Mediană

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare
Medianele şi centrul de greutate al triunghiului.

Mediana unui triunghi reprezintă segmentul determinat de un vârf al triunghiului și mijlocul laturii opuse.

Proprietăți[modificare | modificare sursă]

Concurența medianelor într-un triunghi[modificare | modificare sursă]

Toate cele trei mediane ale unui triunghi se intersectează într-un punct numit centrul de greutate al acestuia. Centrul de greutate se găsește pe fiecare mediană la 1/3 de mijlocul laturii pe care cade mediana și 2/3 de vârful triunghiului din care pleacă mediana; [1]

Ca o consecință imediată a acestei proprietăți, rezultă și următoarea.

Împărțirea egală a ariilor[modificare | modificare sursă]

Fiecare mediană împarte triunghiul în alte două triunghiuri de arii egale (echivalente). [2] Toate cele trei mediane împart triunghiul în 6 triunghiuri mai mici având arii egale.

Demonstrație directă[modificare | modificare sursă]

Mediana demonstratie.JPG

În figura de mai sus, se observă că DF este linia mijlocie a triunghiului :ABC, opusă laturii BC. Prin urmare, este paralelă cu BC și are lungimea egală cu \frac{BC}{2}.

Deoarece BC || DF rezultă că unghiurile:

OCB=ODF

și

OBC=OFD

fiind alterne interne. Prin urmare, triunghiurile \Delta OBC și \Delta OFD sunt asemenea. Rezultă că

\frac{OF}{OB}=\frac{OD}{OC}=\frac{FD}{BC}=\frac{1}{2}

Demonstrație prin teorema lui Ceva[modificare | modificare sursă]

Deoarece:

\frac{AF}{FC} = \frac{CE}{EB} = \frac{BD}{DA} = 1, rezultă că și :\frac{AF}{FC} . \frac{CE}{EB} . \frac{BD}{DA}=1. Deci, conform reciprocei teoremei lui Ceva, medianele sunt concurente.

Lungimea medianei[modificare | modificare sursă]

Folosind teorema lui Stewart, lungimea medianei este egală cu:

m = \sqrt {\frac{2 b^2 + 2 c^2 - a^2}{4} } ,

unde a este latura pe care cade mediana.

Alte proprietăți[modificare | modificare sursă]

  • Într-un triunghi dreptunghic, mediana corespunzătoare ipotenuzei are o lungime egală cu jumătate din cea a ipotenuzei.
  • Medianele unui triunghi dreptunghic având ipotenuza c satisfac proprietatea m_a^2+m_b^2=5m_c^2.
  • Medianele corespunzătoare laturilor a și b sunt perpendiculare dacă și numai dacă a^2 + b^2 = 5c^2.[3]
  • Între lungimile laturilor unui triunghi și lungimile medianelor există relația: [4]
\tfrac{3}{4}(a^2+b^2+c^2)=m_a^2+m_b^2+m_c^2.
  • Se poate exprima aria unui triunghi, T, în funcție de lungimile medianelor, ma, mb și mc, după cum urmează. Notând semisuma lungimilor medianelor (ma + mb + mc)/2 cu σ, obținem:[5]
T = \frac{4}{3} \sqrt{\sigma (\sigma - m_a)(\sigma - m_b)(\sigma - m_c)}.

Referințe[modificare | modificare sursă]

  1. ^ Weisstein, Eric W. (2010). CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, Second Edition. CRC Press. pp. 375-377. ISBN 9781420035223 
  2. ^ Bottomley, Henry. „Medians and Area Bisectors of a Triangle. http://www.se16.info/js/halfarea.htm. Accesat la 27 septembrie 2013. 
  3. ^ Boskoff, Homentcovschi, and Suceava (2009), Mathematical Gazette, Note 93.15.
  4. ^ Posamentier, Alfred S., and Salkind, Charles T., Challenging Problems in Geometry, Dover, 1996: pp. 86-87.
  5. ^ Benyi, Arpad, "A Heron-type formula for the triangle," Mathematical Gazette" 87, July 2003, 324–326.

Vezi și[modificare | modificare sursă]

Commons
Wikimedia Commons conține materiale multimedia legate de Mediană