Ordin (teoria grupurilor)

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Jump to navigation Jump to search

În teoria grupurilor, conceptul de ordin este utilizat cu următoarele semnificații:

  • ordinul unui grup , notat sau , este numărul elementelor grupului. Dacă G are o infinitate de elemente
  • ordinul unui element dintr-un grup : definit în cazul în care există un m natural nenul cu proprietatea unde e este elementul neutru al grupului.

Ordinul unui element[modificare | modificare sursă]

Definiție. Fie grupul și e elementul neutru. Elementul este de ordin finit dacă:

În acest caz,

se numește ordinul elementului .

Elementul este de ordin infinit dacă a nu este de ordin finit.

Teoremă. Fie grupul și

  • Dacă atunci elementele sunt distincte două câte două și

Proprietăți[modificare | modificare sursă]

1. Fie grupul Dacă    și   atunci   și

unde este subgrupul generat de elementul a.

2. Grupul finit   de ordinul este ciclic[1]   are un element de ordinul n.

3. Fie grupul   Dacă   și     atunci

Demonstrație. Conform teoremei împărțirii cu rest, există și sunt unice numerele întregi q, r cu proprietățile:   și  

Atunci   și cum     rezultă   deci    adică  

4. Orice element al unui grup finit are ordinul finit.

5. Orice două grupuri ciclice de același ordin sunt izomorfe. Dacă G este un grup ciclic de ordinul n, atunci

6. Orice subgrup al unui grup ciclic este ciclic.

7. Dacă   atunci:

a)

b)

Demonstrație.

a) I. Dacă   atunci    și  

Fie    Din proprietatea 3 rezultă  

Cum     rezultă că     și cum     din proprietatea 3 rezultă că     Așadar  

II. Dacă    se va presupune că     Atunci din cazul anterior rezultă că     fals. Așadar  

b) I. Dacă    atunci    așadar    și   

Dar    și cum    rezultă și    și deci   

II. Dacă    presupunând că    rezultă ca mai înainte că    fals. Așadar   

Se observă că afirmația anterioară este adevărată și în cazul izomorfismelor de grupuri, ceea ce întărește imaginea intuitivă că elementele asociate printr-un izomorfism au aceleași proprietăți.

9. Fie grupul    și    cu    astfel încât    Notăm cu    Atunci:

a)  

b)  

Demonstrație. Se știe că dacă    atunci   

a) Se ține cont că    și    cu    iar   Mai departe:

de unde, conform consecinței 3,    unde    Acum se demonstrează că   

  și, conform consecinței 3,  

Analog rezultă că    și cum    se obține   

Observații[modificare | modificare sursă]

a)   

b) Dacă    și    atunci   

c) Există situații când   

De exemplu, în grupul    și   


10. Fie grupul    și    Atunci:

a)   

b)   

11. Fie    un grup ciclic de ordinul    și   

Atunci:    este generator al grupului   

Note[modificare | modificare sursă]

  1. ^ Un grup se numește ciclic de ordinul n dacă există un element   astfel încât   În acest caz, elementul x se numește generator al grupului  

Vezi și[modificare | modificare sursă]