Teorema bisectoarei
De la Wikipedia, enciclopedia liberă
În geometrie, teorema bisectoarei exprimă o relație între lungimile segmentelor determinate de bisectoarea unui unghi al triunghiului pe latura pe care cade și cele ale laturilor acelui unghi.
Cuprins |
Enunț [modificare]
Într-un triunghi ABC, bisectoarea unghiului A determină pe latura opusă (BC) segmente proporționale cu laturile triunghiului: 
Din scrierea relației algebrice se poate remarca o metodă mnemotehnică: înlocuirea lui D cu A (și invers) NU schimbă valoarea raportului.
Propoziții înrudite [modificare]
- Teorema bisectoarei externe: Bisectoarea externă a unghiului A (dreapta pe care se află bisectoarele ambelor unghiuri externe BAC' și B'AC) determină pe dreapta BC (în exteriorul segmentului BC) punctul E pentru care are loc relația:
. Dacă bisectoarea externă este paralelă cu BC, un astfel de punct nu există. - Reciproca este adevărată: dacă un punct D interior laturii BC o împarte pe aceasta în segmente ce respectă relația de mai sus, atunci AD este bisectoarea unghiului A.bd=ad
. Dacă bisectoarea externă este paralelă cu BC, un astfel de punct nu există.Demonstrație folosind numere complexe [modificare]
- Punctelor A și D pot fi asociate numerele complexe 0 și 1. Atunci numerele complexe b si c vor fi asociate punctelor B și C astfel :
-
- b = AB.( cos(θ) + i.sin(θ) ),
- c = AC.( cos(θ) - i.sin(θ) ) ; aici am folosit faptul că AD este bisectoare.
- Un punct de pe segmentul BC va avea numărul complex asociat :
-
- λ.b + (1 - λ).c = ceva real + i.sin(θ).[ λ.AC + λ.AB - AC ] unde λ este un număr real care satisface :
-
- λ = DC / ( BD + DC )
- Cerând ca acest punct de pe segmentul BC să se afle și pe bisectoare, partea imaginară a numărului complex asociat trebuie să fie nulă, ceea ce impune ca :
-
- λ = AC / ( AB + AC )
- Eliminând λ între cele două ecuații precedente va rezulta egalitatea cerută.
