Perpendicularitate

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare
Fig. 1: Dreapta AB este perpendiculară pe dreapta CD, deoarece unghiurile create (indicate cu portocaliu şi albastru) măsoară fiecare 90 de grade.

În geometrie, două drepte sau plane (sau o dreaptă și un plan), sunt considerate perpendiculare (sau ortogonale) una față de cealaltă dacă formează unghiuri adiacente congruente. De exemplu, în Figura 1, dreapta AB este perpendiculară pe CD în punctul B (numit piciorul perpendicularei). Prin definiție, o dreaptă este infinit de lungă, așadar în acest sens AB și CD din exemplu reprezintă segmente de dreaptă ale celor două drepte infinit de lungi. Prin urmare, nu este necesar ca segmentul AB să intersecteze segmentul CD pentru ca dreptele să fie considerate perpendiculare, deoarece dacă segmentele ar fi extinse la infinit, ar forma unghiuri adiacente congruente.

Unghiurile create prin intersecția a două drepte se numesc unghiuri drepte (măsoară ½π radiani sau 90°). Invers, dacă două drepte formează unghiuri drepte, ele sunt perpendiculare.

Într-un plan de coordonate, dreptele perpendiculare au pante reciproc opuse. O dreaptă orizontală are panta egală cu zero, în timp ce panta unei drepte verticale este descrisă ca nedefinită sau infinită. Perpendicularitatea a două drepte se notează ABC \perp DEF.

Criterii numerice[modificare | modificare sursă]

Pantă[modificare | modificare sursă]

Într-un sistem de coordonate cartezian, două drepte L și M pot fi descrise prin ecuațiile:

L : y = ax + b,
M : y = cx + d,

atât timp cât nici una nu este verticală. Atunci a și c reprezintă pantele celor două drepte. Dreptele L și M sunt perpendiculare dacă și numai dacă produsul pantelor lor este -1, adică ac=-1.

Perpendicularele pe dreptele verticale sunt mereu drepte orizontale, iar perpendicularele pe dreptele orizontale sunt mereu drepte verticale. Cu alte cuvinte, pentru orice dreaptă verticală P : x = J și dreaptă orizontală Q : y = K, unde J și K sunt constante, P \perp Q.

Găsirea perpendicularei la o funcție[modificare | modificare sursă]

Algebră[modificare | modificare sursă]

În algebră, pentru orice ecuație liniară y=mx + b, toate perpendicularele vor avea panta (-1/m).

Pentru a găsi perpendiculara la o dreaptă dată care trece printr-un punct (x, y), trebuie rezolvată ecuația y = (-1/m)x + b, cu necunoscuta b, înlocuind valorile cunoscute ale lui m, x și y.

Analiză[modificare | modificare sursă]

Trebuie găsită prima derivată a funcției. Aceasta va fi panta (m) a oricărei curbe într-un punct (x, y). Apoi, ca și mai sus, trebuie rezolvată ecuația y = (-1/m)x + b cu necunoscuta în b, prin înlocuirea valorilor cunoscute ale lui m, x și y.