Teoria gauge

Teoria gauge este un tip de teorie a câmpului în care Lagrangianul^⁠(d) — și, implicit, dinamica sistemului — rămâne neschimbat la transformări locale asociate unor familii netede de operații descrise de grupuri Lie. În limbaj formal, Lagrangianul este invariant la aceste transformări locale.

Termenul gauge desemnează un formalism matematic utilizat pentru a elimina sau controla gradele de libertate redundante din descrierea Lagrangiană a unui sistem fizic. Transformările dintre diferite descrieri gauge se numesc transformări gauge și formează un grup Lie, numit grup de simetrie sau grup gauge al teoriei. Oricărui grup Lie îi este asociată algebra Lie^⁠(d) a generatorilor^⁠(d) săi. Fiecărui generator îi corespunde un câmp gauge (de regulă un câmp vectorial), introdus în Lagrangian pentru a asigura invarianța gauge, adică proprietatea conform căreia teoria rămâne invariantă la transformări locale ale grupului gauge. La cuantificare^⁠(d), cuantele câmpurilor gauge sunt interpretate ca bosoni gauge. Dacă grupul de simetrie este necomutativ, teoria se numește teorie gauge non-abeliană^⁠(d), un exemplu clasic fiind teoria Yang–Mills^⁠(d).

Multe teorii fizice sunt formulate prin Lagrangieni invarianți la anumite grupuri de transformări de simetrie. Dacă invarianța corespunde unei transformări aplicate identic în fiecare punct din spațiu-timp, se spune că teoria posedă o simetrie globală. În schimb, simetria locală — piatra de temelie a teoriilor gauge — impune o constrângere mai puternică, întrucât parametrii transformării pot varia de la un punct la altul. O simetrie globală poate fi privită ca un caz particular al unei simetrii locale, în care parametrii grupului sunt constanți în spațiu-timp.

Teoriile gauge sunt esențiale pentru descrierea interacțiunilor fundamentale din fizica particulelor. De exemplu:

• Electrodinamica cuantică (QED) este o teorie gauge abeliană cu grupul de simetrie U(1)^⁠(d) și un singur câmp gauge, cvadripotențialul electromagnetic^⁠(d). Bosonul gauge asociat este fotonul.

• Modelul standard al particulelor elementare este o teorie gauge non-abeliană cu grupul de simetrie U(1)^⁠(d)_Y × SU(2)^⁠(d)_L × SU(3)^⁠(d)_c, având în total 12 bosoni gauge: fotonul, trei bosoni W și Z^⁠(d) slabi (după ruperea simetriei) și opt gluoni.

Teoriile gauge joacă, de asemenea, un rol important în descrierea gravitației. Deși relativitatea generală nu este formulată în mod tradițional ca o teorie gauge, ea poate fi exprimată într-un limbaj apropiat teoriilor gauge, iar simetriile sale pot fi interpretate în termenii covarianței generale^⁠(d) la difeomorfisme ale spațiu-timpului, un grup infinit dimensional. În unele abordări ale gravitației cuantice se postulează existența unui boson gauge ipotetic, gravitonul.

O abordare alternativă este teoria gravitației în formulare gauge, care încearcă să reformuleze gravitația ca o teorie gauge propriu-zisă, introducând câmpuri gauge asociate unor grupuri de simetrie locale ale spațiu-timpului, precum Spin(3,1) sau grupul Poincaré.

Aceste concepte au fost formulate inițial în contextul electromagnetismului clasic și ulterior dezvoltate în relativitatea generală. Semnificația modernă a simetriilor gauge a devenit însă clară odată cu dezvoltarea mecanicii cuantice relativiste^⁠(d) a electronului, în special prin formularea electrodinamicii cuantice (QED).

În prezent, teoriile gauge sunt utilizate nu doar în fizica energiilor înalte, ci și în alte domenii ale fizicii moderne. În fizica materiei condensate, ele descriu fenomene precum efectul Hall cuantic și ordinea topologică, unde anionii și defectele topologice apar ca excitații caracteristice, descrise prin teorii gauge locale cu U(1)^⁠(d) sau grupuri non-abeliene. În fizica nucleară, teoriile gauge și mecanismele de rupere a simetriei sunt utilizate pentru a descrie structura barionilor, mezonilor și interacțiunile nucleon–nucleon, prin modele bazate pe izospin și alte simetrii gauge locale. Teoriile gauge continuă să joace un rol central și în cercetările contemporane privind materia întunecată, energia întunecată și posibila unificare a interacțiunilor fundamentale.

Istorie

Conceptul și denumirea de teorie gauge își au originea în lucrările lui Hermann Weyl^⁠(d) din 1918. Weyl, într-o încercare de a generaliza ideile geometrice ale relativității generale pentru a include electromagnetismul, a presupus că Eichinvarianz, adică invarianța la schimbări de scară, ar putea constitui o simetrie locală fundamentală. Teoria sa inițială a fost respinsă, deoarece implica variații observabile ale lungimilor (de exemplu în spectrele atomice), însă a pus bazele conceptuale ale formalismului gauge modern.

După dezvoltarea mecanicii cuantice, Weyl, Vladimir Fock și Fritz London^⁠(d) au înlocuit factorul de scară cu o fază complexă, reinterpretând simetria de scară ca o simetrie gauge U(1). Această reformulare a explicat modul în care câmpul electromagnetic acționează asupra funcției de undă a unei particule cuantice încărcate. Lucrarea lui Weyl din 1929 a introdus conceptul modern de invarianță gauge, ulterior popularizat de Pauli în recenzia sa din 1941.

Retrospectiv, formularea lui Maxwell din 1864–1865 a electrodinamicii („A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field^⁠(d)”) sugera deja existența unei redundanțe gauge, întrucât orice câmp vectorial cu rotor nul — care poate fi exprimat ca gradient al unei funcții scalare — poate fi adăugat potențialului vectorial fără a modifica câmpul magnetic. În mod similar, Hilbert a derivat ecuațiile lui Einstein presupunând invarianța acțiunii la transformări generale ale coordonatelor. Importanța fundamentală a acestor simetrii a devenit clară abia odată cu lucrările lui Weyl.

Inspirat de expunerile lui Pauli privind legătura dintre conservarea sarcinii și invarianța gauge, Chen Ning Yang a căutat o teorie a câmpului pentru descrierea interacțiunilor nucleare, bazată pe conservarea izospinului^⁠(d) nuclear. În 1954, Yang și Robert Mills^⁠(d) au generalizat invarianța gauge a electromagnetismului, construind o teorie bazată pe acțiunea unui grup de simetrie non-abelian, SU(2), asupra dubletului de izospin al protonilor și neutronilor. Aceasta este analogă acțiunii grupului U(1)^⁠(d) asupra câmpurilor spinoriale^⁠(d) din electrodinamica cuantică.

Teoria Yang–Mills^⁠(d) a devenit prototipul teoriilor gauge moderne și a jucat un rol esențial în clarificarea structurii fizicii particulelor elementare. În 1956, Ryoyu Utiyama^⁠(d) a propus primul model gauge al gravitației, încercând să extindă formalismul Yang–Mills la interacțiunile gravitaționale prin mecanismul gauge al transformărilor Poincaré. Totuși, dificultățile legate de tratarea covariantă generală și de structura metricii pseudo-riemanniene au necesitat dezvoltări matematice ulterioare.

Ulterior, cadrul gauge a fost aplicat cu succes în descrierea interacțiunilor slabe. Sheldon Glashow^⁠(d) a inițiat în 1961 o teorie gauge unificată a interacțiunilor electromagnetice și slabe, bazată pe grupul SU(2) × U(1). Teoria a fost completată independent de Steven Weinberg în 1967 și Abdus Salam în 1968, care au aplicat mecanismul Higgs^⁠(d) de rupere spontană de simetrie pentru a explica masele bosonilor slabi (W și Z). Această unificare electroslabă a reprezentat o piatră de temelie a modelului standard.

Importanța teoriilor gauge a crescut semnificativ odată cu descoperirea libertății asimptotice^⁠(d) de către David Gross^⁠(d) și Frank Wilczek^⁠(d), precum și, independent, de David Politzer^⁠(d) în 1973. Această descoperire a condus direct la formularea cromodinamicii cuantice (QCD) ca teorie gauge cu grupul SU(3)_c, care acționează asupra sarcinii de culoare a quarcilor și gluonilor.

Modelul standard unifică descrierea electromagnetismului (U(1)_Y), a interacțiunilor slabe (SU(2)_L) și a interacțiunilor tari (SU(3)_c) în cadrul limbajului teoriilor gauge.

În anii 1970, Michael Atiyah a studiat structura matematică a soluțiilor clasice ale ecuațiilor Yang–Mills. În 1983, studentul său Simon Donaldson^⁠(d) a demonstrat că clasificarea varietăților diferențiabile^⁠(d) cvadridimensionale diferă fundamental de clasificarea lor topologică. Ulterior, Michael Freedman^⁠(d) a demonstrat existența structurilor diferențiabile exotice^⁠(d) pe spațiul euclidian cvadridimensional. Aceste rezultate au stimulat interesul pentru teoriile gauge ca obiecte matematice de sine stătătoare.

În 1994, Edward Witten^⁠(d) și Nathan Seiberg^⁠(d) au introdus metode bazate pe supersimetrie care au permis calculul unor invarianți topologici (invarianții Seiberg–Witten^⁠(d)), conducând la un interes reînnoit pentru teoriile gauge și aplicațiile lor în geometrie algebrică și topologie.

Importanța teoriilor gauge în fizică este ilustrată de succesul lor în furnizarea unui cadru unificat pentru teoriile cuantice ale câmpurilor care descriu electromagnetismul, interacțiunile slabe și interacțiunile tari. Modelul standard este o teorie gauge cu grupul SU(3)_c × SU(2)_L × U(1)_Y și descrie cu mare precizie trei dintre cele patru forțe fundamentale ale naturii. De asemenea, teorii moderne precum teoria coardelor și relativitatea generală pot fi formulate, într-un sens larg, în limbajul teoriilor gauge.

Vezi Jackson și Okun pentru istoria timpurie a conceptului de gauge și Pickering pentru detalii suplimentare despre istoria teoriilor gauge și a teoriilor cuantice ale câmpurilor.

Descriere

Simetrii globale și locale

Simetrie globală

În fizică, formularea matematică a unei situații fizice introduce adesea grade de libertate suplimentare: aceeași situație fizică poate fi descrisă în mod echivalent prin mai multe configurații matematice distincte. De exemplu, în dinamica newtoniană^⁠(d), două configurații legate printr-o transformare Galilei — adică printr-o schimbare inerțială a cadrului de referință — descriu aceeași realitate fizică. Aceste transformări formează un grup de simetrii ale teoriei, iar o situație fizică corespunde nu unei configurații matematice individuale, ci unei clase de configurații legate între ele prin acest grup de simetrii.

Această idee se poate generaliza pentru a include atât simetrii globale, cât și locale, analog unor „schimbări de coordonate” mai abstracte, în situații în care nu există un sistem de coordonate inerțial privilegiat care să acopere întregul sistem fizic. O teorie gauge este un model matematic care posedă astfel de simetrii, împreună cu un set de reguli care permit formularea de predicții fizice compatibile cu aceste simetrii.

Exemplu de simetrie globală

Atunci când o mărime fizică nu este un simplu număr, ci are o semnificație geometrică — de exemplu o viteză sau o axă de rotație — reprezentarea sa numerică sub formă de vector sau matrice se modifică sub o transformare de coordonate. De pildă, dacă un model de curgere a unui fluid indică faptul că viteza fluidului în vecinătatea punctului (x = 1, y = 0) este de 1 m/s în direcția pozitivă a axei x, atunci o descriere echivalentă, în care sistemul de coordonate este rotit cu 90° în sensul acelor de ceasornic, va indica o viteză de 1 m/s în direcția negativă a axei y în vecinătatea punctului (x = 0, y = −1).

Transformarea coordonatelor afectează atât identificarea poziției măsurătorii, cât și baza în care este exprimată valoarea acesteia. Atâta timp cât transformarea este aplicată global, în mod identic în fiecare punct, efectul asupra mărimilor care descriu variația în timp și spațiu este același ca asupra mărimilor strict locale.

Simetrie locală

Utilizarea fibratelor pentru a descrie simetriile locale

Pentru a descrie riguros situații fizice mai complexe, este adesea necesară introducerea unei „structuri interne” pentru anumite obiecte ale teoriei, independent de coordonatele spațiu-timp. Din punct de vedere matematic, aceasta corespunde introducerii unui fibrat principal^⁠(d) (sau fibrat de cadre), în care fibra asociată fiecărui punct al spațiului de bază (de exemplu, spațiu-timpul Minkowski) constă în ansamblul bazelor interne utilizate pentru descrierea câmpurilor în acel punct.

Pentru a specifica o configurație matematică completă, este necesară alegerea unei baze particulare în fiecare punct, adică a unei secțiuni locale a fibratului. Valorile obiectelor fizice — de regulă câmpuri — sunt exprimate în raport cu această bază. Două configurații matematice sunt considerate echivalente dacă sunt legate printr-o transformare a bazei interne, numită transformare gauge.

În majoritatea teoriilor gauge, ansamblul transformărilor gauge posibile într-un punct individual din spațiu și timp formează un grup Lie de dimensiune finită. Cel mai simplu exemplu este U(1)^⁠(d), care apare în formularea modernă a electrodinamicii cuantice (QED) prin utilizarea numerelor complexe. Totalitatea transformărilor gauge aplicabile unei configurații formează grupul gauge al teoriei. Un element al acestui grup poate fi parametrizat printr-o funcție netedă de spațiu-timp cu valori în grupul Lie, iar valoarea funcției și derivatele sale determină acțiunea transformării gauge asupra fibrei în fiecare punct.

O transformare gauge cu parametru constant în spațiu și timp este analogă unei rotații rigide a unui sistem de coordonate și corespunde unei simetrii globale. În schimb, o transformare gauge al cărei parametru variază de la un punct la altul definește o simetrie locală. Efectul acesteia asupra expresiilor care conțin derivate este calitativ diferit de efectul asupra mărimilor strict locale, analog apariției forțelor fictive într-un cadru de referință neinerțial.

Câmpuri gauge

Formularea gauge-covariantă a unei teorii introduce un câmp gauge — din punct de vedere matematic, o conexiune Ehresmann^⁠(d) pe fibrat — și exprimă toate variațiile în termeni de derivată covariantă^⁠(d) asociată acestei conexiuni. Câmpul gauge devine astfel o componentă esențială a configurației matematice.

O configurație în care câmpul gauge poate fi eliminat printr-o transformare gauge are proprietatea că intensitatea câmpului^⁠(d) (sau, matematic, curbura) este nulă peste tot; teoriile gauge nu se limitează însă la asemenea configurații. În general, nu există o transformare gauge care să elimine complet câmpul gauge, cu excepția cazurilor de gauge pur.

În studiul dinamicii unei teorii gauge, câmpul gauge este tratat ca o variabilă dinamică, similar celorlalte câmpuri. Pe lângă cuplarea sa la alte câmpuri prin derivata covariantă, câmpul gauge contribuie la energie printr-un termen de energie proprie. Ecuațiile unei teorii gauge pot fi obținute prin:

• formularea unei teorii inițiale cu simetrie globală;
• permiterea variației locale a parametrilor de simetrie;
• introducerea termenilor necesari pentru a restaura invarianța locală;
• interpretarea acestor termeni ca fiind cuplări la câmpuri gauge dinamice.

Experimente fizice

Teoriile gauge utilizate pentru descrierea experimentelor fizice implică:

• restrângerea spațiului configurațiilor posibile la cele compatibile cu condițiile experimentale;
• calcularea distribuțiilor de probabilitate pentru rezultatele măsurabile.

Descrierea matematică a condițiilor experimentale și a rezultatelor necesită alegerea unui sistem de coordonate și a unei fixări gauge. Tratarea incorectă a dependenței de gauge poate conduce la anomalii^⁠(d), iar metodele de evitare a acestora joacă un rol central în clasificarea teoriilor gauge viabile fizic.

Teorii continue

Teoriile gauge clasice, precum electrodinamica clasică și relativitatea generală (formulată ca teorie a conexiunilor pe fibratul de cadre asociat grupului Lorentz), sunt teorii ale câmpurilor continue. Acestea furnizează predicții precise pe o gamă largă de scări energetice, dar pot eșua la scări extreme sau în situații în care efectele neliniare, precum turbulența sau fenomenele haotice, devin dominante.

Teorii cuantice ale câmpurilor

Articol principal: Teoria cuantică a câmpurilor

Cele mai cunoscute teorii gauge sunt teoriile cuantice ale câmpurilor, incluzând electrodinamica cuantică (QED), Cromodinamică cuantică (QCD) și modelul standard (SU(3)×SU(2)×U(1)). În aceste teorii, simetria gauge este tratată prin proceduri precum fixarea gauge^⁠(d), introducerea fantomelor Faddeev–Popov^⁠(d) și cuantificare BRST^⁠(d), asigurând consistența matematică și fizică a teoriei.

Renormalizare în teoriile gauge

Un aspect esențial al teoriilor gauge cuantice este renormalizarea, care elimină infinitățile apărute în calculele perturbative prin redefinirea constantelor de cuplaj și a maselor. Identitățile Ward–Takahashi^⁠(d) și Slavnov–Taylor^⁠(d) exprimă constrângerile impuse de simetria gauge asupra factorilor de renormalizare, garantând că teoria rămâne gauge-invariantă după renormalizare chiar și în regimul cuantic.

Confinare și defecte topologice

În teoriile gauge non-abeliene, în special în QCD, apare fenomenul de confinare, prin care quarcurile și gluonii purtători de sarcină de culoare nu pot fi observați izolat în condiții obișnuite, ci formează stări legate neutre din punct de vedere al culorii, numite hadroni. Mecanismul de confinare este asociat formării tuburilor de flux gluonice și creșterii energiei cu distanța, în contrast cu QED, unde interacțiunea electromagnetică slăbește cu distanța.

Teoriile gauge admit, de asemenea, existența unor defecte topologice, precum monopolurile magnetice ('t Hooft–Polyakov), vortexurile (Nielsen–Olesen) și sfaleronii din teoriile electroslabe. Stabilitatea acestor obiecte este determinată de structura topologică a fibratului principal și de grupul fundamental al grupului gauge.

Teoria clasică gauge

Electromagnetismul clasic

În electrostatică, descrierea unui sistem poate fi realizată fie prin intermediul câmpului electric E, fie prin potențialul electric V. Cunoașterea unuia permite determinarea celuilalt, cu observația că potențiale care diferă printr-o constantă, $V\mapsto V+C$, descriu același câmp electric. Acest fapt rezultă din dependența câmpului electric exclusiv de variațiile spațiale ale potențialului, constanta C anulându-se la calculul derivatelor. În limbajul calculului vectorial, câmpul electric este dat de gradientul potențialului: $\mathbf {E} =-\nabla V$.

Extinzând analiza la electromagnetismul general, apare un al doilea potențial, potențialul vectorial^⁠(d) A, astfel încât câmpurile electromagnetice sunt exprimate ca: ${\begin{aligned}\mathbf {E} &=-\nabla V-{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}},\\\mathbf {B} &=\nabla \times \mathbf {A} .\end{aligned}}$

Transformările gauge nu se mai reduc la simpla transformare $V\mapsto V+C$, ci au forma: ${\begin{aligned}\mathbf {A} &\mapsto \mathbf {A} +\nabla f,\\V&\mapsto V-{\frac {\partial f}{\partial t}},\end{aligned}}$ unde f este o funcție de două ori continuu diferențiabilă de poziție și timp. Câmpurile electromagnetice rămân invariabile la aceste transformări gauge. În practică, alegerea unei condiții gauge adecvate simplifică ecuațiile de mișcare. Două dintre cele mai utilizate sunt gauge Lorentz ($\nabla \cdot \mathbf {A} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial V}{\partial t}}=0$), care este invariantă Lorentz, și gauge Coulomb ($\nabla \cdot \mathbf {A} =0$), utilă în electrostatică și optică, dar care nu este explicit invariantă Lorentz.

Un exemplu: teoria gauge scalară O(n)

Această secțiune presupune familiaritate cu teoria clasică sau cuantică a câmpurilor și cu formalismul Lagrangian.

Următorul exemplu ilustrează modul în care o simetrie globală poate fi „localizată” pentru a genera o interacțiune gauge, precum și rolul teoremei lui Noether^⁠(d) în identificarea mărimilor conservate.

Considerăm un set de $n$ câmpuri scalare reale, neinteracționante, de masă egală m. Acțiunea sistemului este: ${\mathcal {S}}=\int \mathrm {d} ^{4}x\sum _{i=1}^{n}\left[{\frac {1}{2}}\partial _{\mu }\varphi _{i}\,\partial ^{\mu }\varphi _{i}-{\frac {1}{2}}m^{2}\varphi _{i}^{2}\right].$

Introducând vectorul de câmpuri $\Phi ^{\mathsf {T}}=(\varphi _{1},\varphi _{2},\ldots ,\varphi _{n}),$ Lagrangianul poate fi scris sub forma: ${\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }\Phi )^{\mathsf {T}}\partial ^{\mu }\Phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\Phi ^{\mathsf {T}}\Phi .$

Acest Lagrangian este invariant la transformările globale $\Phi \mapsto \Phi '=G\Phi ,$ unde G este o matrice constantă din O(n). Aceasta definește o simetrie globală, iar teorema lui Noether implică existența curenților conservați: $J_{\mu }^{a}=i\,\partial _{\mu }\Phi ^{\mathsf {T}}T^{a}\Phi ,$ unde $T^{a}$ sunt generatorii algebrei Lie a grupului. Conservarea acestor curenți reflectă principii fundamentale: simetria U(1) corespunde conservării sarcinii electrice, iar simetria de rotație O(n) corespunde conservării izospinului nuclear etc.

Pentru a impune invarianța locală O(n), matricea G este permisă să depindă de coordonatele spațiu-timp. În acest caz, $\partial _{\mu }(G\Phi )\neq G\partial _{\mu }\Phi ,$ iar invarianța este pierdută. Aceasta poate fi restaurată prin introducerea unei derivate covariante gauge^⁠(d): $D_{\mu }=\partial _{\mu }-igA_{\mu },$ unde g este constanta de cuplaj, iar A_μ este un câmp gauge.

Pentru ca $(D_{\mu }\Phi )'=GD_{\mu }\Phi$, câmpul gauge trebuie să se transforme conform: $A'_{\mu }=GA_{\mu }G^{-1}-{\frac {i}{g}}(\partial _{\mu }G)G^{-1}.$

Câmpul gauge poate fi scris sub forma: $A_{\mu }=\sum _{a}A_{\mu }^{a}T^{a}.$

Lagrangianul local gauge-invariant este: ${\mathcal {L}}_{\text{loc}}={\frac {1}{2}}(D_{\mu }\Phi )^{\mathsf {T}}D^{\mu }\Phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\Phi ^{\mathsf {T}}\Phi .$

Diferența față de Lagrangianul inițial definește Lagrangianul de interacțiune, care descrie interacțiuni mediate de câmpul gauge. Acest model este cunoscut și sub numele de model sigma în contextul teoriei câmpurilor și descrie dinamica unui câmp definit pe o varietate (în acest caz, sfera $S^{n-1}$).

Diagrama Feynman a câmpurilor scalare care interacționează printr-un boson gauge

Lagrangianul Yang–Mills

Pentru ca câmpul gauge să fie dinamic, adică să posede energie proprie și o dinamică independentă, se introduce un termen de tip Yang–Mills: ${\mathcal {L}}_{\text{YM}}=-{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }^{a}F^{a\mu \nu },$ unde tensorul de câmp este definit prin: $F_{\mu \nu }^{a}=\partial _{\mu }A_{\nu }^{a}-\partial _{\nu }A_{\mu }^{a}+gf^{abc}A_{\mu }^{b}A_{\nu }^{c},$ iar $f^{abc}$ sunt constantele de structură^⁠(d) ale algebrei Lie, care sunt antisimetrice și satisfac identitatea lui Jacobi^⁠(d). Termenii cu cuplaj triplu ($f^{abc}$) sunt caracteristici teoriilor gauge non-abeliene și lipsesc în cazul abelian (QED).

Lagrangianul complet al teoriei este: ${\mathcal {L}}={\mathcal {L}}_{\text{loc}}+{\mathcal {L}}_{\text{YM}}.$

Pentru cuantificare este necesară fixarea gauge (de exemplu, gauge-ul Lorentz sau Coulomb). Chiar și după aceasta, pot exista transformări gauge reziduale în anumite situații, în special în teoriile non-abeliene cu simetrii rămase după fixarea gauge.

Un exemplu: electrodinamica

Pentru câmpul electronic descris de Ecuația lui Dirac, acțiunea liberă este: ${\mathcal {S}}=\int {\bar {\psi }}(i\hbar c\,\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-mc^{2})\psi \,\mathrm {d} ^{4}x.$

Simetria globală $\psi \mapsto e^{i\theta }\psi$ este asociată grupului U(1), iar teorema lui Noether garantează conservarea sarcinii electrice corespunzătoare acestei simetrii.

Localizarea acestei simetrii, prin permiterea variației $\theta \to \theta (x,t)$, conduce la introducerea derivatei covariante: $D_{\mu }=\partial _{\mu }-i{\frac {e}{\hbar }}A_{\mu },$ unde e este sarcina electrică, iar A_μ este potențialul electromagnetic (cu $f^{abc}=0$ în cazul abelian).

Lagrangianul de interacțiune devine: ${\mathcal {L}}_{\text{int}}=J^{\mu }A_{\mu },$ unde $J^{\mu }={\frac {e}{\hbar }}{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi$ este curentul electric, care apare în mod natural din cerința de invarianță gauge locală.

Prin adăugarea termenului Yang–Mills pentru câmpul electromagnetic, care în cazul abelian se reduce la ${\mathcal {L}}_{EM}=-{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu },$ se obține Lagrangianul de bază al electrodinamicii cuantice: ${\mathcal {L}}_{\text{QED}}={\bar {\psi }}(i\hbar c\,\gamma ^{\mu }D_{\mu }-mc^{2})\psi -{\frac {1}{4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }.$

Vezi și: Ecuația lui Dirac, Ecuațiile lui Maxwell, Electrodinamică cuantică

Cuantificarea teoriilor gauge

Teoriile gauge pot fi cuantificate prin adaptarea metodelor generale utilizate în teoria cuantică a câmpurilor. Totuși, din cauza constrângerilor impuse de invarianța gauge (vezi secțiunea privind formalismul matematic), apar dificultăți tehnice care nu sunt prezente în teoriile fără simetrie gauge. În același timp, structura suplimentară a teoriilor gauge conduce la relații care simplifică anumite calcule; de exemplu, identitățile Ward–Takahashi^⁠(d) și identitățile Slavnov–Taylor leagă diferite constante de renormalizare^⁠(d).

Metode și scopuri

Prima teorie gauge cuantificată a fost electrodinamica cuantică (QED). Metodele inițiale au implicat fixarea gauge și aplicarea cuantificării canonice^⁠(d). Metoda Gupta–Bleuler^⁠(d) a fost dezvoltată pentru a trata explicit constrângerile gauge în acest context, permițând apariția unor stări cu normă negativă în spațiul Hilbert, care sunt eliminate ulterior prin condiții fizice.

Teoriile gauge non-abeliene sunt tratate în prezent printr-o varietate de metode, printre care cuantificarea BRST (cu fantome Faddeev–Popov) și formularea cu integrale funcționale (integrale de traiectorie) în cadrul metodei Feynman, prezentate în detaliu în articolul cuantificare.

Scopul principal al cuantificării este calculul amplitudinilor cuantice^⁠(d) pentru procesele permise de teorie. Din punct de vedere tehnic, acest obiectiv se reduce la determinarea funcțiilor de corelație^⁠(d) și a funcțiilor Green în starea de vid^⁠(d), ceea ce necesită renormalizarea^⁠(d) teoriei.

Atunci când constanta de cuplaj efectivă dependentă de energie este suficient de mică, cantitățile fizice pot fi calculate folosind teoria perturbațiilor^⁠(d) și dezvoltări în serii Feynman. Schemele de cuantificare care permit astfel de calcule sunt denumite scheme de cuantificare perturbative. Aceste metode furnizează unele dintre cele mai precise teste experimentale ale teoriilor gauge, precum determinarea momentului magnetic al electronului în QED.

În majoritatea teoriilor gauge apar însă probleme intrinsec neperturbative. Schemele de cuantificare adecvate pentru tratarea acestora, cum ar fi teoria gauge pe rețea^⁠(d) și metodele Monte Carlo, sunt denumite scheme de cuantificare neperturbative. Aceste calcule necesită adesea utilizarea supercalculatoarelor și sunt mai puțin accesibile analitic decât metodele perturbative, dar permit studierea regimurilor de cuplaj puternic și a efectelor neliniare.

Anomalii

Unele simetrii ale teoriei clasice nu se păstrează după cuantificare, fenomen cunoscut sub numele de anomalie^⁠(d). Anomaliile apar ca efecte cuantice la nivel de o buclă, în special din diagrame de tip triunghi în formalismul Feynman. Printre cele mai importante se numără:

• Anomalia de scară^⁠(d), care conduce la apariția unei constante de cuplaj efective dependente de energie. În QED, aceasta duce la polul Landau^⁠(d), iar în cromodinamica cuantică (QCD) este responsabilă pentru libertatea asimptotică^⁠(d).

• Anomalia chirală (anomalie axială), prezentă în teoriile cu fermioni chirali sau vectoriali. Aceasta este strâns legată de structura topologică a spațiului configurațiilor câmpurilor prin intermediul instantonilor^⁠(d) și al sfaleronilor. În QCD, anomalia chirală, cunoscută sub numele de anomalia U(1)_axial, explică dezintegrarea pionului neutru în doi fotoni (π⁰ → γγ). În interacțiunea electroslabă, sfaleronii mediază procese care încalcă numărul barionic (B) și numărul leptonic (L), având un rol important în scenariile de bariogeneză.

• Anomalia gauge^⁠(d), care trebuie să fie anulată în orice teorie fizică consistentă. Anomaliile gauge sunt determinate de reprezentările fermionilor sub grupul gauge și trebuie să se anuleze între diferitele tipuri de fermioni. În interacțiunea electroslabă, această condiție impune o balanță exactă între quarci și leptoni pentru fiecare generație, în special egalitatea dintre numărul de culori ale quarcilor și numărul de specii de leptoni.

Condiția de anulare a anomaliilor gauge este extrem de restrictivă și determină în mare măsură structura modelului standard, limitând totodată posibilele extensii ale acestuia în teorii dincolo de modelul standard.

Gauge pur

Un gauge pur este o configurație de câmp obținută prin aplicarea unei transformări gauge^⁠(d) asupra configurației triviale (nule). În consecință, un gauge pur aparține acelei orbite gauge care conține configurația nulă.

În cazul abelian, unde transformarea gauge are forma $A_{\mu }(x)\rightarrow A'_{\mu }(x)=A_{\mu }(x)+\partial _{\mu }f(x),$ un gauge pur este orice configurație de tipul $A_{\mu }(x)=\partial _{\mu }f(x),$ pentru o funcție arbitrară f(x). Pentru aceste configurații, tensorul de câmp este nul (F_μν = 0), astfel încât ele nu corespund unor câmpuri fizice observabile. Din punct de vedere geometric, ansamblul gauge-urilor pure abeliene formează un subspațiu contractibil al spațiului tuturor configurațiilor de câmp.

În cazul non-abelian, transformarea gauge generală este $A_{\mu }(x)\to A'_{\mu }(x)=g(x)A_{\mu }(x)g^{-1}(x)-{\frac {i}{g}}\left(\partial _{\mu }g(x)\right)g^{-1}(x),$ unde g(x) ∈ G este un element al grupului de simetrie G (de exemplu, SU(N) în cromodinamică cuantică). Un gauge pur corespunde configurației $A_{\mu }(x)=-{\frac {i}{g}}\left(\partial _{\mu }g(x)\right)g^{-1}(x),$ obținută prin transformarea gauge a configurației nule. Și în acest caz, tensorul de intensitate a câmpului este nul (F_μν = 0), deoarece configurația descrie o rotație locală pură, fără curbură fizică.

Din punct de vedere conceptual, gauge-urile pure sunt configurații echivalente gauge cu absența câmpului (A = 0). Observabilele fizice, precum lagrangianul și curbura, sunt invariante la transformări gauge, ceea ce implică faptul că gauge-urile pure nu au conținut dinamic observabil. În spațiul de configurații al teoriei, acestea aparțin unei orbite gauge, adică mulțimii tuturor configurațiilor legate prin transformări gauge. Structura acestor orbite este studiată matematic prin teoria spațiilor de moduli, în special în contextul ecuațiilor Yang-Mills autoduale (self-dual), investigate de Simon Donaldson și alții.

Un aspect tehnic important în cuantificarea teoriilor gauge non-abeliene este problema ambiguității Gribov. Atunci când se impune o condiție de fixare gauge (de exemplu gauge-ul Landau, $\partial _{\mu }A_{\mu }^{a}=0$), o singură orbită gauge poate admite mai mulți reprezentanți care satisfac această condiție; aceștia sunt cunoscuți sub numele de copii Gribov. Această situație indică faptul că procedura de fixare gauge nu este local unic definită în spațiul configurațiilor. Vladimir Gribov a arătat că doar o subregiune a acestui spațiu, numită regiunea Gribov, conține un unic reprezentant din fiecare orbită gauge. Prezența copiilor Gribov complică procedura de cuantificare și poate influența convergența calculelor în teoria perturbației și în simulările pe rețea.

În practica calculelor cuantice, chiar dacă copiile Gribov nu pot fi eliminate complet prin proceduri continue de fixare gauge, efectele lor pot fi controlate prin restricționarea la regiunea Gribov, printr-o tratare atentă a factorului Faddeev–Popov sau prin formulări alternative ale cuantificării, care ocolesc parțial această problemă.

Lectură suplimentară

• en Schumm, Bruce (2004) Deep Down Things. Presa Universității Johns Hopkins. Esp. cap. 8. O încercare serioasă a unui fizician de a explica teoria gauge și modelul standard cu puțină matematică formală.
• en Greiner, Walter; Müller, Berndt (2000). Gauge Theory of Weak Interactions. Springer. ISBN 3-540-67672-4. 
• en Cheng, T.-P.; Li, L.-F. (1983). Gauge Theory of Elementary Particle Physics. Oxford University Press. ISBN 0-19-851961-3. 
• en Frampton, P. (2008). Gauge Field Theories (ed. 3rd). Wiley-VCH. 
• en Kane, G.L. (1987). Modern Elementary Particle Physics. Perseus Books. ISBN 0-201-11749-5. 
• en Becchi. „Introduction to Gauge Theories”. arXiv:hep-ph/9705211 . 
• en Gross, D. (1992). „Gauge theory – Past, Present and Future”. Arhivat din original la 23 februarie 2016. Accesat în 23 aprilie 2009. 
• en Jackson, J.D. (2002). „From Lorenz to Coulomb and other explicit gauge transformations”. Am. J. Phys. 70 (9): 917–928. Bibcode:2002AmJPh..70..917J. doi:10.1119/1.1491265. 
• en Svetlichny. „Preparation for Gauge Theory”. arXiv:math-ph/9902027 . 

Vezi și

• Interacțiunea electroslabă
• Teoria gravitației gauge
• Teoria Kaluza–Klein
• Cromodinamică cuantică
• Câmp gluonic
• Electrodinamică cuantică
• Teoria cuantică a câmpurilor
• Modelul standard

Legături externe

•  Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), „Gauge transformation”, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104 
• Ecuațiile Yang–Mills pe DispersiveWiki
• Teoriile gauge pe Scholarpedia