Teoria gauge

Acest articol discută despre fizica teoriilor gauge. Pentru domeniul matematic al teoriei gauge, vezi Teoria gauge (matematică).

Teoria cuantică a câmpurilor
Diagrama Feynman
Istorie
Fundal Teoria câmpurilor Electromagnetism Interacțiune slabă Interacțiune tare Mecanica cuantică Teoria relativității restrânse Teoria relativității generale Teoria gauge Teoria Yang–Mills
Simetrii Simetrie in mecanica cuantică Simetria C Simetria P Simetria T Simetria Lorentz Simetria Poincaré Simetria gauge Ruperea explicită a simetriei Ruperea spontană a simetriei Sarcina Noether Sarcina Topologică
Ecuații Ecuația lui Dirac Ecuația Klein–Gordon Ecuațiile Proca Ecuația Wheeler–DeWitt Ecuațiile Bargmann–Wigner
Modelul standard Electrodinamica cuantică Interacțiunea electroslabă Cromodinamică cuantică Mecanism Higgs
Teorii incomplete Teoria coardelor Supersimetrie Technicolor Teoria întregului Gravitație cuantică
Oameni de știință Adler Anderson Anselm Bargmann Becchi Belavin Bell Berezin Bethe Bjorken Bleuer Bogoliubov Brodsky Brout Buchholz Cachazo Callan Coleman Dashen DeWitt Dirac Doplicher Dyson Englert Faddeev Fadin Fayet Fermi Feynman Fierz Fock Frampton Fritzsch Fröhlich Fredenhagen Furry Glashow Gelfand Gell-Mann Glimm Goldstone Gribov Gross Gupta Guralnik Haag Heisenberg Hepp Higgs Hagen 't Hooft Iliopoulos Ivanenko Jackiw Jaffe Jona-Lasinio Jordan Jost Källén Kendall Kinoshita Klebanov Kontsevich Kuraev Landau Lee Lehmann Leutwyler Lipatov Łopuszański Low Lüders Maiani Majorana Maldacena Migdal Mills Møller Naimark Nambu Neveu Nishijima Oehme Oppenheimer Osterwalder Parisi Pauli Peskin Plefka Polyakov Pomeranchuk Popov Proca Rubakov Ruelle Salam Schrader Schwarz Schwinger Segal Seiberg Semenoff Shifman Shirkov Skyrme Sommerfield Stora Stueckelberg Sudarshan Symanzik Thirring Tomonaga Tyutin Vainshtein Veltman Virasoro Ward Weinberg Weisskopf Wentzel Wess Wetterich Weyl Wick Wightman Wigner Wilczek Wilson Witten Yang Yukawa Zamolodchikov Zamolodchikov Zee Zimmermann Zinn-Justin Zuber Zumino

În fizică, o teorie gauge este un tip de teorie a câmpurilor în care Lagrangianul, și implicit dinamica sistemului în sine, nu se modifică sub transformările locale conform anumitor familii netede de operații (grupuri Lie). Formal, Lagrangianul este invariant.

Termenul gauge se referă la orice formalism matematic specific pentru a regla gradele de libertate redundante în Lagrangianul unui sistem fizic. Transformările dintre gauge-urile posibilele, numite transformări gauge, formează un grup Lie - denumit grup de simetrie sau grup gauge al teoriei. Asociat cu orice grup Lie există algebra Lie a generatorilor de grup. Pentru fiecare generator de grup apare în mod necesar un câmp corespunzător (de obicei un câmp vectorial) numit câmp gauge. Câmpurile gauge sunt incluse în Lagrangian pentru a asigura invarianța sa sub transformările locale ale grupului (numite invarianță gauge). Când o astfel de teorie este cuantificată, cuantele câmpurilor gauge se numesc bosoni gauge. Dacă grupul de simetrie este necomutativ, atunci teoria gauge se numește teorie gauge non-abeliană, exemplul obișnuit fiind teoria Yang-Mills.

Multe teorii puternice în fizică sunt descrise de Lagrangienii care sunt invarianți sub anumite grupuri de transformare de simetrie. Când sunt invarianți sub o transformare identică efectuată în fiecare punct din spațiul-timpul în care au loc procesele fizice, se spune că au o simetrie globală. Simetria locală, piatra de temelie a teoriilor gauge, este o constrângere mai puternică. De fapt, o simetrie globală este doar o simetrie locală ai cărei parametri ai grupului sunt fixați în spațiu-timp (în același mod în care o valoare constantă poate fi înțeleasă ca o funcție a unui anumit parametru, al cărui rezultat este întotdeauna același).

Teoriile gauge sunt importante ca teorii de câmp de succes care explică dinamica particulelor elementare. Electrodinamica cuantică este o teorie gauge abeliană cu grupul de simetrie U(1) și are un câmp gauge, potențialul electromagnetic cu patru componente, fotonul fiind bosonul gauge. Modelul standard este o teorie gauge non-abeliană cu grupul de simetrie U(1) × SU(2) × SU(3) și are un total de doisprezece bosoni gauge: fotonul, trei bosoni slabi și opt gluoni.

Teoriile gauge sunt de asemenea importante în explicarea gravitației în teoria relativității generale. Cazul său este oarecum neobișnuit, deoarece câmpul gauge este un tensor, tensorul Lanczos. Teoriile gravitației cuantice, începând cu teoria gravitației gauge, postulează, de asemenea, existența unui boson gauge cunoscut sub numele de graviton. Simetriile gauge pot fi privite ca analogii ale principiului covarianței generale a relativității generale, în care sistemul de coordonate poate fi ales liber sub difeomorfisme arbitrare ale spațiu-timpului. Atât invarianța gauge, cât și invarianța de difeomorfism reflectă o redundanță în descrierea sistemului. O teorie alternativă a gravitației, teoria gravitațională gauge, înlocuiește principiul covarianței generale cu un adevărat principiu gauge cu noi câmpuri gauge.

Din punct de vedere istoric, aceste idei au fost enunțate pentru prima dată în contextul electromagnetismului clasic și mai târziu în relativitatea generală. Cu toate acestea, importanța modernă a simetriilor gauge a apărut pentru prima dată în mecanica cuantică relativistă a electronilor. – electrodinamica cuantică, elaborată mai jos. Astăzi, teoriile gauge sunt utile în fizica materiei condensate, nucleară și energiilor înalte, printre alte subdomenii.

Istoric

Conceptul și numele de teorie gauge derivă din lucrarea lui Hermann Weyl în 1918. Weyl, într-o încercare de a generaliza ideile geometrice ale relativității generale pentru a include electromagnetismul, a conjecturat că Eichinvarianz sau invarianța sub schimbarea de scară (sau „gauge”) ar putea fi, de asemenea, o simetrie locală a relativității generale. După dezvoltarea mecanicii cuantice, Weyl, Vladimir Fock și Fritz London au înlocuit factorul de scară simplu cu o cantitate complexă și au transformat transformarea de scară într-o schimbare de fază, care este o simetrie gauge U(1). Acest lucru a explicat efectul câmpului electromagnetic asupra funcției de undă a unei particule mecanice cuantice încărcate. Lucrarea lui Weyl din 1929 a introdus conceptul modern de invarianță gauge, ulterior popularizat de Pauli în recenzia sa din 1941. Retrospectiv, formularea lui Maxwell, în 1864–65, a electrodinamicii („O teorie dinamică a câmpului electromagnetic”) a sugerat posibilitatea invarianței, atunci când a afirmat că orice câmp vectorial a cărui buclă dispare — și poate fi, prin urmare, scris în mod normal ca un gradient al unei funcții — ar putea fi adăugat potențialului vectorial fără a afecta câmpul magnetic. În mod similar neobservat, Hilbert derivase ecuațiile lui Einstein prin postularea invarianței acțiunii sub o transformare generală de coordonate. Importanța acestor invarianțe de simetrie a rămas neobservată până la lucrarea lui Weyl.

Inspirat de descrierile lui Pauli despre conexiunea dintre conservarea sarcinii și teoria câmpurilor determinată de invarianță, Chen Ning Yang a căutat o teorie de câmp pentru legarea nucleelor atomice bazată pe conservarea izospinului nuclear. În 1954, Yang și Robert Mills au generalizat invarianța gauge a electromagnetismului, construind o teorie bazată pe acțiunea grupului de simetrie (non-abelian) SU(2) asupra dubletului izospin al protonilor și neutronilor. Aceasta este similară cu acțiunea grupului U(1) asupra câmpurilor spinoriale ale electrodinamicii cuantice.

Teoria Yang-Mills a devenit teoria prototip pentru rezolvarea unei părți din confuzia majoră din fizica particulelor elementare. Această idee a găsit ulterior aplicație în teoria cuantică a câmpurilor forței slabe și în unificarea sa cu electromagnetismul în teoria electroslabă. Teoriile gauge au devenit și mai atractive atunci când s-a realizat că teoriile gauge non-abeliene reproduceau o caracteristică numită libertate asimptotică. Libertatea asimptotică era considerată a fi o caracteristică importantă a interacțiunilor tari. Acest lucru a motivat căutarea unei teorii gauge a forței tari. Această teorie, cunoscută acum sub numele de cromodinamică cuantică, este o teorie gauge cu acțiunea grupului SU(3) asupra tripletului de culoare al quarcurilor. Modelul standard unifică descrierea electromagnetismului, interacțiunilor slabe și interacțiunilor tari în limbajul teoriei gauge.

În anii 1970, Michael Atiyah a început să studieze matematica soluțiilor ecuațiilor clasice Yang-Mills. În 1983, studentul lui Atiyah, Simon Donaldson, s-a bazat pe această lucrare pentru a arăta că clasificarea diferențiabilă a varietăților cvadruple netede este foarte diferită de clasificarea lor până la homeomorfism. Michael Freedman a folosit munca lui Donaldson pentru a prezenta R⁴ exotice, adică structuri diferențiabile exotice pe spațiul euclidian cvadridimensional. Acest lucru a condus la un interes crescând pentru teoria gauge de dragul ei, independent de succesele sale în fizica fundamentală. În 1994, Edward Witten și Nathan Seiberg au inventat tehnici de teorie gauge bazate pe supersimetrie care au permis calculul anumitor invarianți topologici (invarianții Seiberg–Witten). Aceste contribuții la matematică din teoria gauge au dus la un interes reînnoit în acest domeniu.

Importanța teoriilor gauge în fizică este exemplificată de succesul extraordinar al formalismului matematic în furnizarea unei cadru unificat pentru a descrie teoriile cuantice ale câmpurilor ale electromagnetismului, forța slabă și forța tare. Această teorie, cunoscută sub numele de modelul standard, descrie cu precizie predicțiile experimentale privind trei dintre cele patru forțe fundamentale ale naturii și este o teorie gauge cu grupul gauge SU(3) × SU(2) × U(1). Teoriile moderne precum teoria coardelor, precum și relativitatea generală, sunt, într-un fel sau altul, teorii gauge.

Vezi Jackson și Okun pentru istoria timpurie a gauge și Pickering pentru mai multe despre istoria gauge și a teoriilor cuantice ale câmpurilor.

Descriere

Simetrii globale și locale

Simetrie globală

În fizică, descrierea matematică a oricărei situații fizice conține de obicei grade de libertate în exces; aceeași situație fizică este descrisă în mod egal de multe configurații matematice echivalente. De exemplu, în dinamica newtoniană, dacă două configurații sunt legate printr-o transformare Galileană (o schimbare inerțială a cadrului de referință), ele reprezintă aceeași situație fizică. Aceste transformări formează un grup de „simetrii” ale teoriei, iar o situație fizică corespunde nu unei configurații matematice individuale, ci unei clase de configurații legate între ele prin acest grup de simetrie.

Această idee poate fi generalizată pentru a include simetrii locale, precum și globale, analog cu „schimbări de coordonate” mult mai abstracte într-o situație în care nu există un sistem de coordonate „inerțial” preferat care să acopere întregul sistem fizic. O teorie gauge este un model matematic care are simetrii de acest tip, împreună cu un set de tehnici pentru a face predicții fizice consistente cu simetriile modelului.

Exemplu de simetrie globală

Când o cantitate care apare în configurația matematică nu este doar un număr, ci are o semnificație geometrică, cum ar fi o viteză sau o axă de rotație, reprezentarea sa ca numere aranjate într-un vector sau matrice este, de asemenea, modificată de o transformare de coordonate. De exemplu, dacă o descriere a unui model de curgere a fluidului afirmă că viteza fluidului în vecinătatea lui (x =1, y =0) este de 1 m/s în direcția pozitivă x, atunci o descriere a aceleiași situații în care sistemul de coordonate a fost rotit în sensul acelor de ceasornic cu 90 de grade afirmă că viteza fluidului în vecinătatea lui (x = 0, y= −1) este de 1 m/s în direcția negativă y. Transformarea coordonatelor a afectat atât sistemul de coordonate folosit pentru identificarea locației măsurătorii, cât și baza în care este exprimată valoarea sa. Atâta timp cât această transformare este efectuată global (afectând baza de coordonate în același mod în fiecare punct), efectul asupra valorilor care reprezintă rata de schimbare a unei anumite cantități de-a lungul unei căi în spațiu și timp pe măsură ce trece prin punctul P este același cu efectul asupra valorilor care sunt într-adevăr locale pentru P.

Simetrie locală

Utilizarea fasciculelor de fibre pentru a descrie simetriile locale

Pentru a descrie în mod adecvat situațiile fizice în teorii mai complexe, este adesea necesar să se introducă o „bază de coordonate” pentru unele dintre obiectele teoriei care nu au această relație simplă cu coordonatele folosite pentru etichetarea punctelor din spațiu și timp. (În termeni matematici, teoria implică un fascicul de fibre în care fibra din fiecare punct al spațiului de bază constă din posibile baze de coordonate pentru utilizare atunci când se descriu valorile obiectelor din acel punct.) Pentru a scrie o configurație matematică, trebuie să alegeți o bază de coordonate particulară în fiecare punct (o secțiune locală a fasciculului de fibre) și să exprimați valorile obiectelor teoriei (de obicei „câmpuri” în sensul fizicianului) folosind această bază. Două astfel de configurații matematice sunt echivalente (descriu aceeași situație fizică) dacă sunt legate printr-o transformare a acestei baze de coordonate abstracte (o schimbare a secțiunii locale sau o transformare gauge).

În majoritatea teoriilor gauge, setul de posibile transformări ale bazei gauge abstracte într-un punct individual din spațiu și timp este un grup Lie cu dimensiune finită. Cel mai simplu astfel de grup este U(1), care apare în formularea modernă a electrodinamicii cuantice (QED) prin utilizarea sa de numere complexe. QED este considerat în general ca fiind prima și cea mai simplă teorie fizică gauge. Setul de posibile transformări gauge ale întregii configurații a unei anumite teorii gauge formează, de asemenea, un grup, grupul gauge al teoriei. Un element al grupului gauge poate fi parametrizat printr-o funcție care variază neted de la punctele spațiului-timp la grupul Lie (cu dimensiune finită), astfel încât valoarea funcției și derivatele sale în fiecare punct reprezintă acțiunea transformării gauge asupra fibrei deasupra acelui punct.

O transformare gauge cu parametru constant în fiecare punct din spațiu și timp este analogă cu o rotație rigidă a sistemului de coordonate geometric; aceasta reprezintă o simetrie globală a reprezentării gauge. Ca în cazul unei rotații rigide, această transformare gauge afectează expresiile care reprezintă rata de schimbare de-a lungul unei căi a unei anumite cantități dependente gauge în același mod ca și cele care reprezintă o cantitate cu adevărat locală. O transformare gauge al cărui parametru nu este o funcție constantă se numește simetrie locală; efectul său asupra expresiilor care implică o derivată este calitativ diferit de cel asupra expresiilor care nu implică o derivată. (Acest lucru este analog cu o schimbare de cadru de referință neinerțială, care poate produce un efect Coriolis.)

Câmpuri gauge

Versiunea „covariantă gauge” a unei teorii gauge ține cont de acest efect prin introducerea unui câmp gauge (în limbaj matematic, o conexiune Ehresmann) și formularea tuturor ratelor de schimbare în termeni de derivată covariantă în raport cu această conexiune. Câmpul gauge devine o parte esențială a descrierii unei configurații matematice. O configurație în care câmpul gauge poate fi eliminat printr-o transformare gauge are proprietatea că intensitatea câmpului său (în limbaj matematic, curbura sa) este zero peste tot; o teorie gauge nu se limitează la aceste configurații. Cu alte cuvinte, caracteristica distinctivă a unei teorii gauge este că câmpul gauge nu compensează doar o alegere proastă a sistemului de coordonate; în general, nu există nicio transformare gauge care să anuleze câmpul gauge.

Atunci când analizăm dinamica unei teorii gauge, câmpul gauge trebuie tratat ca o variabilă dinamică, similară altor obiecte din descrierea unei situații fizice. Pe lângă interacțiunea sa cu alte obiecte prin derivata covariantă, câmpul gauge contribuie de obicei la energie sub forma unui termen de „energie proprie”. Se pot obține ecuațiile pentru teoria gauge prin:

• începerea dintr-un ansatz naiv fără câmpul gauge (în care derivatele apar într-o formă „goală”);
• listarea acelor simetrii globale ale teoriei care pot fi caracterizate printr-un parametru continuu (în general un echivalent abstract al unui unghi de rotație);
• calcularea termenilor de corecție care rezultă din permiterea variației parametrului de simetrie de la un loc la altul; și
• reinterpretarea acestor termeni de corecție ca cuplaje la unul sau mai multe câmpuri gauge și oferirea acestor câmpuri a unor termeni adecvați de energie proprie și comportament dinamic.

Acesta este sensul în care o teorie gauge „extinde” o simetrie globală la o simetrie locală și seamănă îndeaproape cu dezvoltarea istorică a teoriei gauge a gravitației cunoscută sub numele de relativitate generală.

Experimente fizice

Teoriile gauge utilizate pentru a modela rezultatele experimentelor fizice se angajează în:

• limitarea universului de configurații posibile la cele consistente cu informațiile utilizate pentru a configura experimentul și apoi
• calcularea distribuției probabilității rezultatelor posibile pe care experimentul este conceput să le măsoare.

Nu putem exprima descrierile matematice ale „informațiilor de configurare” și „rezultatelor posibile de măsurare” sau „condițiilor limită” ale experimentului fără a face referire la un anumit sistem de coordonate, inclusiv la alegerea unui gauge. Se presupune un experiment adecvat izolat de influența „externă” care este în sine o afirmație dependentă gauge. Manipularea greșită a calculelor de dependență gauge în condițiile limită este o sursă frecventă de anomalii, iar abordările pentru evitarea anomaliilor clasifică teoriile gauge.

Teoriile continue

Cele două teorii gauge menționate mai sus, electrodinamica continuă și relativitatea generală, sunt teorii a câmpurilor continue. Tehnicile de calcul într-o teorie continuă presupun implicit că:

• dată fiind o alegere complet fixă gauge, condițiile limită ale unei configurații individuale sunt complet descrise
• dat fiind un gauge complet fixat și un set complet de condiții limită, cea mai mică acțiune determină o configurație matematică unică și, prin urmare, o situație fizică unică consistentă cu aceste limite
• fixarea gauge nu introduce anomalii în calcul, datorită fie dependenței gauge în descrierea informațiilor parțiale despre condițiile limită, fie incompletitudinii teoriei.

Determinarea probabilității rezultatelor posibile de măsurare se realizează prin:

• stabilirea unei distribuții de probabilitate pentru toate situațiile fizice determinate de condițiile limită consistente cu informațiile de configurare
• stabilirea unei distribuții de probabilitate a rezultatelor măsurătorii pentru fiecare situație fizică posibilă
• convoluția acestor două distribuții de probabilitate pentru a obține o distribuție a rezultatelor posibile de măsurare consistente cu informațiile de configurare

Aceste ipoteze au suficientă valabilitate pe o gamă largă de scări energetice și condiții experimentale pentru a permite acestor teorii să facă predicții precise despre aproape toate fenomenele întâlnite în viața de zi cu zi: lumină, căldură și electricitate, eclipse, zboruri spațiale etc. Ele eșuează doar la cele mai mici și cele mai mari scări datorită omisiunilor din teoriile însele și atunci când tehnicile matematice însele se descompun, în special în cazul turbulenței și al altor fenomene haotice.

Teorii cuantice ale câmpurilor

Articol principal: Teoria cuantică a câmpurilor.

În afară de aceste teorii clasice a câmpurilor continue, cele mai cunoscute teorii gauge sunt teoriile cuantice ale câmpurilor, inclusiv electrodinamica cuantică și modelul standard al fizicii particulelor elementare. Punctul de plecare al unei teorii cuantice a câmpurilor este foarte asemănător cu cel al analogului său continuu: o integrală de acțiune covariantă gauge care caracterizează situațiile fizice „permise” conform principiului acțiunii minime. Cu toate acestea, teoriile continue și cele cuantice diferă semnificativ în modul în care gestionează gradele de libertate în exces reprezentate de transformările gauge. Teoriile continue și majoritatea tratamentelor pedagogice ale celor mai simple teorii cuantice ale câmpurilor folosesc o prescripție de fixare gauge pentru a reduce orbita configurațiilor matematice care reprezintă o anumită situație fizică la o orbită mai mică legată de un grup gauge mai mic (grupul de simetrie globală sau poate chiar grupul trivial).

Teoriile cuantice ale câmpurilor mai sofisticate, în special cele care implică un grup gauge non-abelian, încalcă simetria gauge în cadrul tehnicilor teoriei perturbațiilor prin introducerea de câmpuri suplimentare (fantomele Faddeev-Popov) și contra-termeni motivați de anularea anomaliilor, într-o abordare cunoscută sub numele de cuantificare BRST. Deși aceste preocupări sunt într-un anumit sens foarte tehnice, ele sunt, de asemenea, strâns legate de natura măsurării, limitele cunoașterii unei situații fizice și interacțiunile dintre condițiile experimentale specificate incomplet și teoria fizică înțeleasă incomplet. Tehnicile matematice care au fost dezvoltate pentru a face teoriile gauge tratabile au găsit multe alte aplicații, de la fizica stării solide și cristalografie la topologia pentru dimensiuni reduse.

Teoria clasică gauge

Electromagnetismul clasic

În electrostatică, se poate discuta fie despre câmpul electric, E, fie despre potențialul electric corespunzător, V. Cunoașterea unuia face posibilă găsirea celuilalt, cu excepția faptului că potențialele care diferă printr-o constantă, $V\mapsto V+C$, corespund aceluiași câmp electric. Acest lucru se datorează faptului că câmpul electric se referă la modificările potențialului de la un punct în spațiu la altul, iar constanta C s-ar anula la scădere pentru a găsi schimbarea potențialului. În termeni de calcul vectorial, câmpul electric este gradientul potențialului, $\mathbf {E} =-\nabla V$. Generalizând de la electrostatică la electromagnetism, avem un al doilea potențial, potențialul vectorial A, cu

${\begin{aligned}\mathbf {E} &=-\nabla V-{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\\\mathbf {B} &=\nabla \times \mathbf {A} \end{aligned}}$

Transformările generale gauge devin acum nu doar $V\mapsto V+C$, ci

${\begin{aligned}\mathbf {A} &\mapsto \mathbf {A} +\nabla f\\V&\mapsto V-{\frac {\partial f}{\partial t}}\end{aligned}}$

unde f este orice funcție de două ori continuu diferențiabilă care depinde de poziție și timp. Câmpurile electromagnetice rămân aceleași sub transformarea gauge.

Un exemplu: Teoria gauge scalară O(n).

Restul acestei secțiuni necesită o anumită familiaritate cu teoria clasică sau cuantică a câmpurilor și utilizarea Lagrangienilor.

Definiții în această secțiune: grup gauge, câmp gauge, Lagrangian de interacțiune, boson gauge.

Următorul ilustrează modul în care invarianța gauge locală poate fi „motivată” euristic începând de la proprietățile de simetrie globală și modul în care conduce la o interacțiune între câmpurile inițial neinteracționante.

Luați în considerare un set de $n$ câmpuri scalare reale neinteracționante, cu mase egale m. Acest sistem este descris de o acțiune care este suma acțiunii (obișnuite) pentru fiecare câmp scalar $\varphi _{i}$

${\mathcal {S}}=\int \,\mathrm {d} ^{4}x\sum _{i=1}^{n}\left[{\frac {1}{2}}\partial _{\mu }\varphi _{i}\partial ^{\mu }\varphi _{i}-{\frac {1}{2}}m^{2}\varphi _{i}^{2}\right]$

Lagrangianul (densitatea) poate fi scris compact ca

$\ {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }\Phi )^{\mathsf {T}}\partial ^{\mu }\Phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\Phi ^{\mathsf {T}}\Phi$

prin introducerea unui vector de câmpuri

$\ \Phi ^{\mathsf {T}}=(\varphi _{1},\varphi _{2},\ldots ,\varphi _{n})$

Termenul $\partial _{\mu }\Phi$ este derivata parțială a $\Phi$ de-a lungul dimensiunii $\mu$.

Este acum transparent că Lagrangianul este invariant sub transformarea

$\ \Phi \mapsto \Phi '=G\Phi$

oricând G este o matrice constantă aparținând grupului ortogonal n-pe-n O(n). Se vede că aceasta păstrează Lagrangianul, deoarece derivata lui $\Phi '$ se transformă identic cu $\Phi$ și ambele cantități apar în interiorul produselor scalare în Lagrangian (transformările ortogonale păstrează produsul scalar).

$\ (\partial _{\mu }\Phi )\mapsto (\partial _{\mu }\Phi )'=G\partial _{\mu }\Phi$

Aceasta caracterizează simetria globală a acestui Lagrangian particular, iar grupul de simetrie este adesea numit grup gauge; termenul matematic este grup de structură, în special în teoria structurilor G. În mod incidental, teorema lui Noether implică faptul că invarianța sub acest grup de transformări duce la conservarea curenților

$\ J_{\mu }^{a}=i\partial _{\mu }\Phi ^{\mathsf {T}}T^{a}\Phi$

unde matricile T^a sunt generatori ai grupului SO(n). Există un curent conservat pentru fiecare generator.

Acum, cerând ca acest Lagrangian să aibă invarianță O(n) locală necesită ca matricile G (care erau mai devreme constante) să fie permise să devină funcții ale coordonatelor spațiu-timp x.

În acest caz, matricele G nu „trec” prin derivate, atunci când G = G (x),

$\ \partial _{\mu }(G\Phi )\neq G(\partial _{\mu }\Phi )$

Eșecul derivatei de a comuta cu „G” introduce un termen suplimentar (în conformitate cu regula produsului), care strică invarianța Lagrangianului. Pentru a rectifica acest lucru, definim un nou operator derivat astfel încât derivata lui $\Phi '$ să se transforme din nou identic cu $\Phi$

$\ (D_{\mu }\Phi )'=GD_{\mu }\Phi$

Această nouă „derivată” se numește derivată (gauge) covariantă și ia forma

$\ D_{\mu }=\partial _{\mu }-igA_{\mu }$

unde g este numită constanta de cuplaj; o cantitate care definește puterea unei interacțiuni. După un calcul simplu putem vedea că câmpul gauge A (x) trebuie să se transforme după cum urmează

$\ A'_{\mu }=GA_{\mu }G^{-1}-{\frac {i}{g}}(\partial _{\mu }G)G^{-1}$

Câmpul gauge este un element al algebrei Lie și poate fi astfel extins ca

$\ A_{\mu }=\sum _{a}A_{\mu }^{a}T^{a}$

Prin urmare, există la fel de multe câmpuri gauge pe cât sunt generatori ai algebrei Lie.

În cele din urmă, avem acum un Lagrangian invariant local gauge

$\ {\mathcal {L}}_{\mathrm {loc} }={\frac {1}{2}}(D_{\mu }\Phi )^{\mathsf {T}}D^{\mu }\Phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\Phi ^{\mathsf {T}}\Phi$

Pauli folosește termenul de transformare gauge de primul tip pentru a însemna transformarea lui $\Phi$, în timp ce transformarea compensatorie în $A$ este numită transformare gauge de al doilea tip.

Diagrama Feynman a bosonilor scalari care interacționează printr-un boson gauge

Diferența dintre acest Lagrangian și Lagrangianul inițial invariant gauge global se vede a fi Lagrangianul de interacțiune

$\ {\mathcal {L}}_{\mathrm {int} }=i{\frac {g}{2}}\Phi ^{\mathsf {T}}A_{\mu }^{\mathsf {T}}\partial ^{\mu }\Phi +i{\frac {g}{2}}(\partial _{\mu }\Phi )^{\mathsf {T}}A^{\mu }\Phi -{\frac {g^{2}}{2}}(A_{\mu }\Phi )^{\mathsf {T}}A^{\mu }\Phi$

Acest termen introduce interacțiuni între cele n câmpuri scalare doar ca o consecință a cererii de invarianță locală gauge. Cu toate acestea, pentru a face această interacțiune fizică și nu complet arbitrară, mediatorul A(x) trebuie să se propage în spațiu. Aceasta se ocupă în secțiunea următoare prin adăugarea încă unui termen, ${\mathcal {L}}_{\mathrm {gf} }$, la Lagrangian. În versiunea cuantificată a teoriei clasice a câmpurilor obținută, cuantele câmpului gauge A(x) se numesc bosoni gauge. Interpretarea Lagrangianului de interacțiune în teoria cuantică a câmpurilor este a bosonilor scalari care interacționează prin schimbul acestor bosoni gauge.

Lagrangianul Yang–Mills pentru câmpul gauge

  Imaginea unei teorii clasice gauge dezvoltată în secțiunea anterioară este aproape completă, cu excepția faptului că pentru a defini derivatele covariante D, este necesar să se cunoască valoarea câmpului gauge $A(x)$ în toate punctele spațiului-timp. În loc să specificați manual valorile acestui câmp, acesta poate fi dat ca soluție la o ecuație de câmp. Cerând în continuare ca Lagrangianul care generează această ecuație de câmp să fie de asemenea invariant local gauge, o posibilă formă pentru Lagrangianul câmpului gauge este

${\mathcal {L}}_{\text{gf}}=-{\frac {1}{2}}\operatorname {tr} \left(F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }\right)=-{\frac {1}{4}}F^{a\mu \nu }F_{\mu \nu }^{a}$

unde $F_{\mu \nu }^{a}$ sunt obținute din potențialele $A_{\mu }^{a}$, fiind componentele lui $A(x)$, prin

$F_{\mu \nu }^{a}=\partial _{\mu }A_{\nu }^{a}-\partial _{\nu }A_{\mu }^{a}+g\sum _{b,c}f^{abc}A_{\mu }^{b}A_{\nu }^{c}$

iar $f^{abc}$ sunt constantele de structură ale algebrei Lie a generatorilor grupului gauge. Această formulare a Lagrangianului se numește acțiune Yang-Mills. Există și alte acțiuni invariante gauge (de exemplu, electrodinamica neliniară, acțiunea Born–Infeld, modelul Chern–Simons, termenul theta etc.).

În acest termen Lagrangian nu există niciun câmp a cărui transformare să contrabalanseze pe cea a $A$. Invariantul acestui termen sub transformările gauge este un caz particular al unei simetrii clasice (geometrice) a priori. Această simetrie trebuie restricționată pentru a efectua cuantificarea, procedura fiind denumită fixare gauge, dar chiar și după restricție, pot fi posibile transformări gauge.

Lagrangianul complet pentru teoria gauge este acum

${\mathcal {L}}={\mathcal {L}}_{\text{loc}}+{\mathcal {L}}_{\text{gf}}={\mathcal {L}}_{\text{global}}+{\mathcal {L}}_{\text{int}}+{\mathcal {L}}_{\text{gf}}$

Un exemplu: electrodinamica

Ca o aplicație simplă a formalismului dezvoltat în secțiunile anterioare, considerați cazul electrodinamicii, cu doar câmpul electronic. Acțiunea de bază care generează ecuația Dirac a câmpului electronic este

${\mathcal {S}}=\int {\bar {\psi }}\left(i\hbar c\,\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-mc^{2}\right)\psi \,\mathrm {d} ^{4}x$

Simetria globală pentru acest sistem este

$\psi \mapsto e^{i\theta }\psi$

Grupul gauge aici este U(1), doar rotații ale unghiului de fază al câmpului, cu rotația particulară determinată de constanta θ.

„Localizarea” acestei simetrii implică înlocuirea lui θ cu θ(x). O derivată covariantă adecvată este atunci

$D_{\mu }=\partial _{\mu }-i{\frac {e}{\hbar }}A_{\mu }$

Identificând „sarcina” e (să nu fie confundată cu constanta matematică e în descrierea simetriei) cu sarcina electrică obișnuită (aceasta este originea utilizării termenului în teoriile gauge) și câmpul gauge A(x) cu potențialul cvadrivectorial al câmpului electromagnetic rezultă într-un Lagrangian de interacțiune

${\mathcal {L}}_{\text{int}}={\frac {e}{\hbar }}{\bar {\psi }}(x)\gamma ^{\mu }\psi (x)A_{\mu }(x)=J^{\mu }(x)A_{\mu }(x)$

unde $J^{\mu }(x)={\frac {e}{\hbar }}{\bar {\psi }}(x)\gamma ^{\mu }\psi (x)$ este cvadrivectorul de curent în câmpul Dirac. Prin urmare, se vede că principiul gauge introduce în mod natural așa-numitul cuplaj minim a câmpului electromagnetic la câmpul electronic.

Adăugarea unui Lagrangian pentru câmpul gauge $A_{\mu }(x)$ în termeni de tensorul de intensitate a câmpurilor exact ca în electrodinamică, se obține Lagrangianul folosit ca punct de plecare în electrodinamica cuantică.

${\mathcal {L}}_{\text{QED}}={\bar {\psi }}\left(i\hbar c\,\gamma ^{\mu }D_{\mu }-mc^{2}\right)\psi -{\frac {1}{4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }$

Formalismul matematic

Teoriile gauge sunt de obicei discutate în limbajul geometriei diferențiale. Matematic, un gauge este doar o alegere a unei secțiuni (locale) a unui anumit fascicul principal. O transformare gauge este doar o transformare între două astfel de secțiuni.

Deși teoria gauge este dominată de studiul conexiunilor (în primul rând pentru că este studiată în principal de fizicienii energiilor înalte), ideea unei conexiuni nu este centrală în teoria gauge în general. De fapt, un rezultat în teoria generală gauge arată că reprezentările afine (adică modulele afine) ale transformărilor gauge pot fi clasificate ca secțiuni ale unui fascicul jet satisfăcând anumite proprietăți. Există reprezentări care se transformă covariant punct cu punct (numite de fizicieni transformări gauge de primul fel), reprezentări care se transformă ca o formă de conexiune (numite de fizicieni transformări gauge de al doilea fel, o reprezentare afină) — și alte reprezentări mai generale, cum ar fi câmpul B în teoria BF. Există reprezentări neliniare mai generale (realizări), dar acestea sunt extrem de complicate. Cu toate acestea, modelele sigma neliniare se transformă neliniar, astfel încât există aplicații.

Dacă există un fascicul principal P al cărui spațiu de bază este spațiul sau spațiul-timp și grupul de structură este un grup Lie, atunci secțiunile lui P formează un spațiu omogen principal al grupului de transformări gauge.

Conexiunile (conexiunea gauge) definesc acest pachet principal, producând o derivată covariantă ∇ în fiecare fascicul vectorial asociat. Dacă se alege un cadru local (o bază locală de secțiuni), atunci această derivată covariantă este reprezentată de forma de conexiune A, o formă 1 algebrică Lie, care se numește potențial gauge în fizică. Aceasta este evident o cantitate neintrinsecă, ci dependentă de cadru. Forma de curbură F, o formă 2 cu valoare în algebra Lie care este o cantitate intrinsecă, este construită dintr-o formă de conexiune prin

$\mathbf {F} =\mathrm {d} \mathbf {A} +\mathbf {A} \wedge \mathbf {A}$

unde d reprezintă derivata exterioară și $\wedge$ reprezintă produsul exterior. ($\mathbf {A}$ este un element al spațiului vectorial generat de $T^{a}$, astfel încât componentele lui $\mathbf {A}$ nu comută între ele. Prin urmare, produsul exterior $\mathbf {A} \wedge \mathbf {A}$ nu dispare.)

Transformările infinitezimale gauge formează o algebră Lie, care este caracterizată de un scalar cu valoare în algebra Lie netedă, ε. Sub o astfel de transformare infinitezimală,

$\delta _{\varepsilon }\mathbf {A} =[\varepsilon ,\mathbf {A} ]-\mathrm {d} \varepsilon$

unde $[\cdot ,\cdot ]$ este paranteza Lie.

Un lucru frumos este că dacă $\delta _{\varepsilon }X=\varepsilon X$, atunci $\delta _{\varepsilon }DX=\varepsilon DX$ unde D este derivata covariantă

$DX\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathrm {d} X+\mathbf {A} X$

De asemenea, $\delta _{\varepsilon }\mathbf {F} =[\varepsilon ,\mathbf {F} ]$, ceea ce înseamnă că $\mathbf {F}$ se transformă covariant.

Nu toate transformările gauge pot fi generate de transformări infinitezimale gauge în general. Un exemplu este atunci când varietatea de bază este o varietate compactă fără frontieră astfel încât clasa de omotopie a aplicației de la acea varietate la grupul Lie este netrivială. Vezi instanton pentru un exemplu.

Acțiunea Yang–Mills este acum dată de

${\frac {1}{4g^{2}}}\int \operatorname {Tr} [*F\wedge F]$

unde * reprezintă dualul Hodge și integrala este definită ca în geometria diferențială.

O cantitate care este invariantă gauge (adică invariantă sub transformări gauge) este bucla Wilson, care este definită pe orice cale închisă, γ, după cum urmează:

$\chi ^{(\rho )}\left({\mathcal {P}}\left\{e^{\int _{\gamma }A}\right\}\right)$

unde χ este caracterul unei reprezentări complexe ρ și ${\mathcal {P}}$ reprezintă operatorul ordonat pe cale.

Formalismul teoriei gauge se extinde la un cadru general. De exemplu, este suficient să cerem ca un fascicul vectorial să aibă o conexiune metrică; când se face acest lucru, se constată că conexiunea metrică satisface ecuațiile de mișcare Yang-Mills.

Cuantificarea teoriilor gauge

Teoriile gauge pot fi cuantificate prin specializarea metodelor aplicabile oricărei teorii cuantice a câmpurilor. Cu toate acestea, din cauza subtilităților impuse de constrângerile gauge (vezi secțiunea despre formalismul matematic, mai sus), există multe probleme tehnice de rezolvat care nu apar în alte teorii ale câmpurilor. În același timp, structura mai bogată a teoriilor gauge permite simplificarea unor calcule: de exemplu, identitățile Ward conectează diferite constante de renormalizare.

Metode și scopuri

Prima teorie gauge cuantificată a fost electrodinamica cuantică (QED). Primele metode dezvoltate pentru aceasta au implicat fixarea gauge și apoi aplicarea cuantificării canonice. Metoda Gupta–Bleuler a fost dezvoltată, de asemenea, pentru a rezolva această problemă. Teoriile gauge non-abeliene sunt acum tratate printr-o varietate de mijloace. Metodele de cuantificare sunt acoperite în articolul despre cuantificare.

Punctul principal al cuantificării este de a putea calcula amplitudinile cuantice pentru diferite procese permise de teorie. Tehnic, acestea se reduc la calculele anumitor funcții de corelație în starea de vid. Aceasta implică o renormalizare a teoriei.

Când constanta de cuplaj efectivă dependentă de energie este suficient de mică, atunci toate cantitățile necesare pot fi calculate în teoria perturbațiilor. Schemele de cuantificare destinate să simplifice astfel de calcule (cum ar fi cuantificarea canonică) pot fi numite scheme de cuantificare perturbative. În prezent, unele dintre aceste metode conduc la cele mai precise teste experimentale ale teoriilor gauge.

Cu toate acestea, în majoritatea teoriilor gauge, există multe întrebări interesante care sunt neperturbative. Schemele de cuantificare potrivite pentru aceste probleme (cum ar fi teoria gauge pe rețea) pot fi numite scheme de cuantificare neperturbative. Calculele precise în astfel de scheme necesită adesea supercalculatoare și, prin urmare, sunt mai puțin bine dezvoltate în prezent decât alte scheme.

Anomalii

Unele dintre simetriile teoriei clasice se văd apoi că nu se mențin în teoria cuantică; un fenomen numit anomalie. Printre cele mai cunoscute se numără:

• Anomalia de scară, care dă naștere unei constante de cuplaj efectivă dependentă de energie. În QED aceasta dă naștere fenomenului polului Landau. În cromodinamica cuantică (QCD) aceasta duce la libertatea asimptotică.
• Anomalia chirală în teoriile câmpurilor chirale sau vectoriale cu fermioni. Aceasta are o legătură strânsă cu topologia prin noțiunea de instantoni. În QCD această anomalie provoacă dezintegrarea unui pion în fotoni.
• Anomalia gauge, care trebuie să se anuleze în orice teorie fizică consistentă. În teoria electroslabă, această anulare necesită un număr egal de quarcuri și leptoni.

Gauge pur

Un gauge pur este setul de configurații ale câmpurilor obținute printr-o transformare gauge pe configurația nulă a câmpurilor, adică o transformare gauge de zero. Deci este o anumită „orbită gauge” în spațiul configurației câmpurilor.

Astfel, în cazul abelian, unde $A_{\mu }(x)\rightarrow A'_{\mu }(x)=A_{\mu }(x)+\partial _{\mu }f(x)$, gauge pur este doar setul de configurații ale câmpurilor $A'_{\mu }(x)=\partial _{\mu }f(x)$ pentru toți f(x).

Bibliografie

Cititori generali

• Schumm, Bruce (2004) Deep Down Things . Presa Universității Johns Hopkins. Esp. cap. 8. O încercare serioasă a unui fizician de a explica teoria gauge și modelul standard cu puțină matematică formală.

Texte

• Greiner, Walter; Müller, Berndt (2000). Gauge Theory of Weak Interactions. Springer. ISBN 3-540-67672-4. 
• Cheng, T.-P.; Li, L.-F. (1983). Gauge Theory of Elementary Particle Physics. Oxford University Press. ISBN 0-19-851961-3. 
• Frampton, P. (2008). Gauge Field Theories (ed. 3rd). Wiley-VCH. 
• Kane, G.L. (1987). Modern Elementary Particle Physics. Perseus Books. ISBN 0-201-11749-5. 

Articole

• Becchi. „Introduction to Gauge Theories”. arXiv:hep-ph/9705211 . 
• Gross, D. (1992). „Gauge theory – Past, Present and Future”. Accesat în 23 aprilie 2009. 
• Jackson, J.D. (2002). „From Lorenz to Coulomb and other explicit gauge transformations”. Am. J. Phys. 70 (9): 917–928. Bibcode:2002AmJPh..70..917J. doi:10.1119/1.1491265. 
• Svetlichny. „Preparation for Gauge Theory”. arXiv:math-ph/9902027 . 

== Vezi și == 

• Principiul gauge
• Efectul Aharonov–Bohm
• Gauge Coulomb
• Teoria electroslabă
• Derivată covariantăgauge
• Fixarea gauge
• Teoria gravitației gauge
• Grup gauge (matematică)
• Teoria Kaluza–Klein
• Gauge Lorenz
• Cromodinamică cuantică
• Câmp gluonic
• Tensorul intensității câmpului gluonic
• Electrodinamică cuantică
• Potențial electromagnetic cu patru componente
• Tensor electromagnetic
• Teoria cuantică a câmpurilor
• Modelul standard
• Formularea matematică a modelului standard
• Ruperea simetriei
• Simetrie în fizică
• Sarcină (fizică)
• Simetrie în mecanica cuantică
• Simetria Fock în teoria hidrogenului
• Identitățile Ward
• Teoria Yang–Mills
• Existența și golul de masă Yang–Mills
• Lucrările de rupere a simetriei PRL din 1964
• Teoria gauge (matematică)

Legături externe

•  Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), „Gauge transformation”, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104 
• Ecuațiile Yang–Mills pe DispersiveWiki
• Teoriile gauge pe Scholarpedia