Polinom

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

În matematică, un polinom este o expresie construită dintr-una sau mai multe variabile şi constante, folosind doar operaţii de adunare, scădere, înmulţire şi ridicare la putere constantă pozitivă întreagă. $x^2 - 4x + 7\,$ este un polinom. Se observă în particular că împărţirea printr-o expresie de conţine o variabilă nu este permisă în polinoame. ^[1]

[modifică] Generalităţi

Polinoamele sunt construite din termeni numiţi monoame, care constau dintr-o constantă (numită coeficient) înmulţită cu una sau mai multe variabile (de regulă reprezentate prin cifre). Fiecare variabilă poate avea un exponent constant întreg pozitiv. Exponentul unei variabile dintr-un monom este egal cu gradul acelei variabile în acel monom. Pentru că $x = x 1$ , gradul unei variabile fără exponent este unu. Un monom fără variabile se numeşte monom constant, sau doar constantă. Gradul unui termen constant este 0. Coeficientul unui monom poate fi orice număr, inclusiv fracţii, numere iraţionale sau negative. Un polinom construit cu o singură variabilă se numeşte univariat.

De exemplu,

$-5x^2y\,$

este un monom. Are coeficientul -5, variabilele sunt x şi y, gradul lui x este doi, iar gradul lui y este unu.

Gradul întregului monom este suma gradelor tuturor variabilelor din el. În exemplul de mai sus, gradul este 2 + 1 = 3.

Un polinom este o sumă de unul sau mai multe monoame. De exemplu, următoarea expresie este un polinom:

$3x^2 - 5x + 4\,.$

El constă din trei monoame: primul are gradul doi, al doilea are gradul unu, iar al treilea are gradul zero.

Când un polinom este dispus în ordinea naturală, el are termenii de grad mai mare înaintea celor de grad mai mic. În primul termen, coeficientul este 3, variabila este x, iar exponentul este doi. În al doilea termen, coeficientul este -5. Al treilea termen este o constantă. Gradul unui polinom este cel mai mare grad al unui termen al său. În acest exemplu, polinomul are gradul doi.

Un polinom de gradul unu este numit liniar, unul de gradul doi este pătratic, iar unul de gradul trei este un polinom cubic. Mai rar, polinoamele de gradul patru se numesc cuartice iar cele de grad cinci quintice.

Un polinom cu un singur termen este numit monom, unul cu doi termeni binom, iar unul cu trei termeni trinom.

Un polinom care are coeficientul 1 pentru termenul de grad maxim se numeşte monic.

O expresie ce poate fi adusă la o formă polinomială prin aplicarea secvenţială a unor legi comutative, asociative, şi distributive este în general considerată tot un polinom.

De exemplu

$\frac{x^3}{12}$

este un polinom pentru că este echivalent cu $\tfrac{1}{12}x^3$ . Coeficientul este $\tfrac{1}{12}$ .

Dar,

${1 \over x^2 + 1} \,$

nu este polinom pentru că include împărţirea printr-o variabilă. La fel şi

$( 5 + y ) ^ x \,$

pentru că are o variabilă la exponent.

Deoarece scăderea poate fi tratată ca o adunare cu termenul opus, şi deoarece ridicarea la o putere întreagă pozitivă şi constantă poate fi tratată ca înmulţire repetată, polinoamele se pot construi din constante şi variabile folosind doar două operaţii: adunarea şi înmulţirea.

O funcţie polinomială este o funcţie definită ca evaluând un polinom. De exemplu, funcţia f definită prin

$f(x) = x^3 - x \,$

este o funcţie polinomială. Funcţiile polinomiale sunt o clasă importantă de funcţii derivabile.

O ecuaţie polinomială este o ecuaţie în care un polinom este considerat egal cu un alt polinom.

$3x^2 + 4x -5 = 0 \,$

este o ecuaţie polinomială.

[modifică] Proprietăţi elementare ale polinoamelor

Suma a două polinoame este un polinom
Produsul a două polinoame este un polinom
Derivata unui polinom este un polinom
Primitiva unui polinom este un polinom

Polinoamele folosesc şi la aproximarea altor funcţii, cum ar fi sinus, cosinus, şi exponenţiala.

Toate polinoamele au o formă extinsă, în care legile distributive au fost folosite pentru a elimina toate parantezele. Toate polinoamele au şi o formă factorizată în care polinomul este scris ca produs de polinoame liniare. De exemplu, polinomul

$x^2 - 2x - 3 \,$