Sferă

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare
Pentru alte sensuri, vedeți Sferă (dezambiguizare).
O sferă.

Sfera (din greacă σφαίρα - sphaira) este suprafața unei bile. În spațiul euclidian 3-dimensional, sfera este mulțimea punctelor care se află la o distanță r (raza sferei) de un punct c (centrul sferei), unde r este un număr real pozitiv. În cazul particular în care r=1 sfera se numește sferă unitate.

În limbaj colocvial, noțiunea de sferă se folosește adesea pentru un corp geometric mărginit de sferă. În limbaj matematic un astfel de obiect se numește bilă.

Ecuații în R3[modificare | modificare sursă]

În geometria analitică sfera de centrul c=(x0, y0, z0) și rază r>0 este locul geometric al punctelor care satisfac ecuația (implicită)

\, (x - x_0 )^2 + (y - y_0 )^2 + ( z -  z_0 )^2 =  r^2.

Dacă considerăm metrica euclidiană din R3 atunci ecuația de mai sus nu inseamnă altceva decât că toate punctele sferei se află la aceași distanță r de punctul c.

Considerând un sistem ortonormat de coordinate, sfera (ca suprafață 2-dimensională) poate fi exprimată prin ecuațiile parametrice


   \begin{cases}
      x = x_0 + r \cos \varphi \; \sin \theta \\
      y = y_0 + r \sin \varphi \; \sin \theta \qquad (0 \leq \varphi \leq 2\pi \text{ si } 0 \leq \theta \leq \pi ) \\
      z = z_0 + r \cos \theta
   \end{cases}

Pentru fiecare valoare a parametrului θ se obține un cerc de pe sferă - astfel de cercuri se numesc paralele. Asemănător, pentru parametrul φ se obțin cercuri numite meridiane. Pentru θ=0 respectiv θ=π cercurile obținute sunt degenerate - aceste două puncte sunt polul nord (x0, y0, z0 + r) respectiv polul sud (x0, y0, z0 - r).

Pentru o sferă cu raza r>0 aria suprfeței este

A = 4 \pi r^2 \,

iar volumul este

V = \frac{4}{3}\pi r^3..

Proprietăți[modificare | modificare sursă]

Prin secțiuni plane ale sferei se obțin cercuri

Dacă se consideră un plan tangent la sferă se obține un cerc degenerat, adică un punct.

Toate Geodezicele sferei sunt drumuri închise

Geodezicele sferei sunt cercurile mari, adică cercurile obținute din secțiuni cu plane care conțin centrul sferei.

Dintre toate solidele cu un volum dat, sfera are cea mai mică arie a suprafeței

Pentru o arie dată, sfera de acea arie înconjoară cel mai mare volum.

Sfera este invariată de grupul rotațiilor

Considerând o sferă cu centrul în origine, grupul rotațiilor SO(3) transformă sfera în ea însăși.

Generalizări[modificare | modificare sursă]

Având în vedere spațiul ambient al sferei, cât și noțiunea de distanță se pot obține următoarele generalizări

  • Sfera Sn din spațiul euclidian (n+1)-dimensional Rn+1 de centru c=(c1, c2,..., cn+1) și rază r este mulțimea punctelor din Rn+1 care satisfac ecuația
\, (x_1 - c_1 )^2 + (x_2 - c_2 )^2 + ... + ( x_{n+1} -  c_{n+1} )^2 =  r^2..
  • Într-un spațiu metric oarecare (X,d) sfera de centru c și rază r este
\{x\in X:d(x,c)=r\}.

Vezi și[modificare | modificare sursă]

Legături externe[modificare | modificare sursă]