Derivată parțială

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

În matematică, derivata parțială a unei funcții de mai multe variabile este derivata în raport cu una din acele variabile, în condițiile în care celelalte variabile sunt ținute constante (spre deosebire de derivata totală, la care toate variabilele au voie să varieze). Derivatele parțiale sunt utile în analiza vectorială și geometria diferențială. Ele apar în ecuații cu derivate parțiale.

Derivata parțială a unei funcții f în raport cu variabila x este scrisă ca fx sau {\frac{\partial f}{\partial x}}. Simbolul derivatei parțiale, , este o literă rotunjită, deosebindu-se de simbolul d drept cu care se notează derivata totală. Notația a fost introdusă de Legendre și a devenit universal acceptată după ce a fost reintrodusă de Jacobi.

Exemple[modificare | modificare sursă]

Considerând volumul V al unui con, el depinde de înălțimea înălțimea h și raza r a conului, conform formulei:

V(r, h) = \frac{ r^2 h \pi }{3}.

Derivata parțială a lui V în raport cu r este

\frac{ \partial V}{\partial r} = \frac{ 2r h \pi }{3}.

Ea descrie viteza cu care volumul unui con se modifică dacă raza sa este crescută, ținând înălțimea constantă. Derivata parțială în raport cu h este

\frac{ \partial V}{\partial h} = \frac{ r^2 \pi }{3}

și reprezintă viteza cu care volumul se modifică dacă se modifică înălțimea, ținând raza constantă.

Ecuațiile care implică derivatele parțiale ale unei funcții necunoscute se numesc ecuații diferențiale cu derivate parțiale și sunt întâlnite în fizică, inginerie, și alte științe și discipline aplicate.

Notații[modificare | modificare sursă]

Pentru următoarele exemple, fie f o funcție în x, y și z.

Derivatele parțiale de ordinul întâi:

\frac{ \partial f}{ \partial x} = f_x = \partial_x f.

Derivatele parțiale de ordinul doi:

\frac{ \partial^2 f}{ \partial x^2} = f_{xx} = \partial_{xx} f.

Derivatele parțiale mixte de ordinul doi:

\frac{ \partial^2 f}{\partial y\,\partial x} = f_{xy} = \partial_{xy} f.

Derivatele parțiale de ordin superior:

\frac{ \partial^{i+j+k} f}{ \partial x^i\, \partial y^j\, \partial z^k } = f^{(i, j, k)}.

În cazul funcțiilor cu mai multe variabile, unele din aceste variabile pot fi legate unele de celelalte, și ar putea fi necesar să se specifice explicit care variabile sunt considerate constante. În domenii cum ar fi mecanica statistică, derivata parțială a lui f în raport cu x, când y și z sunt constante, sunt adesea exprimate astfel:

\left( \frac{\partial f}{\partial x} \right)_{y,z}.

Definiție și proprietăți[modificare | modificare sursă]

Ca și derivata obișnuită, derivata parțială se definește ca o limită. Fie U o submulțime deschisă a lui Rn și f : UR o funcție. Se definește derivata parțială a lui f în punctul a = (a1, ..., an) ∈ U în raport cu variabila a i-a xi ca:

\frac{ \partial }{\partial x_i }f(\mathbf{a}) =
\lim_{h \rightarrow 0}{ 
f(a_1, \dots , a_{i-1}, a_i+h, a_{i+1}, \dots ,a_n) - 
f(a_1, \dots ,a_n) \over h }

Chiar dacă toate derivatele parțiale \frac{\partial f}{\partial x_i} (a) există într-un punct a, funcția derivată nu este în mod necesar continuă în acel punct. Totuși, dacă toate derivatele parțiale există într-o vecinătate a lui a și sunt continue în acea vecinătate, atunci f este derivabilă total în acea vecinătate și derivata totală este continuă. În acest caz, se spune că f este o funcție de clasă C1. Se poate folosi acest fapt pentru a generaliza pentru funcții vectoriale (f : UR'm), folosind un argument pe componente.

Derivata parțială \frac{\partial f}{\partial x} poate fi văzută ca o altă funcție definită pe U care poate fi mai departe derivată parțial. Dacă toate derivatele parțiale mixte de ordinul doi sunt continue într-un punct (sau pe o mulțime), funcția f se numește funcție de clasă C2 în acel punct (sau pe acea mulțime); în acest caz, derivatele parțiale pot fi interschimbate conform teoremei lui Clairaut:

\frac{\partial^2f}{\partial x_i\, \partial x_j} = \frac{\partial^2f} {\partial x_j\, \partial x_i}.

Vezi și[modificare | modificare sursă]

Ecuații cu derivate parțiale

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

  • Iacob, Caius: Mecanică teoretică, Editura didactică și pedagogică, București, 1980.
  • Mercheș, Ioan și Burlacu, Lucian: Mecanică analitică și a mediilor deformabile,Editura didactică și pedagogică, București, 1983 Anexa B.