Câmp (fizică)

Pentru alte sensuri, vedeți Câmp (dezambiguizare).

Ilustrație a câmpului electric care înconjoară o sarcină pozitivă (roșu) și una negativă (albastră).

În fizică, un câmp este o mărime fizică, reprezentată printr-un scalar^⁠(d), vector, spinor^⁠(d) sau tensor, care are o valoare în fiecare punct din spațiu și timp. Un câmp fizic clasic este un sistem dinamic cu un număr infinit de grade de libertate marcat de locația spațială. Matematic, un câmp este descris printr-o funcție de coordonatele spațiale și de timp, soluție a unor ecuații cu derivate parțiale. Natura acestei funcții depinde de teoria fizică în care ea apare: un câmp fizic trebuie să reprezinte o realitate fizică; nu orice funcție matematică definită în vid este un câmp fizic. Prin contrast, în mecanică, un sistem mecanic este un sistem dinamic cu un număr finit de grade de libertate, care satisface ecuații diferențiale ordinare.

Un exemplu de câmp scalar este distribuția spațială a temperaturii, în care fiecărui punct i se asociază un număr, iar un exemplu de câmp vectorial este distribuția vitezei vântului, în care fiecărui punct i se asociază un vector ce descrie mărimea și direcția vântului. Tensorul deformațiilor, care descrie deformarea materiei produsă de tensiuni, este un exemplu de câmp tensorial. Un câmp are un caracter tensorial consecvent peste tot unde este definit; de exemplu, un câmp nu poate fi scalar într-o regiune și vectorial în alta.

Teoria câmpurilor studiază modul în care valorile câmpului variază în spațiu și timp. Exemple întâlnite în teoria clasică a câmpurilor sunt câmpul gravitațional, descris în mecanica newtoniană de legea atracției universale iar în cadrul teoriei relativității generale de ecuațiile lui Einstein, și câmpul electromagnetic, descris de ecuațiile lui Maxwell, câmpuri care prezintă forțe centrale și conservative. În formularea modernă a teoriei cuantice a câmpurilor, câmpul ocupă spațiu, are asociată o energie, iar prezența sa exclude existența unui „vid adevărat” în sens clasic. Aceasta a dus la tratarea câmpurilor, în special a câmpului electromagnetic, ca entități fizice reale, capabile să transporte energie și impuls.

În această perspectivă, câmpurile pot fi scalare, vectoriale, spinoriale^⁠(d) sau tensoriale, iar în funcție de formalism ele pot fi clasice sau cuantice. Sistemele de particule elementare sunt descrise de teoria cuantică a câmpurilor.

Istorie

Articol principal: Istoria teoriei clasice a câmpurilor

Pentru Isaac Newton, legea atracției universale exprima pur și simplu forța gravitațională care acționa între orice pereche de obiecte masive. Atunci când se analizează mișcarea mai multor corpuri care interacționează între ele, cum ar fi planetele din Sistemul Solar, tratarea separată a forței dintre fiecare pereche de corpuri devine rapid incomodă din punct de vedere computațional. În secolul al XVIII-lea, a fost introdusă o mărime nouă pentru a simplifica evidența tuturor acestor forțe gravitaț

ionale. Această mărime, câmpul gravitațional, oferea în fiecare punct din spațiu accelerația gravitațională totală care ar fi fost resimțită de un obiect mic aflat în acel punct. Acest lucru nu modifica în niciun fel fizica: nu conta dacă toate forțele gravitaționale asupra unui obiect erau calculate individual și apoi adunate, sau dacă toate contribuțiile erau mai întâi adunate într-un câmp gravitațional și apoi aplicate obiectului. Ideea sa din Opticks^⁠(d), potrivit căreia reflexia și refracția optică apar din interacțiuni de-a lungul întregii suprafețe, este, probabil, începutul teoriei câmpului pentru forța electrică.

Dezvoltarea conceptului independent de câmp a început cu adevărat în secolul al XIX-lea, odată cu dezvoltarea teoriei electromagnetismului. În fazele timpurii, André-Marie Ampère și Charles-Augustin de Coulomb se puteau descurca cu legi de tip newtonian, care exprimau forțele dintre perechi de sarcini electrice sau curenți electrici. Totuși, a devenit mult mai natural să se adopte abordarea prin câmp și să se exprime aceste legi în termenii câmpurilor electrice și magnetice; în 1845, Michael Faraday a fost primul care a introdus termenul „câmp magnetic”. Lord Kelvin a oferit apoi o definiție formală a câmpului în 1851.

Natura independentă a câmpului a devenit mai evidentă odată cu descoperirea făcută de James Clerk Maxwell, potrivit căreia undele din aceste câmpuri, numite unde electromagnetice, se propagă cu o viteză finită. În consecință, forțele care acționează asupra sarcinilor și curenților nu mai depindeau doar de pozițiile și vitezele altor sarcini și curenți în același moment, ci și de pozițiile și vitezele lor din trecut.

La început, Maxwell nu a adoptat conceptul modern de câmp ca mărime fundamentală care poate exista independent. În schimb, el a presupus că câmpul electromagnetic exprimă deformarea unui mediu subiacent — eterul luminifer — asemănător tensiunii dintr-o membrană de cauciuc. Dacă ar fi fost așa, viteza observată a undelor electromagnetice ar fi trebuit să depindă de viteza observatorului față de eter. În ciuda multor eforturi, nu a fost găsită niciodată nicio dovadă experimentală pentru un asemenea efect; situația a fost rezolvată prin introducerea teoriei relativității restrânse de către Albert Einstein în 1905. Această teorie a schimbat modul în care perspectivele observatorilor aflați în mișcare se raportează una la alta. Ele au devenit corelate astfel încât viteza undelor electromagnetice din teoria lui Maxwell să fie aceeași pentru toți observatorii. Eliminând nevoia unui mediu de fundal, această dezvoltare a deschis calea pentru ca fizicienii să înceapă să considere câmpurile drept entități cu adevărat independente.

La sfârșitul anilor 1920, noile reguli ale mecanicii cuantice au fost aplicate pentru prima dată câmpului electromagnetic. În 1927, Paul Dirac a folosit cu succes câmpurile cuantice pentru a explica modul în care dezintegrarea unui atom către o stare cuantică inferioară duce la emisia spontană a unui foton, cuantumul câmpului electromagnetic. Curând după aceea s-a ajuns la concluzia, în urma lucrărilor lui Pascual Jordan, Eugene Wigner, Werner Heisenberg și Wolfgang Pauli, că toate particulele, inclusiv electronii și protonii, pot fi înțelese ca fiind cuantele unui anumit câmp cuantic, ridicând câmpurile la statutul de cele mai fundamentale obiecte din natură. Cu toate acestea, John Wheeler și Richard Feynman au luat în considerare în mod serios conceptul pre-câmp al lui Newton, și anume acțiune la distanță, deși l-au lăsat deoparte din cauza utilității continue a conceptului de câmp pentru cercetările în relativitate generală și electrodinamică cuantică.

Câmpuri clasice

Articol principal: Teoria clasică a câmpurilor

Există mai multe exemple de câmpuri clasice. Teoriile clasice ale câmpului rămân utile oriunde nu apar proprietăți cuantice și pot constitui domenii active de cercetare. Elasticitatea materialelor, dinamica fluidelor și ecuațiile lui Maxwell sunt exemple relevante.

Unele dintre cele mai simple câmpuri fizice sunt câmpurile vectoriale de forță. Din punct de vedere istoric, prima dată când câmpurile au fost luate în serios a fost odată cu liniile de forță^⁠(d) ale lui Faraday, în descrierea câmpului electric. Câmpul gravitațional a fost apoi descris în mod similar.

Gravitația newtoniană

În gravitația clasică, masa este sursa unui câmp gravitațional atractiv g.

O teorie clasică a câmpului care descrie gravitația este gravitația newtoniană, care descrie forța gravitațională ca interacțiune reciprocă între două mase.

Orice corp cu masa M este asociat cu un câmp gravitațional g care descrie influența sa asupra altor corpuri cu masă. Câmpul gravitațional al lui M într-un punct r din spațiu corespunde raportului dintre forța F pe care M o exercită asupra unei mase de probă^⁠(d) m mici sau neglijabile, aflate în r, și masa de probă însăși:

$\mathbf {g} (\mathbf {r} )={\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} )}{m}}$

Impunerea condiției ca m să fie mult mai mică decât M asigură că prezența lui m are o influență neglijabilă asupra comportamentului lui M.

Conform legii atracției universale a lui Newton, F(r) este dată de

$\mathbf {F} (\mathbf {r} )=-{\frac {GMm}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}$

unde ${\hat {\mathbf {r} }}$ este un vector unitar aflat de-a lungul liniei care unește M și m și orientat de la M spre m. Prin urmare, câmpul gravitațional al lui M este

$\mathbf {g} (\mathbf {r} )={\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} )}{m}}=-{\frac {GM}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}$

Observația experimentală că masa inerțială și masa gravitațională sunt egale cu un nivel de precizie fără precedent conduce la identitatea conform căreia intensitatea câmpului gravitațional este identică cu accelerația resimțită de o particulă. Acesta este punctul de plecare al principiului echivalenței, care conduce la relativitate generală.

Deoarece forța gravitațională F este un câmp conservativ^⁠(d), câmpul gravitațional g poate fi rescris în termenii gradientului unei funcții scalare, potențialul gravitațional^⁠(d) $\Phi (\mathbf {r} )$:

$\mathbf {g} (\mathbf {r} )=-\nabla \Phi (\mathbf {r} )$

Electromagnetism

Articol principal: Electromagnetism

Michael Faraday a realizat pentru prima dată importanța câmpului ca mărime fizică în timpul cercetărilor sale asupra magnetismului. El a înțeles că câmpurile electrice și magnetice nu sunt doar câmpuri de forță care dictează mișcarea particulelor, ci au și o realitate fizică independentă, deoarece transportă energie.

Aceste idei au dus în cele din urmă la crearea, de către James Clerk Maxwell, a primei teorii unificate a câmpului din fizică, prin introducerea ecuațiilor pentru câmpul electromagnetic. Versiunile moderne ale acestor ecuații se numesc ecuațiile lui Maxwell.

Electrostatică

Articol principal: Electrostatică

O particulă de probă încărcată^⁠(d) cu sarcina q experimentează o forță F bazată exclusiv pe sarcina sa. Putem descrie în mod similar câmpul electric E, astfel încât $\mathbf {F} =q\mathbf {E}$. Folosind aceasta și legea lui Coulomb, rezultă că câmpul electric datorat unei singure particule încărcate este

$\mathbf {E} ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {q}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}$

Câmpul electric este un câmp conservativ^⁠(d) și, prin urmare, poate fi descris printr-un potențial scalar, $V(\mathbf {r} )$:

$\mathbf {E} (\mathbf {r} )=-\nabla V(\mathbf {r} )$

Magnetostatică

Articol principal: Magnetostatică

Un curent staționar $I$ care curge de-a lungul unei traiectorii $\ell$ creează un câmp $\mathbf {B}$ care exercită asupra particulelor încărcate aflate în mișcare în vecinătate o forță diferită cantitativ de forța câmpului electric descrisă mai sus. Forța exercitată de $I$ asupra unei sarcini apropiate $q$ cu viteza $\mathbf {v}$ este

$\mathbf {F} (\mathbf {r} )=q\mathbf {v} \times \mathbf {B} (\mathbf {r} )$

unde $\mathbf {B} (\mathbf {r} )$ este câmpul magnetic, determinat de $I$ prin legea Biot–Savart:

$\mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {I\,d{\boldsymbol {\ell }}\times {\hat {\mathbf {r} }}}{r^{2}}}$

Câmpul magnetic nu este, în general, conservativ și, în consecință, nu poate fi de obicei scris în termenii unui potențial scalar. Totuși, el poate fi scris cu ajutorul unui potențial vectorial^⁠(d), $\mathbf {A} (\mathbf {r} )$:

$\mathbf {B} (\mathbf {r} )=\nabla \times \mathbf {A} (\mathbf {r} )$

Câmpurile E și câmpurile B datorate sarcinilor electrice (negru/alb) și polilor magnetici (roșu/albastru). Sus: câmpul E datorat unui moment electric dipolar d. Jos stânga: câmpul B datorat unui dipol magnetic matematic m format din doi monopoli magnetici. Jos dreapta: câmpul B datorat unui moment magnetic dipolar pur m întâlnit în materia obișnuită (nu provenit din monopoli).

Electrodinamică

Articol principal: Electrodinamică

În general, în prezența atât a unei densități de sarcină $\rho (\mathbf {r} ,t)$, cât și a unei densități de curent $\mathbf {J} (\mathbf {r} ,t)$, vor exista atât un câmp electric, cât și unul magnetic, iar ambele vor varia în timp. Ele sunt determinate de ecuațiile lui Maxwell, un sistem de ecuații diferențiale care leagă direct E și B de $\rho$ și $\mathbf {J}$.

Alternativ, sistemul poate fi descris în termenii potențialului scalar $V$ și ai potențialului vector $\mathbf {A}$. Un set de ecuații integrale cunoscute sub numele de potențiale întârziate^⁠(d) permite calcularea lui $V$ și $\mathbf {A}$ din $\rho$ și $\mathbf {J}$, iar de aici câmpurile electrice și magnetice sunt determinate prin relațiile

$\mathbf {E} =-\nabla V-{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}$

$\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A}$

La sfârșitul secolului al XIX-lea, câmpul electromagnetic era înțeles ca o colecție de două câmpuri vectoriale în spațiu. În prezent, acesta este recunoscut ca un singur câmp tensorial antisimetric de rangul al doilea în spațiu-timp.

Câmpurile E și câmpurile B datorate sarcinilor electrice (negru/alb) și polilor magnetici (roșu/albastru). Câmpurile E produse de sarcini electrice staționare și câmpurile B produse de sarcini magnetice staționare (de remarcat că, în natură, monopoli N și S nu există). În mișcare (viteza v), o sarcină electricăinduce un câmp B, în timp ce o sarcină magnetică (care nu se găsește în natură) ar induce un câmp E. Se folosește curent convențional.

Gravitația în relativitatea generală

În relativitate generală, masa-energia deformează spațiu-timpul (tensorul Einstein^⁠(d) G), iar distribuțiile asimetrice de masă-energie aflate în rotație, cu moment cinetic J, generează câmpuri GEM^⁠(d) H.

Teoria gravitației a lui Einstein, numită relativitate generală, este un alt exemplu de teorie a câmpului. Aici câmpul principal este tensorul metric, un câmp tensorial simetric de rangul al doilea în spațiu-timp. Acesta înlocuiește legea atracției universale a lui Newton.

Unde ca câmpuri

Undele pot fi construite ca câmpuri fizice, datorită vitezei lor finite de propagare și naturii lor cauzale, atunci când este stabilit un model fizic simplificat al unui sistem închis izolat . Ele sunt, de asemenea, supuse legii invers-pătratice^⁠(d).

Pentru undele electromagnetice există câmpuri optice, precum și termeni precum limitele de câmp apropiat și câmp îndepărtat^⁠(d) pentru difracție. În practică, însă, teoriile de câmp din optică sunt depășite de teoria electromagnetică a câmpului a lui Maxwell.

Undele de gravitație^⁠(d) sunt unde la suprafața apei, definite printr-un câmp al înălțimii.

Dinamica fluidelor

Articol principal: Dinamica fluidelor

Dinamica fluidelor are câmpuri de presiune, densitate și debit, care sunt conectate prin legi de conservare a energiei și impulsului. Ecuația continuității masei este o ecuație de continuitate, reprezentând conservarea masei

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0$

iar ecuațiile Navier–Stokes reprezintă conservarea impulsului în fluid, obținută din legile lui Newton aplicate fluidului,

${\frac {\partial }{\partial t}}(\rho \mathbf {u} )+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} \otimes \mathbf {u} +p\mathbf {I} )=\nabla \cdot {\boldsymbol {\tau }}+\rho \mathbf {b}$

dacă densitatea ρ, presiunea p, tensorul tensiunii deviatorice^⁠(d) τ al fluidului, precum și forțele externe de volum b sunt toate date. Viteza de curgere u este câmpul vectorial care trebuie determinat.

Elasticitate

Elasticitatea liniară^⁠(d) este definită în termenii ecuațiilor constitutive^⁠(d) dintre câmpuri tensoriale,

$\sigma _{ij}=L_{ijkl}\varepsilon _{kl}$

unde $\sigma _{ij}$ sunt componentele tensorului tensiunilor Cauchy^⁠(d) 3 × 3, $\varepsilon _{ij}$ componentele deformației infinitezimale^⁠(d) 3 × 3, iar $L_{ijkl}$ este tensorul elasticității^⁠(d), un tensor de rangul al patrulea cu 81 de componente (de obicei 21 de componente independente).

Termodinamică și ecuații de transport

Presupunând că temperatura T este o mărime intensivă, adică o funcție unică și derivabilă a spațiului tridimensional (un câmp scalar), adică $T=T(\mathbf {r} )$, atunci gradientul de temperatură este un câmp vectorial definit ca $\nabla T$. În conducție termică, câmpul de temperatură apare în legea lui Fourier,

$\mathbf {q} =-k\nabla T$

unde q este câmpul de flux termic, iar k este conductivitatea termică.

Gradientele de temperatură și de presiune sunt, de asemenea, importante pentru meteorologie.

Câmpuri cuantice

Articol principal: Teoria cuantică a câmpurilor

În prezent, se consideră că mecanica cuantică trebuie să stea la baza tuturor fenomenelor fizice, astfel încât o teorie clasică a câmpului ar trebui, cel puțin în principiu, să permită reformularea sa în termeni de mecanică cuantică; succesul acestei reformulări conduce la teoria cuantică a câmpurilor corespunzătoare. De exemplu, cuantificarea electrodinamicii clasice conduce la electrodinamică cuantică. Electrodinamica cuantică este, fără îndoială, cea mai de succes teorie științifică; datele experimentale îi confirmă predicțiile cu o precizie mai mare (la mai multe cifre semnificative) decât în cazul oricărei alte teorii. Celelalte două teorii cuantice fundamentale ale câmpurilor sunt cromodinamică cuantică și interacțiunea electroslabă.

Câmpuri datorate sarcinilor de culoare, ca în cazul quarcurilor (G este tensorul intensității câmpului gluonic^⁠(d)). Acestea sunt combinații „incolore”. Sus: sarcina de culoare are „stări neutre ternare”, precum și neutralitate binară (analogă sarcinii electrice). Jos: combinațiile quarc/antiquarc.

În cromodinamica cuantică, liniile câmpului de culoare sunt cuplate la distanțe mici de către gluoni, care sunt polarizați de câmp și se aliniază cu acesta. Acest efect crește pe o distanță scurtă (aproximativ 1 fm în vecinătatea quarcurilor), făcând ca forța de culoare să crească la distanțe mici și confinând quarcurile în interiorul hadronilor. Deoarece liniile de câmp sunt trase strâns împreună de gluoni, ele nu se „curbează” spre exterior la fel de mult ca un câmp electric între sarcini electrice.

Aceste trei teorii cuantice ale câmpurilor pot fi toate derivate ca cazuri speciale ale așa-numitului Model Standard al fizicii particulelor. Relativitatea generală, teoria einsteiniană a câmpului gravitațional, nu a fost încă cuantificată cu succes. Totuși, o extindere, teoria câmpurilor termice, tratează teoria cuantică a câmpurilor la temperaturi finite, aspect rareori luat în considerare în teoria cuantică a câmpurilor.

În teoria BRST^⁠(d) se lucrează cu câmpuri impare, de exemplu fantomele Faddeev–Popov^⁠(d). Există diferite descrieri ale câmpurilor clasice impare atât pe varietăți graduate^⁠(d), cât și pe supervarietăți^⁠(d).

Ca și în cazul câmpurilor clasice, este posibil să se abordeze omoloagele lor cuantice dintr-o perspectivă pur matematică, folosind tehnici similare celor anterioare. Ecuațiile care guvernează câmpurile cuantice sunt, de fapt, EDP-uri (mai exact, ecuații cu derivate parțiale), în special ecuațiile relativiste de undă^⁠(d) (RWE). Prin urmare, se poate vorbi despre câmpurile Yang–Mills^⁠(d), Dirac^⁠(d), Klein–Gordon^⁠(d) și Schrödinger^⁠(d) ca despre soluții ale ecuațiilor lor respective. O posibilă problemă este că aceste ecuații relativiste de undă pot trata obiecte matematice complicate, cu proprietăți algebrice neobișnuite (de exemplu, spinorii^⁠(d) nu sunt tensori, astfel încât poate fi nevoie de calcul pentru câmpuri spinoriale^⁠(d)), însă, teoretic, acestea pot fi totuși supuse metodelor analitice, cu condiția unei generalizări matematice^⁠(d) adecvate.

Teoria câmpurilor

Teoria câmpurilor se referă, de obicei, la construirea dinamicii unui câmp, adică la specificarea modului în care un câmp se schimbă în timp sau în raport cu alte variabile fizice independente de care depinde câmpul. De regulă, acest lucru se face prin scrierea unui lagrangian^⁠(d) sau a unui hamiltonian al câmpului și tratarea lui ca pe un sistem clasic sau cuantic cu un număr infinit de grade de libertate. Teoriile de câmp rezultate sunt denumite teorii clasice sau cuantice ale câmpurilor.

Dinamica unui câmp clasic este specificată, de obicei, de densitatea lagrangiană^⁠(d) în termenii componentelor câmpului; dinamica poate fi obținută folosind principiul acțiunii.

Este posibil să se construiască câmpuri simple fără cunoștințe prealabile de fizică, folosind doar matematică din calcul multivariabil^⁠(d), teoria potențialului^⁠(d) și ecuații cu derivate parțiale (EDP). De exemplu, EDP-urile scalare pot lua în considerare mărimi precum câmpurile de amplitudine, densitate și presiune pentru ecuația undei și pentru dinamica fluidelor; câmpurile de temperatură sau concentrație pentru ecuațiile căldurii și difuziei. În afara fizicii propriu-zise (de exemplu, în radiometrie și grafică pe calculator), există chiar și câmpuri de lumină^⁠(d). Toate exemplele anterioare sunt câmpuri scalare. În mod similar, pentru vectori există EDP-uri vectoriale pentru câmpurile de deplasare, viteză și vorticitate în dinamica fluidelor (matematică aplicată), dar în acest caz poate fi necesar și calculul vectorial, adică calculul pentru câmpuri vectoriale (la fel ca pentru aceste trei mărimi și, în general, pentru EDP-urile vectoriale). Mai general, problemele din mecanica mediilor continue pot implica, de exemplu, elasticitate^⁠(d) direcțională (de unde provine termenul tensor, derivat din cuvântul latin pentru întindere), curgeri de fluide complexe^⁠(d) sau difuzie anizotropă^⁠(d), care sunt formulate ca EDP-uri matriceale sau tensoriale și necesită apoi calcul matriceal^⁠(d) sau calcul tensorial^⁠(d). Scalarile, și deci și vectorii, matricile și tensorii, pot fi reale sau complexe, întrucât ambele sunt corpuri în sens abstract-algebric / din teoria inelelor.

Într-un cadru general, câmpurile clasice sunt descrise prin secțiuni ale fibratelor^⁠(d), iar dinamica lor este formulată în termenii varietăților jet^⁠(d) (teoria clasică covariantă a câmpurilor^⁠(d)).

În fizică modernă, cele mai studiate câmpuri sunt cele care modelează cele patru forțe fundamentale, care ar putea duce într-o zi la teoria câmpului unificat.

Simetriile câmpurilor

O modalitate convenabilă de a clasifica un câmp (clasic sau cuantic) este după simetriile pe care le posedă. Simetriile fizice sunt, de obicei, de două tipuri:

Simetrii ale spațiu-timpului

Articole principale: Simetrie (fizică) și Simetrii ale spațiu-timpului

Câmpurile sunt adesea clasificate după comportamentul lor la transformările spațiu-timpului. Termenii folosiți în această clasificare sunt:

• câmpuri scalare (precum temperatura), ale căror valori sunt date de o singură variabilă în fiecare punct al spațiului. Această valoare nu se schimbă la transformările spațiului.
• câmpuri vectoriale (precum mărimea și direcția forței în fiecare punct al unui câmp magnetic) care sunt specificate prin atașarea unui vector fiecărui punct din spațiu. Componentele acestui vector se transformă între ele contravariant^⁠(d) la rotațiile în spațiu. În mod similar, un câmp covectorial (sau dual) atașează un vector dual fiecărui punct din spațiu, iar componentele fiecărui vector dual se transformă covariant.
• câmpuri tensoriale, (precum tensorul tensiunii într-un cristal) specificate printr-un tensor în fiecare punct al spațiului. La rotațiile în spațiu, componentele tensorului se transformă într-un mod mai general, care depinde de numărul indicilor covarianți și contravarianți.
• câmpuri spinoriale^⁠(d) (precum spinorul Dirac^⁠(d)) apar în teoria cuantică a câmpurilor pentru a descrie particule cu spin, care se transformă asemănător vectorilor, cu excepția uneia dintre componentele lor; cu alte cuvinte, atunci când un câmp vectorial este rotit cu 360 de grade în jurul unei axe specifice, câmpul vectorial revine la el însuși, pe când spinorii devin opusul lor.

Simetrii interne

Articol principal: Simetrie (fizică)

Câmpurile pot avea simetrii interne pe lângă simetriile spațiu-timpului. În multe situații, sunt necesare câmpuri care sunt o listă de scalari spațiu-timp: (φ₁, φ₂, ... φ_N). De exemplu, în prognoza meteo acestea pot fi temperatura, presiunea, umiditatea etc. În fizica particulelor, simetria de culoare a interacțiunii quarcurilor este un exemplu de simetrie internă, cea a interacțiunii tari. Alte exemple sunt izospinul^⁠(d), izospinul slab^⁠(d), stranietatea^⁠(d) și orice altă simetrie de aromă.

Dacă există o simetrie a problemei, care nu implică spațiu-timpul, sub care aceste componente se transformă unele în altele, atunci acest set de simetrii se numește simetrie internă. Se poate face și o clasificare a sarcinilor câmpurilor în raport cu simetriile interne.

Teoria statistică a câmpurilor

Articol principal: Teoria statistică a câmpurilor

Teoria statistică a câmpurilor încearcă să extindă paradigma teoriei câmpurilor către sistemele cu multe corpuri și mecanica statistică. Ca mai sus, ea poate fi abordată prin argumentul obișnuit al numărului infinit de grade de libertate.

La fel cum mecanica statistică are unele suprapuneri cu mecanica cuantică și cea clasică, teoria statistică a câmpurilor are legături atât cu teoriile cuantice, cât și cu cele clasice ale câmpurilor, în special cu prima, cu care împărtășește multe metode. Un exemplu important este teoria câmpului mediu^⁠(d).

Câmpuri aleatorii continue

Câmpurile clasice de mai sus, precum câmpul electromagnetic, sunt de obicei funcții infinit diferențiabile, dar în orice caz aproape întotdeauna de cel puțin două ori diferențiabile. În schimb, funcțiile generalizate^⁠(d) nu sunt continue. Atunci când se lucrează cu atenție cu câmpuri clasice la temperatură finită, se folosesc metodele matematice ale câmpurilor aleatorii continue, deoarece câmpurile clasice cu fluctuații termice^⁠(d) nu sunt nicăieri derivabile. Câmpurile aleatorii sunt mulțimi indexate de variabile aleatorii; un câmp aleatoriu continuu este un câmp aleatoriu care are o mulțime de funcții drept mulțime index. În special, este adesea convenabil din punct de vedere matematic să se considere un câmp aleatoriu continuu ca având un spațiu Schwartz^⁠(d) de funcții drept mulțime index, caz în care câmpul aleatoriu continuu este o distribuție temperată^⁠(d).

Ne putem gândi la un câmp aleatoriu continuu, într-un sens (foarte) aproximativ, ca la o funcție obișnuită care este $\pm \infty$ aproape peste tot, dar astfel încât, atunci când luăm o medie ponderată a tuturor infinităților pe orice regiune finită, obținem un rezultat finit. Infinitățile nu sunt bine definite; însă valorile finite pot fi asociate cu funcțiile folosite drept funcții de ponderare pentru a obține valorile finite, iar acest lucru poate fi bine definit. Putem defini suficient de bine un câmp aleatoriu continuu ca o transformare liniară dintr-un spațiu de funcții în numerele reale.

Bibliografie

• Feynman – Leighton – Sands: The Feynman Lectures on Physics, New Millennium Edition, Volume II: Mainly Electromagnetism and Matter, Basic Books, New York, 2010, ISBN 978-0-465-02416-2.
• Charles G. Torre: Introduction to Classical Field Theory, Department of Physics, Utah State University, 2016 (accesat la 6 noiembrie 2018).
• Ernan McMullin: The Origins of the Field Concept in Physics, Physics in Perspective, vol. 4, nr. 1, pp. 13–39, februarie 2002 (accesat la 6 noiembrie 2018).

Lectură suplimentară

• Academia Republicii Populare Române: Dicționar Enciclopedic Român, vol. I (A-C), Editura Politică, București, 1962, pp. 648-649.

Vezi și

• Teoria clasică a câmpurilor
• Teoria cuantică a câmpurilor