Ortogonalitate

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

Salt la: Navigare, căutare

În matematică, ortogonalitatea, este o generalizare a perpendicularităţii. Înseamnă "în unghi drept, şi vine din grecescul ὀρθός orthos, care înseamnă drept şi γωνία gonia, care înseamnă unghi.

Cuprins

[modifică] Explicaţie

Formal, doi vectori x şi y dintr-un spaţiu cu produs scalar V sunt ortogonali dacă produsul lor scalar \langle x, y \rangle este zero. Această proprietate este scrisă x \perp y.

Două subspaţii vectoriale A şi B din spaţiul vectorial V se numesc subspaţii ortogonale dacă toţi vectorii din A sunt ortogonali pe toţi vectorii din B. Cel mai mare subspaţiu ortogonal pe un subspaţiu dat se numeşte complement ortogonal al respectivului subspaţiu.

O transformare liniară T : V \rightarrow V se numeşte transformare liniară ortogonală dacă ea păstrează produsul scalar. Adică pentru toate perechile de vectori x şi y din din spaţiul cu produs scalar V,

\langle Tx, Ty \rangle = \langle x, y \rangle.

Aceasta înseamnă că T păstrează unghiul între x şi y, şi că lungimile lui Tx şi x sunt egale.

Termenul de normal este folosit adesea în locul celui de ortogonal, dar normal se poate referi şi la vectori unitate. În particular, ortonormal înseamnă o colecţie de vectori care sunt şi ortogonali şi normali (de lungime egală cu unitatea). Astfel, folosirea termenului normal cu sensul de orthogonal este adesea evitată.

[modifică] În spaţiile vectoriale euclidiene

În spaţiile euclidiene de 2 sau 3 dimensiuni, doi vectori sunt ortogonali dacă produsul lor scalar este zero, adică fac un unghi de 90° sau π/2 radiani. Astfel, ortogonalitatea vectorilor este o generalizare a conceptului de perpendicular. În termenii subspaţiilor euclidiene, complementul ortogonal al unei drepte este planul perpendicular pe el, şi invers. Se observă însă ca nu există o corespondenţă în ce priveşte planele perpendiculare între ele, deoarece vectorii din subspaţii pornesc din origine.

În spaţiul euclidian de 4 dimensiuni, complementul ortogonal al unei drepte este un hiperplan şi invers, iar cel al unui plan este alt plan.

Unii vectori se numesc ortogonali doi câte doi dacă oricare dintre ei sunt ortogonali, iar o mulţime de astfel de vectori se numeşte mulţime ortogonală. O astfel de mulţime este mulţime ortonormală dacă toţi vectorii acesteia sunt vectori unitate. Vectorii nenuli ortogonali doi câte doi sunt întotdeauna liniar independenţi.

[modifică] Funcţii ortogonale

Adesea se foloseşte următorul produs scalar între două funcţii f şi g:

\langle f, g\rangle_w = \int_a^b f(x)g(x)w(x)\,dx.

Se introduce aici o funcţie pondere nenegativă w(x) în definirea produsului scalar.

Se spune că aceste funcţii sunt ortogonale dacă acel produs scalar este zero:

\int_a^b f(x)g(x)w(x)\,dx = 0.

Scriem normele în raport cu acest produs scalar şi cu ponderea astfel

||f||_w = \sqrt{\langle f, f\rangle_w}

Membrii unei secvenţe { fi : i = 1, 2, 3, ... } sunt:

  • ortogonali dacă
\langle f_i, f_j \rangle=\int_{-\infty}^\infty f_i(x) f_j(x) w(x)\,dx=||f_i||^2\delta_{i,j}=||f_j||^2\delta_{i,j}
  • ortonormali dacă
\langle f_i, f_j \rangle=\int_{-\infty}^\infty f_i(x) f_j(x) w(x)\,dx=\delta_{i,j}

unde

\delta_{i,j}=\left\{\begin{matrix}1 & \mathrm{if}\ i=j \\ 0 & \mathrm{if}\ i\neq j\end{matrix}\right\}

este Delta Kronecker. Cu alte cuvinte, oricare două funcţii sunt ortogonale, şi norma fiecăreia este 1 în cazul secvenţei ortonormale.

[modifică] Exemple

  • Vectorii (1, 3, 2), (3, −1, 0), (1/3, 1, −5/3) sunt ortogonali doi câte doi, pentru că (1)(3) + (3)(−1) + (2)(0) = 0, (3)(1/3) + (−1)(1) + (0)(−5/3) = 0, (1)(1/3) + (3)(1) − (2)(5/3) = 0. Se observă şi că produsul scalar al vectorilor cu ei înşişi reprezintă normele acestor vectori, deci pentru a verifica ortogonalitatea, trebuie verificat doar produsul scalar cu ceilalţi vectori.
  • Vectorii (1, 0, 1, 0, ...)T şi (0, 1, 0, 1, ...)T sunt ortogonali. Este evident că produsul scalar al celor doi vectori este 0. Putem apoi să facem generalizarea de a considera vectorii din Z2n:
\mathbf{v}_k = \sum_{\begin{matrix}i=0\\ai+k < n\end{matrix}}^{n/a} \mathbf{e}_i
pentru un întreg pozitiv a, şi pentru 1 ≤ k ≤ a − 1, aceşti vectori sunt ortogonali, de exemplu (1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0)T, (0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1)T, (0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0)T sunt ortogonali.
  • Date fiind două funcţii cuadratice 2t + 3 şi 5t2 + t − 17/9. Aceste funcţii sunt ortogonale în raport cu o funcţie pondere unitate pe intervalul între −1 şi 1. Produsul acestor două funcţii este 10t3 + 17t2 − 7/9 t − 17/3, şi acum,
\int_{-1}^{1} \left(10t3+17t2-{7\over 9}t-{17\over 3}\right)\,dt = \left[{5\over 2}t4+{17\over 3}t3-{7\over 18}t2-{17\over 3}t\right]_{-1}^{1}
=\left({5\over 2}(1)4+{17\over 3}(1)3-{7\over 18}(1)2-{17\over 3}(1)\right)-\left({5\over 2}(-1)4+{17\over 3}(-1)3-{7\over 18}(-1)2-{17\over 3}(-1)\right)
={19\over 9}-{19\over 9}=0.
  • Funcţiile 1, sin(nx), cos(nx) : n = 1, 2, 3, ... sunt ortogonale în raport cu măsura Lebesgue a intervalului între 0 şi 2π. Acest fapt este unul de bază pentru teoria seriilor Fourier.

[modifică] Alte înţelesuri

Din utilizarea iniţială din matematică, au fost derivate alte sensuri posibile ale cuvântului ortogonal.

[modifică] Artă

În artă liniile perspective imaginate care merg spre punctul de dispariţie se numesc 'linii ortogonale'.

[modifică] Informatică

Ortogonalitatea este o proprietate a proiectării sistemelor care facilitează fezabilitatea şi compactitatea unor proiecte complexe. Ortogonalitatea garantează că modificarea efectului tehnic produs de o componentă a unui sistem nici nu creează, nici nu propagă efecte secundare în alte componente ale sistemului. Comportamentul rezultat al unui sistem care constă din mai multe componente trebuie să fie controlat doar de definiţiile formale ale logicii sale şi nu de efecte secundare rezultate din slaba integrare, adică dintr-un design neortogonal al modulelor şi interfeţelor. Ortogonalitatea reduce timpii de testare şi dezvoltare deoarece este mai uşor să se verifice structuri care nu cauzează nu depind de efecte secundare efecte secundare.

De exemplu, o maşină are componente şi controale ortogonale (adică accelerarea nu impactează asupra a nimic altceva în afara componentelor implicate exclusiv în funcţia de accelerare). Pe de altă parte, un design neortogonal ar putea cauza influenţa direcţiei asupra frânării, sau a vitezei asupra suspensiilor.[1] În consecinţă, această utilizare este văzută ca fiind derivată din utilizarea termenului ortogonal în matematică: Se poate proiecta un vector pe un subspaţiu proiectândul pe fiecare membru al unei mulţimi de vectori din bază separat şi adunând proiecţiile dacă şi numai dacă vectorii din bază sunt ortogonali doi câte doi.

Un set de instrucţiuni se numeşte ortogonal dacă orice instrucţiune poate folosi orice registru în orice mod de adresare. Această terminologie rezultă din considerarea unei instrucţiuni ca un vector ale cărui componente sunt câmpurile instrucţiunii. Un câmp identifică regiştrii pe care se operează, şi altul specifică modul de adresare. Un set de instrucţiuni ortogonale codifică în mod unic toate combinaţiile de regiştri şi moduri de adresare.

[modifică] Comunicaţii radio

În radiocomunicaţii, schemele de acces multiplu sunt ortogonale când un receptor ideal poate respinge complet semnale nedorite arbitrar de puternice folosinf funcţii de bază diferite de semnalul dorit. O astfel de schemă este TDMA, unde funcţiile de bază ortogonale sunt impulsuri triunghiulare care nu se suprapun ("cuante de timp").

O altă schemă este OFDM, care se referă la utilizarea de către un singur transmiţător, a unui set de semnale multiplexate în frecvenţă cu spaţierea de frecvenţă minimă exactă necesară pentru a le face ortogonale, astfel încât să nu se influenţeze reciproc. Exemple celebre includ 802.11 Wi-Fi; DVB-T, sistemul de difuzare terestră a televiziunii digitale folosit în toată lumea mai puţin America de Nord, şi DMT, forma standard de ADSL.

[modifică] Taxonomie

În taxonomie, o clasificare ortogonală este una în care nici un element nu e membru al mai mult decât unui grup, adică clasificările sunt exclusive reciproc.

[modifică] Chimie

În chimie, protecţia ortogonală este o strategie ce permite deprotejarea grupurilor funcţionale independent unul de celălalt.

[modifică] Note şi legături externe

  1. ^ Lincoln Mark VIII speed-sensitive suspension (MPEG video). Accesat la data de 2006-09-15.
Adus de la http://ro.wikipedia.org/wiki/Ortogonalitate
Unelte personale