Plan (geometrie)

Reprezentarea grafică a unui plan geometric

Trei plane paralele

În geometrie, planul este o suprafață bidimensională, de curbură zero, nelimitată în orice direcție. La desenarea figurilor, planul se poate reprezenta printr-un paralelogram sau printr-un triunghi oarecare. De obicei se notează cu α, β, ψ, π, etc., sau cu trei litere mari puse în paranteză rotundă (ABC), unde A,B,C sunt trei puncte necoliniare oarecare ale acestui plan. În spațiul euclidian tridimensional, un plan poate fi determinat fie de trei puncte coliniare, fie de o dreaptă și un punct exterior ei, fie de două drepte paralele.

Noţiuni de geometrie euclidiană

Două plane secante în spaţiul tridimensional

În lucrarea lui Euclid, Elementele, planul este o noţiune fundamentală, la fel ca și dreapta, și punctul. . Una din axiomele geometriei euclidiene este:

• “Prin trei puncte necoliniare trece un plan și numai unul.”

Corolare ale acestei axiome sunt:

• “Printr-o dreaptă şi un punct nesituat pe această trece un plan și numai unul.”
• “Prin două drepte secante trece un plan și numai unul.”

Pozițiile relative a două plane

Într-un spațiu tridimensional, există doar două poziții relative a două plane:

• Paralele: Intersecţia lor este vidă;
• Secante: Intersecția lor este o dreaptă.

Poziţia relativă dintre un plan și o dreaptă

Considerând dreapta ( D), și planul (P), poziţiile relative dintre acestea pot fi:

• (D), este inclusă în (P);
• Intersecția dintre (D) și (P) este un punct;
• (D) și (P) sunt disjuncte.
• Într-un spațiu tridimensional, (D) este paralelă cu (P) dacă și numai dacă (D) este inclusă în (D) sau disjunctă de (P).

Proprietăți ale planului în spațiul euclidian R ³

• Două drepte perpendiculare pe același plan sunt paralele între ele.
• Două plane perpendiculare pe aceeași dreaptă sunt paralele între ele.

Un plan în spaţiul euclidian tridimensional

Planul în geometria analitică

Ecuaţia planului care trece prin trei puncte

Fie punctele necoliniare $p_1$=($x_1$, $y_1$, $z_1$), $p_2$=($x_2$, $y_2$, $z_2$), și $p_3$=($x_3$, $y_3$, $z_3$).

Planul care trece prin $p_1$, $p_2$, și $p_3$ poate fi definit ca multimea punctelor (x, y, z) care îndeplinesc următoarele ecuații echivalente:

$\begin{vmatrix} x - x_1 & y - y_1 & z - z_1 \\ x_2 - x_1 & y_2 - y_1& z_2 - z_1 \\ x_3 - x_1 & y_3 - y_1 & z_3 - z_1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} x - x_1 & y - y_1 & z - z_1 \\ x - x_2 & y - y_2 & z - z_2 \\ x - x_3 & y - y_3 & z - z_3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} x & y & z & 1\\ x_1 & y_1 & z_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & z_2 & 1\\ x_3 & y_3 & z_3 & 1 \end{vmatrix} = 0.$

În particular, ecuaţia planului care trece prin punctele $(a,0,0)$, $(0,b,0)$, $(0,0,c)$ se poate exprima şi într-o formă mai simplă:

$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c} =1$

Ecuaţia unui plan care trece printr-un punct și doi vectori

$\bold r = \bold {r}_0 + s \bold{v} + t \bold{w},$

unde s şi t variază peste toate numerele reale, $v$ și $w$ sunt vectorii care definesc planul, și $\bold r_0$ este vectorul care reprezintă poziția unui punct arbitrar, dar fix, de pe plan. Vectorii $v$ și $w$ încep de la $r$ și sunt îndreptaţi în direcții diferite, de-a lungul planului. $v$ și $w$ pot fi perpendiculari, dar nu paraleli.

Ecuaţia planului care trece printr-un punct și este perpendicular pe un vector

Fie $\bold r_ 0$ vectorul de poziție a unor punct $P_0$ în plan, și n un vector nenul normal cu planul. Un punct $P$ cu vectorul de poziție $\bold r$ se află în plan dacă și numai dacă vectorul dintre $P_0$ şi $P$ este perpendicular pe n. Se ştie că doi vectori sunt perpendiculari dacă și numai dacă produsul lor scalar este zero, rezultă că planul dorit poate fi exprimat ca mulţimea tuturor punctelor r astfel încât:

$\bold n \cdot (\bold r-\bold r_0)=0$

Rezultă că:

$n_x (x-x_0)+ n_y(y-y_0)+ n_z(z-z_0)=0,\,$

care este ecuația planului.

Distanța de la un punct la un plan

Pentru un plan $\Pi : ax + by + cz + d = 0\,$ și un punct $p_1 = (x_1,y_1,z_1)$ nu neapărat situat pe plan, distanța cea mai scurtă de la $p_1$ la plan este

$D = \frac{\left | a x_1 + b y_1 + c z_1+d \right |}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

Dreapta de intersecție dintre două plane

Dreapta de intersecție dintre planele de ecuatii $\Pi_1 : \bold {n}_1 \cdot \bold r = h_1$ and $\Pi_2 : \bold {n}_2 \cdot \bold r = h_2$ este dată de

$\bold {r} = (c_1 \bold {n}_1 + c_2 \bold {n}_2) + \lambda (\bold {n}_1 \times \bold {n}_2)$

unde:

$c_1 = \frac{ h_1 - h_2(\bold {n}_1 \cdot \bold {n}_2) }{ 1 - (\bold {n}_1 \cdot \bold {n}_2)^2 }$

$c_2 = \frac{ h_2 - h_1(\bold {n}_1 \cdot \bold {n}_2) }{ 1 - (\bold {n}_1 \cdot \bold {n}_2)^2 }$

Unghiul diedru

Considerând două planuri decrise de ecuatiile $\Pi_1 : a_1 x + b_1 y + c_1 z + d_1 = 0\,$ și $\Pi_2 : a_2 x + b_2 y + c_2 z + d_2 = 0\,$, unghiul diedru dintre ele este definit a fi unghiul $\alpha$ dintre direcțiile lor normale:

$\cos\alpha = \hat n_1\cdot \hat n_2 = \frac{a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2}\sqrt{a_2^2+b_2^2+c_2^2}}$

Vezi și

• Dreaptă (geometrie)
• Curbă