Cuantificare (fizică)

În fizică, cuantificarea sau cuantizarea este procedura sistematică prin care o teorie clasică a fenomenelor fizice este transpusă într-o descriere cuantică, formulată în cadrul mecanicii cuantice. Cu alte cuvinte, este procesul de construire a unei teorii cuantice pornind de la o teorie din mecanica clasică. O generalizare la sisteme cu un număr infinit de grade de libertate este cuantizarea câmpului, de exemplu în „cuantizarea câmpului electromagnetic”, unde fotonii sunt interpretați ca cuante ale câmpului (adică cuante de lumină). Procedura de cuantizare este fundamentală pentru teoriile din fizica atomică, chimia cuantică, fizica particulelor, fizica nucleară, fizica materiei condensate și optica cuantică.

Prezentare istorică

În 1901, în timp ce dezvolta legea de distribuție a radiației corpului negru^⁠(d) în cadrul mecanicii statistice, pentru a rezolva problema catastrofei ultraviolete^⁠(d), Max Planck a arătat că proprietățile radiației pot fi explicate dacă energia nu este emisă și absorbită continuu, ci în unități discrete. El a introdus astfel ipoteza cuantelor de energie și relația dintre energie (E) și frecvență ($\nu$),

$E=h\nu$,

unde $h$ este constanta lui Planck, interpretată ca cuantum de acțiune. Această idee a reprezentat o ruptură fundamentală față de descrierea clasică a mărimilor fizice și a pus bazele mecanicii cuantice.

În 1905, Albert Einstein a publicat lucrarea „Un punct de vedere euristic privind producerea și transformarea luminii”, în care a explicat efectul fotoelectric presupunând că radiația electromagnetică este cuantificată. Cuantul de energie introdus în acest context a fost denumit ulterior „foton”. În 1913, Niels Bohr a aplicat ideea de cuantizare pentru a descrie spectrul atomului de hidrogen în lucrarea sa „Despre constituția atomilor și moleculelor”.

Deși modelele timpurii de cuantizare au avut succes explicativ, ele erau în mare măsură fenomenologice. Ulterior, matematicianul francez Henri Poincaré a oferit o formulare mai sistematică a ideii de cuantizare în lucrarea sa din 1912 „Sur la théorie des quanta”.

Termenul „fizică cuantică” a fost utilizat ulterior în literatura de specialitate pentru a desemna ansamblul teoriilor bazate pe cuantizare.

Cuantizare canonică

Cuantizarea canonică este o metodă de obținere a mecanicii cuantice pornind de la o teorie din mecanica clasică. Ea constă în înlocuirea variabilelor canonice clasice (coordonate și impulsuri) cu operatori care acționează asupra unui spațiu al stărilor cuantice și care satisfac relații de comutare specifice. Din punct de vedere tehnic, observabilele clasice sunt promovate la operatori, adesea exprimați prin combinații de operatori de creație și anihilare^⁠(d). Acești operatori acționează asupra stărilor cuantice ale sistemului, iar starea de energie minimă este denumită starea de vid^⁠(d).

Scheme de cuantizare

Chiar și în cadrul cuantizării canonice apar dificultăți în asocierea observabilelor clasice arbitrare din spațiul de fază cu operatori cuantici. Această problemă este cunoscută drept ambiguitatea de ordonare. În mecanica clasică, variabilele de poziție și impuls (x și p) comută, însă operatorii corespunzători din mecanica cuantică nu comută. Pentru a trata această ambiguitate au fost propuse diverse scheme de cuantizare, cea mai cunoscută fiind cuantizarea Weyl^⁠(d).

Teorema Groenewold–van Hove arată însă că nu există o schemă de cuantizare care să reproducă exact toate relațiile dintre parantezele Poisson ale observabilelor clasice. Mai precis, dacă observabilele clasice x și p sunt cuantizate ca operatorii obișnuiți de poziție și impuls, atunci nicio schemă de cuantizare nu poate păstra în mod perfect structura algebrei Poisson. Pentru detalii, vezi și teorema lui Groenewold^⁠(d).

Cuantizare canonică covariantă

Există și formulări ale cuantizării canonice care nu necesită o descompunere necovariantă (foliere) a spațiu-timpului și alegerea explicită a unui Hamiltonian. Aceste metode pornesc de la acțiunea clasică, dar diferă de abordarea prin integrală de traiectorie.

Metoda nu se aplică tuturor tipurilor de acțiuni (de exemplu, acțiuni cu structură necauzală sau cu simetrii gauge complicate). Se consideră algebra clasică a funcționalelor netede definite pe spațiul de configurație și se factorizează prin idealul generat de ecuațiile Euler–Lagrange^⁠(d). Algebra rezultată este apoi echipată cu o structură de algebră Poisson prin introducerea unei paranteze Poisson derivate din acțiune, cunoscută drept paranteza Peierls^⁠(d). Ulterior, această algebră Poisson este deformată prin introducerea constantei lui Planck reduse, ℏ, într-un mod analog cuantizării canonice.

În teoria cuantică a câmpurilor există, de asemenea, metode de cuantizare pentru sisteme cu simetrii gauge, bazate pe formalismul Batalin–Vilkoviski^⁠(d), care reprezintă o generalizare a formalismului BRST^⁠(d).

Cuantizarea prin deformare

Una dintre primele încercări de cuantizare „naturală” a fost cuantizarea Weyl, propusă de Hermann Weyl^⁠(d) în 1927. Această abordare urmărește să asocieze fiecărei observabile clasice (o funcție reală pe spațiul de fază) o observabilă cuantică, reprezentată printr-un operator auto-adjunct pe un spațiu Hilbert. Variabilele de poziție și impuls din spațiul de fază sunt asociate generatorilor grupului Heisenberg, iar spațiul Hilbert apare ca o reprezentare a acestui grup.

În 1946, H. J. Groenewold a analizat produsul a două astfel de observabile și funcția corespunzătoare în spațiul de fază clasic. Această analiză a condus la introducerea produsului stea (★) pe spațiul de fază pentru perechi de funcții. Într-un cadru mai general, această construcție conduce la cuantizarea prin deformare, în care produsul ★ este interpretat ca o deformare a algebrei funcțiilor definite pe o varietate simplectică sau pe o varietate Poisson. Totuși, privită ca schemă de cuantizare naturală (în sens categorial, ca functor), corespondența lui Weyl nu este pe deplin satisfăcătoare.

De exemplu, imaginea prin corespondența Weyl a momentului unghiular clasic pătrat nu coincide pur și simplu cu operatorul cuantic al momentului unghiular la pătrat, ci conține un termen constant suplimentar de 3ħ²/2. Acest termen de corecție are importanță conceptuală, deoarece reflectă particularități ale cuantizării momentului unghiular chiar și pentru starea fundamentală a atomului de hidrogen, unde numărul cuantic orbital l tinde spre zero.

Cu toate acestea, ca transformare de reprezentare, corespondența Weyl rămâne utilă și importantă, deoarece stă la baza formulării în spațiul de fază^⁠(d) a mecanicii cuantice, echivalentă cu formularea standard.

Cuantizare geometrică

În fizica matematică, cuantizarea geometrică este o abordare matematică riguroasă de construire a unei teorii cuantice asociate unei teorii clasice date. Scopul acestei metode este de a realiza cuantizarea — proces pentru care nu există o procedură universală — într-un mod care păstrează, pe cât posibil, analogiile structurale dintre teoria clasică și cea cuantică. De exemplu, se dorește ca relația formală dintre ecuația lui Heisenberg și ecuația lui Hamilton să fie reflectată natural în cadrul schemei de cuantizare.

O formulare geometrică mai generală, în care spațiul de fază clasic este o varietate simplectică arbitrară, a fost dezvoltată în anii 1970 de Bertram Kostant^⁠(d) și Jean-Marie Souriau^⁠(d). Metoda are, în mod tipic, două etape principale. Prima etapă constă în construirea unui „spațiu Hilbert precuantic”, alcătuit din funcții pătrat-integrabile (mai riguros, secțiuni ale unui fascicul de linii) definite pe spațiul de fază. În acest spațiu se pot defini operatori care satisfac relații de comutare ce reproduc exact parantezele Poisson clasice. Totuși, spațiul Hilbert precuantic este prea mare pentru a avea o interpretare fizică directă. Prin urmare, în a doua etapă se introduce o polarizare și se restrânge spațiul la funcții (sau secțiuni) care depind doar de jumătate dintre variabilele canonice, obținându-se astfel spațiul Hilbert cuantic propriu-zis.

Cuantizarea prin integrală de traiectorie

O teorie mecanică clasică este definită printr-o acțiune. Configurațiile fizice admise sunt cele care extremizează acțiunea față de variațiile funcționale. Pornind de la aceeași acțiune, se poate construi și descrierea cuantică a sistemului prin intermediul formulării integrale a traiectoriei^⁠(d) (integrala de drum a lui Feynman), în care amplitudinile cuantice sunt obținute prin sumarea peste toate traiectoriile posibile.

Alte tipuri

• Gravitație cuantică în buclă^⁠(d) (cuantizare în buclă)
• Principiul incertitudinii (în contexte de mecanică statistică cuantică)
• Principiul acțiunii cuantice al lui Schwinger^⁠(d)

Bibliografie

• en Ali, S. T., & Engliš, M. (2005). "Quantization methods: a guide for physicists and analysts". Reviews in Mathematical Physics 17 (04), 391-490. doi:10.1142/S0129055X05002376
• en Abraham, R. & Marsden (1985): Foundations of Mechanics, ed. Addison–Wesley, ISBN: 0-8053-0102-X
• en Hall, Brian C. (2013), Quantum Theory for Mathematicians, Graduate Texts in Mathematics, 267, Springer, Bibcode:2013qtm..book.....H 
• en Woodhouse, Nicholas M. J. (2007). Geometric quantization. Oxford mathematical monographs (ed. 2. ed., repr). Oxford: Clarendon Press. ISBN 978-0-19-850270-8. 
• en Landsman, N. P. (25 iulie 2005). „Between classical and quantum”. arXiv:quant-ph/0506082 . 
• en M. Peskin, D. Schroeder, An Introduction to Quantum Field Theory (Westview Press, 1995) ISBN: 0-201-50397-2
• en Weinberg, Steven, The Quantum Theory of Fields (3 volumes)
• en Curtright, T. L.; Zachos, C. K. (2012). „Quantum Mechanics in Phase Space”. Asia Pacific Physics Newsletter. 01: 37–46. arXiv:1104.5269 . doi:10.1142/S2251158X12000069. 
• en G. Giachetta, L. Mangiarotti, G. Sardanashvily, Geometric and Algebraic Topological Methods in Quantum Mechanics (World Scientific, 2005) ISBN: 981-256-129-3
• en Todorov, Ivan (2012). „"Quantization is a mystery"”. arXiv:1206.3116  [math-ph]. 

Vezi și

• Număr cuantic