupra camerelor Weyl. Figura din dreapta ilustrează diagrama Stiefel pentru sistemul de generatori $G_{2}$.

Presupunând că $R$ este un sistem de generatori ireductibil de rang $r>1$ fie $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{r}$ o colecție de generatori simpli. Fie și ca $\alpha _{r+1}$ să fie generatorul superior. Atunci grupul Coxeter afin este generat de reflexiile obișnuite (liniare) pe hiperplanele perpendiculare pe $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{r}$, împreună cu o reflexie afină dată de translația hiperplanului perpendicular pe $\alpha _{r+1}$. Graful Coxeter pentru grupul Weyl afin este diagrama Coxeter–Dynkin pentru $R$, împreună cu un nod suplimentar asociat cu $\alpha _{r+1}$. În acest caz o nișă a diagramei Stiefel poate fi obținută luând camera Weyl fundamentală și divizând-o printr-o translație a hiperplanului perpendiculară pe $\alpha _{r+1}$.

Lista grupurilor Coxeter afine este următoarea:

Simbol grup	Simbol Witt	Notație Coxeter	Diagramă Coxeter	Teselări uniforme asociate
${\tilde {A}}_{n}$	$P_{n+1}$	[3[n]]	... sau ...	Fagure simplectic
${\tilde {B}}_{n}$	$S_{n+1}$	[4,3n − 3,31,1]	...	Fagure semihipercubic
${\tilde {C}}_{n}$	$R_{n+1}$	[4,3n−2,4]	...	Fagure hipercubic
${\tilde {D}}_{n}$	$Q_{n+1}$	[ 31,1,3n−4,31,1]	...	Fagure semihipercubic
${\tilde {E}}_{6}$	$T_{7}$	[32,2,2]	sau	222
${\tilde {E}}_{7}$	$T_{8}$	[33,3,1]	sau	331, 133
${\tilde {E}}_{8}$	$T_{9}$	[35,2,1]		521, 251, 152
${\tilde {F}}_{4}$	$U_{5}$	[3,4,3,3]		Fagure 16-celule Fagure 24-celule
${\tilde {G}}_{2}$	$V_{3}$	[6,3]		Pavare hexagonală și Pavare triunghiulară
${\tilde {I}}_{1}$	$W_{2}$	[∞]		Apeirogon

În fiecare caz indicele simbolului grupului este mai mic cu 1 decât numărul de noduri, deoarece fiecare dintre aceste grupuri a fost obținut prin adăugarea unui nod la graful unui grup finit.

Grupuri Coxeter hiperbolice

Există un număr infinit de grupuri Coxeter hiperbolice descriind grupurile de reflexie în spațiul hiperbolic, incluzând în special grupurile triunghiulare hiperbolice.

Omologie

Deoarece un grup Coxeter $W$ este generat de multe elemente finite de ordinul 2, abelianizarea sa este un 2-grup abelian elementar, adică este izomorf pentru suma directă a mai multor copii ale grupului ciclic $Z_{2}$. Acest lucru poate fi reafirmat în termenii primului grup de omologie din $W$.

Multiplicatorul Schur $M(W)$, egal cu al doilea grup de omologie din $W$, a fost calculat în (Ihara & Yokonuma 1965) pentru grupuri de reflexie finite și în (Yokonuma 1965) pentru grupurile de reflexie afine, mai unificat în (Howlett 1988). În toate cazurile, multiplicatorul Schur este și el un 2-grup abelian elementar. Pentru fiecare familie infinită $\{W_{n}\}$ de grupuri Weyl finite sau afine, rangul $M(W_{n})$ se stabilizează pe măsură ce $n$ tinde spre infinit.

Bibliografie

• en Humphreys, James E. (1992) [1990], Reflection Groups and Coxeter Groups, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 29, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-43613-7, Zbl 0725.20028 
• en Davis, Michael W. (2007), The Geometry and Topology of Coxeter Groups (PDF), ISBN 978-0-691-13138-2, Zbl 1142.20020 

Lectură suplimentară

• en Björner, Anders; Brenti, Francesco (2005), Combinatorics of Coxeter Groups, Graduate Texts in Mathematics, 231, Springer, ISBN 978-3-540-27596-1, Zbl 1110.05001 
• en Bourbaki, Nicolas (2002), Lie Groups and Lie Algebras: Chapters 4–6, Elements of Mathematics, Springer, ISBN 978-3-540-42650-9, Zbl 0983.17001 
• en Coxeter, H. S. M. (1934), „Discrete groups generated by reflections”, Annals of Mathematics, 35 (3): 588–621, CiteSeerX 10.1.1.128.471 , doi:10.2307/1968753, JSTOR 1968753 
• en Coxeter, H. S. M. (1935), „The complete enumeration of finite groups of the form $r_{i}^{2}=(r_{i}r_{j})^{k_{ij}}=1$”, J. London Math. Soc., 1, 10 (1): 21–25, doi:10.1112/jlms/s1-10.37.21 
• en Grove, Larry C.; Benson, Clark T. (1985), Finite Reflection Groups, Graduate texts in mathematics, 99, Springer, ISBN 978-0-387-96082-1 
• en Hall, Brian C. (2015), Lie groups, Lie algebras, and representations: An elementary introduction, Graduate Texts in Mathematics, 222 (ed. 2nd), Springer, ISBN 978-3319134666 
• en Kane, Richard (2001), Reflection Groups and Invariant Theory, CMS Books in Mathematics, Springer, ISBN 978-0-387-98979-2, Zbl 0986.20038 
• en Hiller, Howard (1982), Geometry of Coxeter groups, Research Notes in Mathematics, 54, Pitman, ISBN 978-0-273-08517-1, Zbl 0483.57002 
• en Ihara, S.; Yokonuma, Takeo (1965), „On the second cohomology groups (Schur-multipliers) of finite reflection groups” (PDF), J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, Sect. 1, 11: 155–171, Zbl 0136.28802, arhivat din original (PDF) la 23 octombrie 2013 
• en Howlett, Robert B. (1988), „On the Schur Multipliers of Coxeter Groups”, J. London Math. Soc., 2, 38 (2): 263–276, doi:10.1112/jlms/s2-38.2.263, Zbl 0627.20019 
• en Vinberg, Ernest B. (1984), „Absence of crystallographic groups of reflections in Lobachevski spaces of large dimension”, Trudy Moskov. Mat. Obshch., 47 
• en Yokonuma, Takeo (1965), „On the second cohomology groups (Schur-multipliers) of infinite discrete reflection groups”, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, Sect. 1, 11: 173–186, hdl:2261/6049, Zbl 0136.28803 

Legături externe

• en Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), „Coxeter group”, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104 
• en Eric W. Weisstein, Coxeter group la MathWorld.
• en Jenn software for visualizing the Cayley graphs of finite Coxeter groups on up to four generators