Cerc

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare
Pentru alte sensuri, vedeți Cerc (dezambiguizare).
Elemente geometrice ale unui cerc: centrul este mov, raza roşie, diametrul albastru, iar circumferinţa neagră.

În geometria euclidiană, cercul este mulțimea tuturor punctelor din plan, egal depărtate de un punct fix numit centru. Distanța comună este denumită de obicei raza cercului.

Cercurile sunt curbe simple închise, care separă astfel planul în două regiuni, interior și exterior.

Un cerc este un caz particular de elipsă, în care lungimile axelor sunt egale (și deci cele două focare se confundă). Astfel, cercurile sunt, ca și elipsele, conice; mai precis sunt secțiuni ale unui con circular drept cu un plan perpendicular pe axa acestuia.

Definițiile elementelor unui cerc[modificare | modificare sursă]

  • Un disc este regiunea planului delimitată de un cerc (aflată în interiorul acestuia).
  • O rază este un segment de linie care conectează centrul unui cerc cu orice punct de pe acesta. Lungimea acestuia se notează de obicei cu "r" sau "R".
  • Un diametru este o coardă care trece prin centrul cercului. Diametrul este compus din două raze coliniare, lungimea sa fiind de 2R.
  • O săgeată este un segment de linie trasat perpendicular pe o coardă, situat între mijlocul corzii și circumferința cercului.
  • Un sector circular este o parte a discului cuprins între două raze.
  • Un segment circular este o regiune a discului delimitată de un arc de cerc și o coardă care au extremități comune.
  • Un unghi central este un unghi format de două raze ale cercului.
  • Segmentul de dreaptă determinat de două puncte ale unui cerc se numește coardă.

Calcule analitice[modificare | modificare sursă]

Aria cercului[modificare | modificare sursă]


A = \pi \cdot r^2 = \frac{\pi \cdot d^2}{4}

unde A este aria cercului, r este raza cercului, d este diametrul cercului, \pi este o constantă matematică.

Circumferința cercului[modificare | modificare sursă]


c = \pi D = 2\pi \cdot r

Aria unui sector dintr-un cerc[modificare | modificare sursă]


A_{sect}=\frac{\pi\cdot r^2\cdot n}{360}

unde Asect este aria sectorului de cerc, r este raza cercului, n este măsura unghiului sectorului de cerc măsurat in grade, iar \pi este o constantă matematică.

Lungimea arcului de cerc[modificare | modificare sursă]


L_{arc}=\frac{\pi\cdot r\cdot n}{180}

unde Larc este lungimea arcului de cerc, r este raza cercului, n este măsura unghiului sectorului de cerc măsurat în grade, iar \pi este o constantă matematică.

Ecuații[modificare | modificare sursă]

Coordonate carteziene[modificare | modificare sursă]

Cerc cu raza r = 1, centru (a, b) = (1.2, -0.5)

Într-un sistem de coordonate x-y, cercul cu centrul (a, b) și raza r reprezintă mulțimea tuturor punctelor (x, y) astfel încât


\left(x - a \right)^2 + \left( y - b \right)^2=r^2.

Această ecuație rezultă din teorema lui Pitagora aplicată la orice punct de pe circumferința: raza este ipotenuza unui triunghi dreptunghic, a cărui catene au lungimile x - a și y - b. Dacă cercul are centrul în origine (0, 0), atunci ecuația se simplifică la

x^2 + y^2 = r^2. \!\

Această ecuație poate fi scrisă și parametric folosind funcțiile trigonometrice sinus și cosinus:

x = a+r\,\cos t,\,\!
y = b+r\,\sin t\,\!

unde t este o variabilă parametrică, fiind interpretată geometric ca unghiul format de raza care unește punctul (x,y) cu originea (0,0) cu axa x. O parametrizare rațională este:

 x = a + r \frac{1-t^2}{1+t^2}
 y = b + r \frac{2t}{1+t^2}.

În coordonate omogene, fiecare secțiune conică cu ecuația cercului este de forma:

\ ax^2+ay^2+2b_1xz+2b_2yz+cz^2 = 0.

Poate fi demonstrat că o secțiune conică poate fi un cerc doar dacă punctele I(1: i: 0) și J(1: −i: 0) sunt în secțiunea conică. Aceste puncte mai sunt numite puncte circulare la infinitate.

Coordonate polare[modificare | modificare sursă]

În coordonate polare, ecuația cercului este:


r^2 - 2 r r_0 \cos(\theta - \varphi) + r_0^2 = a^2\,

unde a este raza cercului, r0 este distanța de la origine la centrul cercului, și φ este unghiul măsurat trigonometric de la axa x la linia care conectează originea cu centrul cercului. Pentru un cerc cu centrul în origine, r0 = 0, aceasta se reduce la r = a. Cand r0 = a, sau când originea este pe cerc, ecuația devine

r = 2 a\cos(\theta - \varphi).

În cazul general, ecuația poate fi rezolvată pentru r:

r = r_0 \cos(\theta - \varphi) + \sqrt{a^2 - r_0^2 \sin^2(\theta - \varphi)},

soluția cu un semn minus în fața rădăcinii pătrate având aceeași curbă.

Planul complex[modificare | modificare sursă]

În un cerc cu centrul în c și raza (r) are ecuația |z-c|^2 = r^2\,. În forma parametrică poate fi scrisă z = re^{it}+c \!.

Ecuația generalizată pz\overline{z} + gz + \overline{gz} = q pentru p real, q real și g complex este numită uneori cercul generalizat. Aceasta devine ecuația de mai sus cu p = 1,\ g=\overline{c},\ q=r^2-|c|^2, deoarece |z-c|^2 = z\overline{z}-\overline{c}z-c\overline{z}+c\overline{c}. Nu toate cercurile generalizate sunt chiar cercuri: un cerc generalizat este fie un cerc, fie o linie.

OBSERVATII: 1) Dreapta intersectează cercul în douǎ puncte, M1 și M2, scrise concentrat M1,2. În consecințǎ, ecuația dvs. r = r_0 \cos(\theta - \varphi) + \sqrt{a^2 - r_0^2 \sin^2(\theta - \varphi)} se scrie corect astfel r1,2 = R[-s.cos(θ-ε)± Sqrt[1-[s.sin(θ-ε)]^2]] = R.rex1,2[θ,S(s,ε)], care sunt cele douǎ determinǎri ale funcției supermatematice circulare excentrice radial excentricǎ de variabilǎ excentricǎ θ ṣi de excentru S(s,ε). În care, excentricitatea realǎ este e și excentricitatea numericǎ este s = e/R.Coordonatele polare ale excentrului E sunt e si ε, iar ale excentrului S sunt s si ε. Pentru semnul plus, din fața radicalului, se obține intersecția cercului de raza R cu semidreapta pozitivǎ, turnantǎ în jurul punctului E(e,ε),iar pentru semnul minus se obține intersecția cu semidreapta negativǎ.Din S, în aceleași condiții, se obțin intersecțiile dreptei turnante în jurul lui S cu cercul unitate. Toate acestea, în condiția în care excentrele sunt interioare discurilor circulare respective, de razǎ R si, respectiv 1. Adica, pentru e < R și s < 1.În caz contrar, adica e > R și s > 1, se obțin patru determinǎri: câte douǎ pe fiecare semidreaptǎ. Pentru e < R, cele douǎ puncte se rotesc pe cerc în același sens cu dreapta generatoare turnantǎ în jurul excentrelor E și S, adicǎ în sens trigonometric sau sinistrorum / levogin, iar pentru e > R sau s > 1, cele douǎ puncte, de pe aceeași semidreaptǎ se rotesc în sensuri opuse, iar funcția rexθ, ca toate celelalte funcții circulare excentrice, exista numai în domeniul în care drepta generatoare intersecteazǎ cercul. 2) În aceste condiții, definiția cercului poate fi extinsǎ : Cercul este locul geometric al punctelor din plan pentru care distanța de la un punct oarecare din plan, denumit excentru E, variazǎ dupǎ funcția r = R.rex[θ,S(s,ε]. Dacǎ E si S coincid cu centrul cercului O(0,0), atunci e = s = 0 și rex[θ,S(s,ε] = 1 astfel cǎ r = R ,obținându-se definiția veche.

Tangența la cerc[modificare | modificare sursă]

Linia tangentă printr-un punct P este perpendiculară la diametrul care trece prin P. Dacă P = (x1, y1) și cercul are centrul (a, b) și raza r, atunci linia tangentă este perpendiculară la linia care unește (a, b) cu (x1, y1), astfel are forma (x1a)x+(y1b)y = c. Evaluând la (x1, y1) determină valoarea lui c și ecuația tangentei este

(x_1-a)x+(y_1-b)y = (x_1-a)x_1+(y_1-b)y_1 \!

sau

(x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b) = r^2 \!.

Daca y1≠b atunci panta acestei drepte va fi

\frac{dy}{dx} = -\frac{x_1-a}{y_1-b}.

Aceasta poate fi aflată și folosind diferențierea.

Când centrul cercului este la origine atunci ecuația liniei tangente devine

x_1x+y_1y = r^2 \!,

și panta ei va fi

\frac{dy}{dx} = -\frac{x_1}{y_1}.

Diferite formule[modificare | modificare sursă]

Circle slices.svg
Formule ale cercului
Lungimea cercului L = 2 \pi r=\pi d
Suprafața cercului A = \pi r^2 = \frac{\pi}4 d^2 = 4 \int_0^r \sqrt{r^2 - x^2}\mathrm dx
Suprafața inelului unui cerc A = \pi (r_a^2-r_i^2)
Lungimea unui arc de cerc L_B = 2\pi r \frac{\alpha}{360^\circ}
Suprafața unui sector circular A_\mathrm{SK} = \frac{\alpha}{360^\circ} \pi r^2
Suprafața unui segment circular A_\mathrm{SG} = r^2 \left(\frac{\pi \alpha}{360^\circ} - \sin \frac{\alpha}2 \cos \frac{\alpha}2 \right)=\frac{r^2}2 \cdot \left(\alpha'-\sin\alpha'\right)
Lungimea unei corzi l_\mathrm{KS} = 2r \sin\frac \alpha 2
Raza cercului R
Înalțimea segmentului circular h = r-r \cos\frac \alpha 2
Momentul de inerție (al discului în jurul centrului) J = \frac 12 mr^2

Proprietăți[modificare | modificare sursă]

Unghiuri înscrise[modificare | modificare sursă]

Un unghi înscris este jumătate din unghiul corespunzător central. Prin urmare, toate unghiurile înscrise care subîntind același arc sunt egale. Unghiurile înscrise pe arc sunt suplementare. Într-un caz particular, fiecare unghi înscris care subîntinde un diametru este un unghi drept.

Teoreme[modificare | modificare sursă]

Secant-Secant Theorem.svg
  • Teorema corzii stipulează că dacă două corzi, CD și EB, se intersectează în A, atunci CA*DA = EA*BA.
  • Dacă o tangentă de la un punct exterior D intersectează cercul în C și o secantă din același punct D intersectează cercul în G și E, atunci DC2 = DG * DE.
  • În cazul în care două secante, DG și DE, intersectează cercul în H și F, apoi DH * DG = FD*DE.
  • Unghiul dintre o tangentă și o coardă este egal cu o jumătate din unghiul subîntins pe partea opusă a corzii.
  • Dacă unghiul subîntins de coardă la centru este de 90 de grade, atunci l = √2 × R, unde l este lungimea corzii și R este raza cercului.
  • Dacă două secante sunt înscrise în cerc precum în desenul alăturat, măsura unghiului A este egal cu jumătate din diferența măsurilor arcelor închise (DE și BC).

Vezi și[modificare | modificare sursă]