| Acest articol sau această secțiune are bibliografia incompletă sau inexistentă. Puteți contribui prin adăugarea de referințe în vederea susținerii bibliografice a afirmațiilor pe care le conține. |
În teoria grupurilor, conceptul de ordin este utilizat cu următoarele semnificații:
- ordinul unui grup , notat sau , este numărul elementelor grupului. Dacă G are o infinitate de elemente
- ordinul unui element dintr-un grup : definit în cazul în care există un m natural nenul cu proprietatea unde e este elementul neutru al grupului.
Definiție.
Fie grupul și e elementul neutru.
Elementul este de ordin finit dacă:
În acest caz,
se numește ordinul elementului .
Elementul este de ordin infinit dacă a nu este de ordin finit.
Teoremă.
Fie grupul și
- Dacă atunci elementele sunt distincte două câte două și
1.
Fie grupul
Dacă și atunci și
unde este subgrupul generat de elementul a.
2.
Grupul finit de ordinul este ciclic[1] are un element de ordinul n.
3.
Fie grupul
Dacă și atunci
Demonstrație.
Conform teoremei împărțirii cu rest, există și sunt unice numerele întregi q, r cu proprietățile: și
Atunci și cum rezultă deci adică
4.
Orice element al unui grup finit are ordinul finit.
5.
Orice două grupuri ciclice de același ordin sunt izomorfe.
Dacă G este un grup ciclic de ordinul n, atunci
6.
Orice subgrup al unui grup ciclic este ciclic.
7.
Dacă atunci:
a)
b)
Demonstrație.
a) I.
Dacă atunci și
Fie Din proprietatea 3 rezultă
Cum rezultă că și cum din proprietatea 3 rezultă că Așadar
II. Dacă se va presupune că Atunci din cazul anterior rezultă că fals.
Așadar
b) I.
Dacă atunci așadar și
Dar și cum rezultă și și deci
II. Dacă presupunând că rezultă ca mai înainte că fals. Așadar
Se observă că afirmația anterioară este adevărată și în cazul izomorfismelor de grupuri, ceea ce întărește imaginea intuitivă că elementele asociate printr-un izomorfism au aceleași proprietăți.
9.
Fie grupul și cu astfel încât Notăm cu Atunci:
a)
b)
Demonstrație.
Se știe că dacă atunci
a) Se ține cont că și cu iar Mai departe:
de unde, conform consecinței 3, unde Acum se demonstrează că
- și, conform consecinței 3,
Analog rezultă că și cum se obține
a)
b) Dacă și atunci
c) Există situații când
De exemplu, în grupul și
10.
Fie grupul și Atunci:
a)
b)
11.
Fie un grup ciclic de ordinul și
Atunci: este generator al grupului
- ^ Un grup se numește ciclic de ordinul n dacă există un element astfel încât În acest caz, elementul x se numește generator al grupului