Geometrie analitică

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

Geometria analitică (sau geometria carteziană) reprezintă o modalitate de abordare a geometriei cu ajutorul algebrei. Figurile geometrice sunt definite cu ajutorul ecuaţiilor sau inecuaţiilor, iar rezolvarea problemelor se face pur algebric. Pentru aceasta, planul şi spaţiul trebuie să fie dotate cu sisteme de coordonate carteziene.

Axa numerelor reale.

[modifică] Istoric

Matematicianului antic grec Menaechmus (Menechmus) (380 î.Hr. - 320 î.Hr.) i se atribuie (de către Platon) descoperirea secţiunilor conice parabola şi hiperbola cu ajutorul cărora a rezolvat problema duplicării cubului.^[1] Apollonius din Perga^[2] (262 î.Hr. - 190 î.Hr.), în lucrarea sa, De sectione determinata (Διωρις μενη τομη), rezolvă probleme în modalitatea care astăzi ar fi numită geometrie analitică unidimensională. În scrierea Conicele, Apollonius dezvoltă metoda analitică, anticipând astfel scrierile lui René Descartes (1596 - 1650) la o distanţă de 18 secole!^[3] Matematicianul persan Omar Khayyám (1048 - 1131) a rezolvat ecuaţia cubică folosind intersecţia dintre parabolă şi cerc.^[4]

Pasul decisiv a fost realizat de către Descartes, de numele căruia este legată descoperirea şi introducerea geometriei analitice.^[5] Celebra sa lucrare Discurs despre metodă, conţine un capitol intitulat chiar Geometrie.

[modifică] Geometrie analitică plană

În cele ce urmează, considerăm planul înzestrat cu un reper $(O, \vec i, \vec j)$ , iar x şi y sunt coordonatele punctului (abscisa şi ordonata).

[modifică] Punctul

Punctul poate fi reprezentat printr-un sistem de două ecuaţii de gradul întâi cu două necunoscute:

$\begin{cases} x=a \\ y=b \end{cases}$

[modifică] Dreapta

Dreapta poate fi reprezentată printr-o ecuaţie de gradul întâi cu două necunoscute:

$ax + by + c = 0 \,$ .

[modifică] Formule

Distanţa dintre punctele $P_1(x_1,y_1) \,$ şi $P_2(x_2, y_2) \,$ :

$d=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$

Mijlocul segmentului $\overline{P_1P_2}$ este dat de:

$M \; \begin{cases} x=\frac {x_1+x_2}{2} \\ y=\frac{y_1+y_2}{2} \end{cases}$

Centrul de greutate al triunghiului cu vârfurile $P_1 (x_1, y_1), \; P_2 (x_2, y_2), \; P_3(x_3, y_3) \,$ :

G $\begin{cases} x= \frac{x_1+x_2+x_3}{3} \\ y= \frac{y_1+y_2+y_3}{3} \end{cases}$

Suprafaţa triunghiului $P_1P_2P_3 \,$ :

$S= \frac{1}{2} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ x_1 & x_2 & x_3 \\ y_1 & y_2 & y_3 \end{vmatrix}$