Elipsă

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare
Elipsa şi unii dintre parametrii săi.

Elipsa (din gr. elleipsis – lipsă) este curba plană definită ca locul geometric al punctelor pentru care suma distanțelor la două puncte fixe (numite focarele elipsei) este constantă. A nu se confunda cu figura de stil „elipsă”.

Aria elipsei de semiaxe a și b este A=\pi a b.

Elipsa este o conică, adică este una dintre curbele care se pot obține prin intersecția dintre un con și un plan.

Din punct de vedere algebric, elipsa este o curbă definită în coordonate carteziene de următoarea ecuație:

A x^2 + B xy + C y^2 + D x + E y + F = 0

cu condițiile B^2 < 4 AC, toți coeficienții sunt reali și există mai mult de o singură pereche (x, y) care să satisfacă ecuația.

Segmentul de dreaptă care trece prin focare și are capetele pe elipsă se numește axa majoră. Segmentul perpendicular pe mijlocul axei majore și având capetele pe elipsă se numește axă minoră.

Parametrul e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}} care apare și în figura alăturată se numește excentricitatea elipsei.

Lungimea elipsei este dată de o integrală eliptică. Elipsa cu excentricitatea e și cu semiaxa mare a va avea lungimea

L = 2\pi a \left[{1 - \left({1\over 2}\right)^2e^2 - \left({1\cdot 3\over 2\cdot 4}\right)^2{e^4\over 3} - \left({1\cdot 3\cdot 5\over 2\cdot 4\cdot 6}\right)^2{e^6\over5} - \dots}\right]\!\,

Se poate observa că cercul este un caz particular de elipsă (elipsa în care cele două focare coincid - sau pentru ecuația algebrică, elipsa pentru care A = C și B = 0).

Parametrizări[modificare | modificare sursă]

O elipsă centrată în originea sistemului de coordonate și având una dintre axe orizontală poate fi parametrizată astfel:

x = a\,\cos\beta;\,\!
y = b\,\sin\beta;\,\!

unde \beta aparține intervalului {}^{-}\frac{\pi}{2}\leq\beta\leq{}^{+}\frac{\pi}{2}.\,\!

Curbura și excentricitatea[modificare | modificare sursă]

Elipsa e o curbă cu rază de curbură variabilă. Raza de curbură se exprimă funcție de unghiul la centru și excentricitate în coordonate polare.

relativ la reperul raportat la focar[modificare | modificare sursă]

 \qquad r(\theta) = \frac{p}{1+e \cos \theta} \qquad \theta \in\R

relativ la reperul raportat la centru[modificare | modificare sursă]

 \qquad r^2(\theta) = \frac{b^2}{1-e^2 \cos ^2 \theta} \qquad \theta \in\R

Proprietăți și aplicații[modificare | modificare sursă]

  • Traiectoria planetelor este (conform primei legi a lui Kepler) o elipsă.
  • Proiecția unui cerc de rază a pe un plan înclinat este o elipsă cu semiaxa mare egală cu raza cercului și cu semiaxa mică egală cu b=a\cos\alpha, unde α este unghiul dintre cerc și plan.
  • Conform teoriei relativității restrânse, un cerc de rază a care se deplasează în planul său rectiliniu și uniform cu viteza v se transformă într-o elipsă de semiaxă mare a și semiaxă mică b=a\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}=a\cos\alpha, unde α poate fi interpretat ca fiind unghiul cu care se rotește reperul minkowskian al cercului datorită deplasării cu viteze relativiste (c fiind viteza luminii în vid).
  • Dacă se construiește o oglindă sub formă de elipsă (în cazul a două dimensiuni) sau elipsoid de rotație (pentru trei dimensiuni), se va observa că o rază de lumină trimisă dintr-un focar se reflectă în celălalt focar.

Note[modificare | modificare sursă]

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

Vezi și[modificare | modificare sursă]