Plan (geometrie)

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare
Reprezentarea grafică a unui plan geometric
Trei plane paralele

În geometrie, planul este o suprafață bidimensională, de curbură zero, nelimitată în orice direcție. La desenarea figurilor, planul se poate reprezenta printr-un paralelogram sau printr-un triunghi oarecare. De obicei se notează cu α, β, ψ, π, etc., sau cu trei litere mari puse în paranteză rotundă (ABC), unde A,B,C sunt trei puncte necoliniare oarecare ale acestui plan. În spațiul euclidian tridimensional, un plan poate fi determinat fie de trei puncte coliniare, fie de o dreaptă și un punct exterior ei, fie de două drepte paralele.

Noțiuni de geometrie euclidiană[modificare | modificare sursă]

Două plane secante în spaţiul tridimensional

În lucrarea lui Euclid, Elementele, planul este o noțiune fundamentală, la fel ca și dreapta și punctul. [1]. Una din axiomele geometriei euclidiene este:

  • Prin trei puncte necoliniare trece un plan și numai unul”.

Corolare ale acestei axiome sunt:

  • Printr-o dreaptă și un punct nesituat pe această trece un plan și numai unul”.
  • Prin două drepte secante trece un plan și numai unul”.

Pozițiile relative a două plane[modificare | modificare sursă]

Într-un spațiu tridimensional, există doar două poziții relative a două plane:

  • Paralele: Intersecția lor este vidă;
  • Secante: Intersecția lor este o dreaptă.

Poziția relativă dintre un plan și o dreaptă[modificare | modificare sursă]

Considerând dreapta ( D), și planul (P), pozițiile relative dintre acestea pot fi:

  • (D), este inclusă în (P);
  • Intersecția dintre (D) și (P) este un punct;
  • (D) și (P) sunt disjuncte.
  • Într-un spațiu tridimensional, (D) este paralelă cu (P) dacă și numai dacă (D) este inclusă în (D) sau disjunctă de (P).

Proprietăți ale planului în spațiul euclidian R 3 [modificare | modificare sursă]

  • Două drepte perpendiculare pe același plan sunt paralele între ele.
  • Două plane perpendiculare pe aceeași dreaptă sunt paralele între ele.
Un plan în spaţiul euclidian tridimensional

Planul în geometria analitică[2][modificare | modificare sursă]

Ecuația planului care trece prin trei puncte[modificare | modificare sursă]

Fie punctele necoliniare p_1=(x_1, y_1, z_1), p_2=(x_2, y_2, z_2), și p_3=(x_3, y_3, z_3).

Planul care trece prin p_1, p_2, și p_3 poate fi definit ca multimea punctelor (x, y, z) care îndeplinesc următoarele ecuații echivalente:

\begin{vmatrix}
x - x_1 & y - y_1 & z - z_1 \\
x_2 - x_1 & y_2 - y_1& z_2 - z_1 \\
x_3 - x_1 & y_3 - y_1 & z_3 - z_1
\end{vmatrix} =
\begin{vmatrix}
x - x_1 & y - y_1 & z - z_1 \\
x - x_2 & y - y_2 & z - z_2 \\
x - x_3 & y - y_3 & z - z_3
\end{vmatrix} = 
\begin{vmatrix}
x & y  & z  & 1\\
x_1 & y_1 & z_1 & 1 \\
x_2 & y_2 & z_2  & 1\\
x_3 & y_3 & z_3 & 1
\end{vmatrix} = 0.

În particular, ecuația planului care trece prin punctele (a,0,0), (0,b,0), (0,0,c) se poate exprima și într-o formă mai simplă:

 \frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c} =1

Ecuația unui plan care trece printr-un punct și doi vectori[modificare | modificare sursă]

PlaneR.jpg
\bold r = \bold {r}_0 + s \bold{v} + t \bold{w},

unde s și t variază peste toate numerele reale, v și w sunt vectorii care definesc planul, și \bold r_0 este vectorul care reprezintă poziția unui punct arbitrar, dar fix, de pe plan. Vectorii v și w încep de la r și sunt îndreptați în direcții diferite, de-a lungul planului. v și w pot fi perpendiculari, dar nu paraleli.

Ecuația planului care trece printr-un punct și este perpendicular pe un vector[modificare | modificare sursă]

Fie \bold r_ 0 vectorul de poziție a unor punct  P_0 în plan, și n un vector nenul normal cu planul. Un punct P cu vectorul de poziție \bold r se află în plan dacă și numai dacă vectorul dintre  P_0 și  P este perpendicular pe n. Se știe că doi vectori sunt perpendiculari dacă și numai dacă produsul lor scalar este zero, rezultă că planul dorit poate fi exprimat ca mulțimea tuturor punctelor r astfel încât:

\bold n \cdot (\bold r-\bold r_0)=0

Rezultă că:

 n_x (x-x_0)+ n_y(y-y_0)+ n_z(z-z_0)=0,\,

care este ecuația planului. [3] [4]

Distanța de la un punct la un plan[modificare | modificare sursă]

Pentru un plan \Pi : ax + by + cz + d = 0\, și un punct p_1 = (x_1,y_1,z_1) nu neapărat situat pe plan, distanța cea mai scurtă de la p_1 la plan este

 D = \frac{\left | a x_1 + b y_1 + c z_1+d \right |}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}

Dreapta de intersecție dintre două plane[modificare | modificare sursă]

Dreapta de intersecție dintre planele de ecuatii \Pi_1 : \bold {n}_1 \cdot \bold r = h_1 and \Pi_2 : \bold {n}_2 \cdot \bold r = h_2 este dată de

 \bold {r} = (c_1 \bold {n}_1 + c_2 \bold {n}_2) + \lambda (\bold {n}_1 \times \bold {n}_2)

unde:

 c_1 = \frac{ h_1 - h_2(\bold {n}_1 \cdot \bold {n}_2) }{ 1 - (\bold {n}_1 \cdot \bold {n}_2)^2 }
 c_2 = \frac{ h_2 - h_1(\bold {n}_1 \cdot \bold {n}_2) }{ 1 - (\bold {n}_1 \cdot \bold {n}_2)^2 }

Unghiul diedru[modificare | modificare sursă]

Considerând două planuri decrise de ecuatiile \Pi_1 : a_1 x + b_1 y + c_1 z + d_1 = 0\, și \Pi_2 : a_2 x + b_2 y + c_2 z + d_2 = 0\,, unghiul diedru dintre ele este definit a fi unghiul \alpha dintre direcțiile lor normale:

\cos\alpha = \hat n_1\cdot \hat n_2 = \frac{a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2}\sqrt{a_2^2+b_2^2+c_2^2}}

Note bibliografice[modificare | modificare sursă]

  1. ^ http://aleph0.clarku.edu/ ~ djoyce/java/elements/bookI/defI7.html, D.E. Joyce, Elemente" de Euclid, Cartea I, Definiția 7, Universitatea Clark
  2. ^ Dicţionar de matematici generale, Editura Enciclopedică Română, Bucureşti, 1974
  3. ^ http://mathworld.wolfram.com/Plane.html
  4. ^ http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcIII/EqnsOfPlanes.aspx

Vezi și[modificare | modificare sursă]