Triunghi

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
(Redirecționat de la Triunghi obtuzunghic)
Salt la: Navigare, căutare
Pentru alte sensuri, vedeți Triunghi (dezambiguizare).

Fiind date trei puncte distincte necoliniare, figura geometrică dată de reuniunea segmentelor închise determinate de ele se numește triunghi și este una dintre formele poligonale fundamentale ale geometriei.

Elemente ale triunghiului[modificare | modificare sursă]

 [AB] \cup [BC]\cup [CA] = \triangle [ABC]

  • punctele A, B, C se numesc vârfurile triunghiului.
  • [AB], [BC], [AC] se numesc laturile triunghiului.
  •  \angle BAC,\angle ABC,\angle ACB se numesc unghiurile (interne) triunghiului.

Clasificarea triunghiurilor[modificare | modificare sursă]

Clasificarea triunghiurilor se face:

  • în funcție de lungimile laturilor
  • după felul unghiurilor

Clasificarea triunghiurilor în funcție de lungimile laturilor[modificare | modificare sursă]

Un triunghi cu toate laturile congruente se numește triunghi echilateral. Un triunghi cu două laturi congruente se numește triunghi isoscel. Un triunghi care are laturile de lungimi diferite se numește triunghi scalen (sau oarecare).

Clasificarea după felul unghiurilor[modificare | modificare sursă]

Triunghiul cu toate unghiurile ascuțite este numit triunghi ascuțitunghic. Dacă unul dintre unghiuri este drept, triunghiul este denumit dreptunghic. Triunghiul cu un unghi mai mare de 900 se numește triunghi obtuzunghic.

Drepte și puncte remarcabile în triunghi[modificare | modificare sursă]

Mediatoare[modificare | modificare sursă]

Mediatoarea este dreapta perpendiculară pe un segment dusă prin mijlocul acestuia. Mediatoarele celor trei laturi ale triunghiului se numesc mediatoarele triunghiului.

Mediană[modificare | modificare sursă]

Mediana este segmentul de dreaptă care unește un vârf al unui triunghi cu mijlocul laturii opuse.

Înălțime[modificare | modificare sursă]

Înălțimea este segmentul determinat de un vârf al unui triunghi și piciorul perpendicularei duse din acel vârf pe latura opusă sau pe prelungirea ei.

Bisectoare[modificare | modificare sursă]

Bisectoarea este semidreapta interioară, cu originea în vârful unghiului, ce împarte unghiul în 2 unghiuri congruente. Bisectoarele celor trei unghiuri interne ale triunghiului se numesc bisectoarele interne ale triunghiului.

Centrul cercului circumscris[modificare | modificare sursă]

Centrul cercului circumscris unui triunghi se află la intersecția celor trei mediatoare (perpendiculare pe mijlocul fiecărei laturi) ale triunghiului respectiv. Centrul cercului circumscris se află în interiorul triunghiului (în cazul triunghiurilor ascuțitunghice) sau în exteriorul triunghiului (în cazul triunghiurilor obtuzunghice). La triunghiurile dreptunghice centrul cercului circumscris se găsește pe ipotenuză, la mijlocul acesteia.

Centrul cercului înscris[modificare | modificare sursă]

Centrul cercului înscris într-un triunghi se află la intersecția celor trei bisectoare ale unghiurilor interne ale triunghiului.

Ortocentrul[modificare | modificare sursă]

Ortocentrul unui triunghi se află la intersecția celor trei înălțimi ale triunghiului respectiv. Ortocentrul se află în interiorul triunghiului (în cazul triunghiurilor ascuțitunghice) sau în exteriorul triunghiului (în cazul triunghiurilor obtuzunghice). La triunghiurile dreptunghice ortocentrul este chiar vârful unghiului drept.

Centrul de greutate[modificare | modificare sursă]

Intersecția celor trei mediane ale triunghiului este „centrul de greutate” al triunghiului.

Linia mijlocie este segmentul determinat de mijloacele a două laturi ale triunghiului. Ea este paralelă cu cea de-a treia latură și este egală cu jumătate din lungimea acesteia.

Ortocentrul, centrul de greutate și centrul cercului circumscris triunghiului sunt coliniare, formând dreapta lui Euler.

Centrul de greutate se află pe fiecare mediană la o distanță de 2/3 de la vârf și de 1/3 de la bază.

Congruența triunghiurilor[modificare | modificare sursă]

Două triunghiuri sunt congruente dacă au toate cele trei unghuri congruente la fel ca laturile.

Criterii de congruență[modificare | modificare sursă]

Criteriile de congruență sunt teoreme(deduse din cazurile de construcție)care ne permit sa arătam că două triunghiuri sunt congruente,folosind numai trei congruențe intre elementele lor.

  1. Criteriul L.U.L. (latură-unghi-latură): Dacă două laturi și unghiul determinat de ele dintr-un triunghi sunt congruente cu elementele corespunzătoare din alt triunghi, atunci cele 2 triunghiuri sunt congruente.
  2. Criteriul U.L.U. (unghi-latură-unghi): Dacă o latură și unghiurile alăturate ei dintr-un triunghi sunt congruente cu elementele corespunzătoare lor din alt triunghi, atunci cele două triunghiuri sunt congruente.
  3. Criteriul L.L.L. (latură-latură-latură): Dacă cele trei laturi dintr-un triunghi sunt congruente cu laturile corespunzătoare lor din alt triunghi, atunci cele două triunghiuri sunt congruente.

Congruența triunghiurilor dreptunghice[modificare | modificare sursă]

  1. Cazul C.C. (catetă-catetă): două triunghiuri dreptunghice care au catetele congruente, sunt congruente.
  2. Cazul C.U. (catetă-unghi): două triunghiuri dreptunghice care au câte o catetă și câte un unghi ascuțit congruent,sunt congruente.
  3. Cazul I.U. (ipotenuză-unghi): două triunghiuri dreptunghice care au ipotenuzele congruente și o pereche de unghiuri ascuțite congruente, sunt congruente.
  4. Cazul I.C. (ipotenuză-catetă): două triunghiuri dreptunghice care au ipotenuzele congruente și o pereche de catete congruente, sunt congruente.

Asemănarea triunghiurilor[modificare | modificare sursă]

Două triunghiuri sunt asemenea dacă au unghiurile corespunzătoare congruente și laturile corespunzătoare proporționale.

Criterii de asemănare[modificare | modificare sursă]

  1. Criteriul U.U. (unghi-unghi): Două triunghiuri care au două perechi de unghiuri congruente sunt asemenea.
  2. Criteriul L.U.L. (latură-unghi-latura): Dacă două triunghiuri au două laturi proporționale și un unghi congruent, atunci triunghiurile sunt asemenea.
  3. Criteriul L.L.L. (latură-latură-latură): Dacă două triunghiuri au laturile corespunzătoare proporționale, atunci cele două triunghiuri sunt asemenea.

Construcția triunghiurilor[modificare | modificare sursă]

Triunghiul este definit de masurile celor trei unghiuri și lungimile celor trei laturi.

Cazurile de construcție a triunghiurilor oferă reguli de construcție a unui anumit triunghi pentru care se cunosc trei dintre elementele sale.

Un triunghi se costruiește în:

  1. ”cazul L.U.L”,dacă se cunosc lungimile a doua laturi și măsura unghiului format de ele
  2. ”cazul U.L.U”,dacă se cunosc o latura și unghiurile alăturate ei
  3. ”cazul L.L.L”,dacă se cunosc lungimile celor trei laturi

Rapoarte constante între elemente ale unui triunghi dreptunghic[modificare | modificare sursă]

Rapoartele constante în triunghiul dreptunghic sunt: sinusul, cosinusul, tangenta, cotangenta. Acestea se mai numesc și funcții trigonometrice.

Sinusul măsurii unui unghi, este raportul dintre lungimea catetei opuse unghiului și lungimea ipotenuzei:
sin X= \frac {Cateta Opusa}{Ipotenuza}
Cosinusul măsurii unui unghi, este raportul dintre lungimea catetei alăturate unghiului și lungimea ipotenuzei:
cos X= \frac {Cateta Alaturata}{Ipotenuza}
Tangenta măsurii unui unghi este raportul dintre lungimea catetei opuse unghiului și lungimea catetei alăturate unghiului:
tg X= \frac {Cateta Opusa}{Cateta Alaturata}
Cotangenta măsurii unui unghi este raportul dintre lungimea catetei alăturate unghiului și lungimea catetei opuse unghiului:
ctg X= \frac {Cateta Alaturata}{Cateta Opusa}

Fie X măsura unui unghi, iar (90°-X) măsura complementului său. Atunci au loc următoarele relații:

sin X = cos (90^\circ-X) \!
cos X = sin (90^\circ-X) \!
tg X= ctg (90^\circ-X) \!
ctg X= tg (90^\circ-X) \!

Valori ale funcțiilor trigonometrice pentru măsurile unghiurilor de 0°, 30°, 45°, 60° și 90°[modificare | modificare sursă]

0^\circ (0) 30^\circ (\frac {\pi}{6}) 45^\circ (\frac {\pi}{4}) 60^\circ (\frac {\pi}{3}) 90^\circ (\frac {\pi}{2})
sin  0 \frac{1}{2} \frac {\sqrt{2}}{2} \frac {\sqrt {3}}{2} 1
cos 1 \frac {\sqrt {3}}{2} \frac {\sqrt{2}}{2} \frac{1}{2}  0
tg  0 \frac {\sqrt{3}}{3}  1  \sqrt 3 -
ctg -  \sqrt 3  1 \frac {\sqrt{3}}{3}  0

Relații[modificare | modificare sursă]

sin30^\circ=cos60^\circ= \frac {1}{2}      cos30^\circ=sin60^\circ= \frac {\sqrt {3}}{2}
tg30^\circ=ctg60^\circ= \frac {\sqrt {3}}{3}      ctg30^\circ=tg60^\circ= \sqrt 3
sin45^\circ=cos45^\circ= \frac {\sqrt {2}}{2}
tg45^\circ=ctg45^\circ=1 \!
sin0^\circ=cos90^\circ=0      cos0^\circ=sin90^\circ=1
tg0^\circ=ctg90^\circ=0      ctg0^\circ=tg90^\circ=\infty

Formule trigonometrice[modificare | modificare sursă]

tg X= \frac {sin X}{cos X}
ctg X= \frac {cos X}{sin X}
tg X= \frac {1}{ctg X}
tg X \cdot ctg X=1

Formula fundamentală a trigonometriei:

sin^2X + cos^2X = 1 \!

Reguli, proprietăți, teoreme aplicabile triunghiului[modificare | modificare sursă]

  1. În orice triunghi suma măsurilor unghiurilor interne este de 180°.
  2. Un triunghi are șase unghiuri externe, congruente două câte două.
  3. Într-un triunghi isoscel unghiurile alăturate bazei sunt congruente.
  4. Într-un triunghi dreptunghic unghiurile ascuțite sunt complementare.
  5. Într-un triunghi dreptunghic lungimea ipotenuzei este mai mare decât oricare din lungimile celor două catete.
  6. Într-un triunghi oarecare, între două laturi: laturii mai mari i se opune un unghi mai mare decât cel care se opune laturii mai mici.
  7. Într-un triunghi ascuțitunghic centrul cercului circumscris se găsește în interiorul triunghiului.
  8. Într-un triunghi obtuzunghic centrul cercului circumscris se găsește în exteriorul triunghiului.
  9. Într-un triunghi dreptunghic centrul cercului circumscris coincide cu mijlocul ipotenuzei.
  10. Cercul înscris într-un triunghi intersectează (atinge) fiecare latură într-un singur punct, numit punct de tangență.
  11. Într-un triunghi se pot construi trei linii mijlocii.
  12. PROPRIETATEA LINIEI MIJLOCII:într-un triunghi linia mijlocie este paralelă cu cea de-a treia latură a triunghiului, și are lungimea egală cu jumătate din lungimea acesteia.
  13. Dacă triunghiul este ascuțitunghic atunci ortocentrul se găsește în interiorul triunghiului.
  14. Ortocentrul triunghiului obtuzunghic se găsește în exteriorul triunghiului.
  15. Ortocentrul triunghiului dreptunghic coincide cu vârful unghiului drept.
  16. PROPRIETATEA CENTRULUI DE GREUTATE:într-un triunghi centrul de greutate se găsește pe fiecare mediană la două treimi de vârf și la o treime față de bază.
  17. Două triunghiuri congruente vor fi mereu echivalente. Reciproca nu este valabilă.
  18. Într-un triunghi, mediana unei laturi împarte triunghiul în 2 triunghiuri echivalente, având fiecare jumătate din aria triunghiului inițial.
  19. TEOREMĂ:Într-un triunghi oarecare măsura unui unghi exterior triunghiului este egală cu suma măsurilor unghiurilor interioare nealăturate. Un unghi exterior unui triunghi este mai mare decât oricare din unghiurile interne nealăturate.
  20. TEOREMĂ:În orice triunghi înălțimile sunt concurente, mediatoarele sunt concurente, medianele sunt concurente și bisectoarele sunt concurente.
  21. TEOREMĂ:În orice triunghi produsul dintre lungimea înălțimii și lungimea laturii corespunzatoare ei este constant.
  22. TEOREMĂ:În orice triunghi bisectoarea interioară a unui unghi împarte latura opusă în segmente proporționale cu laturile ce formează unghiul.
  23. TEOREMĂ:într-un triunghi isoscel unghiurile alăturate bazei sunt congruente.
  24. TEOREMĂ:într-un triunghi isoscel bisectoarea unghiului de la vârf, mediana și înălțimea bazei coincid și sunt inclusive mediatoarei bazei.
  25. TEOREMĂ:într-un triunghi isoscel medianele corespunzătoare laturilor congruente, sunt congruente.
  26. TEOREMĂ:într-un triunghi isoscel înălțimile corespunzătoare laturilor congruente, sunt congruente.
  27. TEOREMA BISECTOAREI:bisectoarea unui unghi al unui triunghi, determină pe latura opusă unghiului segmente proporționale cu laturile care formează unghiul.
  28. TEOREMA FUNDAMENTALĂ A ASEMĂNĂRII:o paralelă dusă la una din laturile unui triunghi, formează cu celelalte două laturi, sau cu prelungirile lor, un triunghi asemenea cu triunghiul dat.
  29. Dacă două triunghiuri sunt asemenea, atunci raportul lor de asemănare este egal cu raportul înălțimilor corespunzătoare, a bisectoarelor corespunzătoare, a medianelor corespunzătoare.
  30. Dacă două triunghiuri sunt asemenea atunci, pătratul raportului de asemănare este egal cu raportul mărimilor celor două triunghiuri.
  31. PROPRIETĂȚI DE ASEMĂNARE:orice triunghi este asemenea cu el însuși; dacă triunghiul ABC este asemenea cu triunghiul A1B1C1, iar triunghiul

A1B1C1 este asemenea cu triunghiul A2B2C2, atunci și triunghiul ABC este asemenea cu triunghiul A2B2C2; dacă triunghiul ABC este asemenea cu triunghiul A1B1C1, atunci și triunghiul A1B1C1 este asemena cu triunghiul ABC; două triunghiuri congruente sunt întotdeauna asemenea(reciproca nu este valabila); 2 triunghiuri echilaterale sunt întotdeauna asemenea.

  1. TEOREMA CATETEI:într-un triunghi dreptunghic, lungimea catetei este egală cu media geometrică dintre lungimea ipotenuzei și proiecția sa pe ipotenuză.
  2. TEOREMA ÎNĂLȚIMII:într-un triunghi dreptunghic, lungimea înălțimii corespunzătoare ipotenuzei este egală cu media geometrică dintre proiecțiile catetelor pe ipotenuză.
  3. Dacă într-un triunghi isoscel unghiurile alăturate bazei au măsura de 60°, atunci triunghiul este echilateral.
  4. TEOREMA 30°—90°: într-un triunghi dreptunghic, dacă un unghi are măsura de 30°, atunci cateta opusă lui (cea care are unghiul alăturat de 60°) are lungimea sa egală cu jumătate din lungimea ipotenuzei.
  5. Într-un triunghi dreptunghic mediana corespunzătoare ipotenuzei are lungimea egală cu jumătate din lungimea ipotenuzei.
  6. Într-un triunghi echilateral mediatoarea corespunzătoare unei laturi este și înălțime corespunzătoare acesteia și mediană corespunzătoare acesteia și bisectoare corespunzătoare unghiului opus laturii respective.
  • Teorema lui Thales: în orice triunghi, o paralelă dusă la una din laturi împarte celelalte două laturi, sau prelungirile acestora, în segmente proporționale.
  • Reciproca Teoremei lui Thales: în orice triunghi, dacă o dreaptă determină pe două laturi, sau pe prelungirile acestora, segmente proporționale, atunci ea este paralelă cu a treia latură.
  • Teorema lui Pitagora: suma pătratelor lungimilor catetelor este egală cu pătratul lungimii ipotenuzei.

Formule folosite in triunghi[modificare | modificare sursă]

Perimetru și semiperimetru[modificare | modificare sursă]

P_{\triangle}=a+b+c \!
p_{\triangle}= \frac {P_\triangle}{2}

Arie[modificare | modificare sursă]

A_{\triangle} \leq \frac {P^2_{\triangle}}{12\sqrt{3}}, iar A_{\triangle ec}=\frac {P^2_{\triangle}}{12\sqrt{3}}
A_{\triangle}= \frac {l \cdot h_l}{2}
A_{\triangle dr}= \frac {xy}{2}
A_{\triangle ec}= \frac {l^2 \sqrt {3}}{4}
A_{\triangle}=pr
A_{\triangle}= \frac {abc}{4R}
A_{\triangle}= \frac{D^2 \cdot sin\alpha \cdot sin\beta \cdot sin \gamma}{2}
A_{\triangle}= \frac{ab \cdot sin(a;b)}{2}= \frac{bc \cdot sin(b;c)}{2}= \frac{ac \cdot sin(a;c)}{2}
A_{\triangle}=\frac{\sqrt{ab\cdot h_ah_b}}{2}=\frac{\sqrt{ac\cdot h_ah_c}}{2}=\frac{\sqrt{bc\cdot h_bh_c}}{2}
A_{\triangle}=\frac{a+b}{2(h^{-1}_a+h^{-1}_b)}=\frac{a+c}{2(h^{-1}_a+h^{-1}_c)}=\frac{b+c}{2(h^{-1}_b+h^{-1}_c)}
A_{\triangle}=\frac{Rh_bh_c}{a}=\frac{Rh_ah_c}{b}=\frac{Rh_ah_b}{c}

FORMULA LUI HERON:

A_{\triangle}=\frac{\sqrt {P(a-b+c)(a+b-c)(-a+b+c)}}{4}
A_{\triangle} = \sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}

ALTE FORME ALE FORMULEI LUI HERON:

A_{\triangle}=  \frac{\sqrt{(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)}}{4}
A_{\triangle}=  \frac{\sqrt{2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)}}{4}
A_{\triangle}=  \frac{\sqrt{(a+b-c) (a-b+c) (-a+b+c) (a+b+c)}}{4}

FORMULE DERIVATE DIN FORMULA LUI HERON:

Un triunghi cu laturile de lungime a, b și respectiv c și unghiurile de măsura α, β și respectiv γ.
A_{\triangle}=\frac{4\sqrt{\sigma(\sigma-m_a)(\sigma-m_b)(\sigma-m_c)}}{3}
unde
\sigma=\frac {m_a+m_b+m_c}{2}
A^{-1}_{\triangle}=4 \sqrt {H(H-h^{-1}_a)(H-h^{-1}_b)(H-h^{-1}_c)}
unde
H=\frac {h^{-1}_a+h^{-1}_b+h^{-1}_c}{2}
A_{\triangle}=D^2\sqrt{S(S-sin\alpha)(S-sin\beta)(S-sin\gamma)}
unde S=\frac{sin\alpha+sin\beta+sin\gamma}{2}, iarD=\frac{a}{sin\alpha}=\frac{b}{sin\beta}=\frac{c}{sin\gamma}

Alte formule[modificare | modificare sursă]

h_{\triangle ec}= \frac {l \sqrt{3}}{2}
h_{\triangle dr}= \frac {xy}{i}
h_{\triangle dr}= \sqrt{pr_x \cdot pr_y} sau h^2_{\triangle dr}=pr_x\cdot pr_y
h_{\triangle dr} \cdot i=xy
i^2=x^2 + y^2\, sau i=\sqrt{x^2+y^2}
c= \sqrt {pr_c \cdot i} sau c^2=pr_c \cdot i
m_i= \frac {i}{2}
m_a=\frac{\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}}{2} ; m_b=\frac{\sqrt{2a^2+2c^2-b^2}}{2} ; m_c=\frac{\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}}{2}
m_a=\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{2}-\frac{3a^2}{4}} ; m_b=\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{2}-\frac{3b^2}{4}} ; m_c=\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{2}-\frac{3c^2}{4}}
R_{\triangle ec}= \frac {l \sqrt{3}}{3}
r_{\triangle ec}= \frac {l \sqrt{3}}{6}
r=\frac{2A_{\triangle}}{P_{\triangle}}
r=\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}
\frac{3(a^2+b^2+c^2)}{4}=m^2_a+m^2_b+m^2_c
\frac{1}{r}=\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}
\frac{r}{R}=\frac{4A^2_{\triangle}}{p\cdot abc}
\frac{r}{R}=cos\alpha+cos\beta+cos\gamma-1
2Rr=\frac{abc}{a+b+c}

A (arie); l (una dintre laturile triunghiului); a,b,c (laturile unui triunghi); α,β,γ (unghiurile triunghiului); P (perimetru); p (semiperimetru); h (înălțime); c (cateta); x,y(catetele unui triunghi dreptunghic);i (ipotenuza); R (raza cercului circumscris triunghiului);D (diametrul cercului circumscris al triunghiului) ; r (raza cercului înscris în triunghi); ec (echilateral); dr (dreptunghic); pr (proiecția catetei pe ipotenuză); m (mediana); H,S,σ (variabile matematice)

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

  • ro Dumitru Săvulescu, Ștefan Sabău, Emil Teodorescu. Breviar teoretic și teste de matematică, Editura Corint, București 2001.
  • Geometrie plana pentru examenul de capacitate, partea a II - a. Neculae Cocos - Andreescu Sepia, 1996,Craiova

Lectură suplimentară[modificare | modificare sursă]

  • Traian Lalescu, Geometria triunghiului, Editura Tineretului, București, 1958.
  • Ionescu-Țiu, C., Geometrie plană și în spațiu, pentru admiterea la facultate, Editura Albatros, București, 1976.
  • Viorel Gh. Vodă, Vraja geometriei demodate, Editura Albatros, București, 1983.
  • Cătălin Barbu, Teoreme fundamentale din geometria triunghiului, Editura Unique, 2008.

Legături externe[modificare | modificare sursă]

Wikţionar
Caută „triunghi” în Wikționar, dicționarul liber.