Cvadrivector

În relativitatea specială, un cvadrivector (numit uneori vector Lorentz) este un obiect matematic cu patru componente care se transformă într-un mod specific sub acțiunea transformărilor Lorentz. Mai precis, un cvadrivector este un element al unui spațiu vectorial cvadridimensional care realizează reprezentarea vectorială standard a grupului Lorentz.

Un cvadrivector diferă de un vector euclidian prin modul în care este definit produsul său scalar (sau „mărimea”), acesta fiind determinat de metrica Minkowski, și nu de o metrică euclidiană. Transformările care păstrează acest produs scalar sunt transformările Lorentz, care includ rotațiile spațiale^⁠(d) și transformările Lorentz de tip boost (schimbări de sistem de referință inerțial aflate în mișcare relativă uniformă).

Cvadrivectorii descriu, de exemplu, poziția $x^{\mu }$ în spațiu-timpul Minkowski, cvadrimpulsul^⁠(d) unei particule $p^{\mu }$, potențialul electromagnetic cvadrivectorial^⁠(d) $A^{\mu }(x)$ într-un punct al spațiu-timpului, precum și alte mărimi fizice fundamentale din teoria relativității și din teoria cuantică a câmpurilor.

Grupul Lorentz poate fi reprezentat prin matrici reale 4×4, notate Λ. Acțiunea unei transformări Lorentz asupra unui cvadrivector contravariant^⁠(d) general X (ca în exemplele de mai sus), considerat ca un vector coloană al componentelor sale într-un sistem de referință inerțial, este dată de relația

$X'=\Lambda X,$

unde componentele marcate cu prim se referă la noul sistem de referință. În mod corespunzător, există și cvadrivectori covarianți^⁠(d), precum x_μ, p_μ și A_μ(x). Aceștia se transformă conform relației

$X'=\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\textrm {T}}X,$

unde ^T indică transpusa matricei. Această lege de transformare diferă de cea a componentelor contravariante și este asociată reprezentării duale^⁠(d) a reprezentării vectoriale standard. În relativitatea specială, componentele covariante și contravariante ale unui cvadrivector sunt legate între ele prin tensorul metric Minkowski; ambele descriu același obiect geometric în spațiu-timp.

Un exemplu de obiect cu patru componente care se transformă covariant sub transformările Lorentz, dar nu este un cvadrivector, este bispinor^⁠(d). Deși are patru componente, bispinorul nu se transformă ca un cvadrivector, ci conform unei alte reprezentări a grupului Lorentz decât reprezentarea vectorială standard. În acest caz, legea de transformare este de forma X′ = Π(Λ)X, unde Π(Λ) este o matrice diferită de Λ. Considerații similare se aplică și altor obiecte relativiste bine definite, precum scalari, spinori^⁠(d), tensori și spinori-tensori.

Acest articol tratează cvadrivectorii în contextul relativității speciale. Deși noțiunea de cvadrivector poate fi extinsă și la relativitatea generală, unele dintre proprietățile și relațiile prezentate aici necesită modificări în cadrul unei teorii cu spațiu-timp curbiliniu.

Notație

În acest articol se folosesc următoarele convenții de notație: litere aldine mici pentru vectori tridimensionali, pălării pentru vectori unitari tridimensionali, litere aldine majuscule pentru cvadrivectori (cu excepția gradientului cvadrimensional) și notația indicilor tensoriali^⁠(d).

Algebră cu cvadrivectori

Cvadrivectori într-o bază cu valori reale

Un cvadrivector A este un vector cu o componentă „temporală" și trei componente „spațiale" și poate fi scris în mai multe notații echivalente:$${\begin{aligned}\mathbf {A} &=\left(A^{0},\,A^{1},\,A^{2},\,A^{3}\right)\\&=A^{0}\mathbf {E} _{0}+A^{1}\mathbf {E} _{1}+A^{2}\mathbf {E} _{2}+A^{3}\mathbf {E} _{3}\\&=A^{0}\mathbf {E} _{0}+A^{i}\mathbf {E} _{i}\\&=A^{\alpha }\mathbf {E} _{\alpha }\end{aligned}}$$unde A ^α sunt componentele contravariante^⁠(d) ale cvadrivectorului, iar E_α sunt vectorii de bază contravarianți ai spațiului vectorial cvadridimensional. Ambele sunt necesare pentru a defini un vector; atunci când A^α apare singur, el desemnează strict componentele cvadrivectorului într-o bază aleasă.

Indicii superiori indică componente contravariante. Convenția standard este ca indicii latini să desemneze componentele spațiale (i = 1, 2, 3), iar indicii greci să desemneze atât componenta temporală, cât și pe cele spațiale (α = 0, 1, 2, 3), fiind utilizată convenția de sumare^⁠(d) a lui Einstein. Separarea explicită dintre componenta temporală și cele spațiale este utilă în calculul contracțiilor cu alte mărimi tensoriale, de exemplu la determinarea invarianților Lorentz sau la operațiile de ridicare și coborâre a indicilor^⁠(d).

În relativitatea specială, baza spațială E₁, E₂, E₃ și componentele A¹, A², A³ sunt adesea alese cartezian, caz în care cvadrivectorul poate fi exprimat folosind coordonatele temporale și spațiale standard:$${\begin{aligned}\mathbf {A} &=\left(A_{t},\,A_{x},\,A_{y},\,A_{z}\right)\\&=A_{t}\mathbf {E} _{t}+A_{x}\mathbf {E} _{x}+A_{y}\mathbf {E} _{y}+A_{z}\mathbf {E} _{z}\\\end{aligned}}$$Totuși, se pot utiliza și alte sisteme de coordonate, precum coordonatele polare sferice:$${\begin{aligned}\mathbf {A} &=\left(A_{t},\,A_{r},\,A_{\theta },\,A_{\phi }\right)\\&=A_{t}\mathbf {E} _{t}+A_{r}\mathbf {E} _{r}+A_{\theta }\mathbf {E} _{\theta }+A_{\phi }\mathbf {E} _{\phi }\\\end{aligned}}$$sau coordonate polare cilindrice:$${\begin{aligned}\mathbf {A} &=(A_{t},\,A_{r},\,A_{\theta },\,A_{z})\\&=A_{t}\mathbf {E} _{t}+A_{r}\mathbf {E} _{r}+A_{\theta }\mathbf {E} _{\theta }+A_{z}\mathbf {E} _{z}\\\end{aligned}}$$sau alte coordonate ortogonale^⁠(d) sau chiar coordonate curbilinii generale.

Este important de remarcat că etichetele coordonatelor sunt subscrise doar ca nume ale coordonatelor, nu ca indici care iau valori numerice. În relativitatea generală, utilizarea coordonatelor curbilinii și a bazelor locale devine esențială.

Din punct de vedere geometric, un cvadrivector poate fi interpretat ca o „săgeată" în spațiu-timp, nu doar în spațiul tridimensional. În relativitate, astfel de săgeți sunt reprezentate în mod obișnuit în cadrul diagramelor Minkowski^⁠(d) (sau diagrame spațiu-timp). În acest articol, termenul „vector" va fi folosit, atunci când contextul este clar, cu sensul de cvadrivector.

De asemenea, este frecvent ca vectorii de bază să fie reprezentați sub formă de vectori coloană, caz în care cvadrivectorul este exprimat printr-o coloană a componentelor sale:$$\mathbf {E} _{0}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {E} _{1}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {E} _{2}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {E} _{3}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}}$$astfel încât:$$\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}A^{0}\\A^{1}\\A^{2}\\A^{3}\end{pmatrix}}$$

Relația dintre componentele covariante și contravariante este stabilită prin intermediul tensorului metric^⁠(d) Minkowski notat η, care permite ridicarea și coborârea indicilor:$$A_{\mu }=\eta _{\mu \nu }A^{\nu }\,,$$și, în diferite notații echivalente:$${\begin{aligned}\mathbf {A} &=(A_{0},\,A_{1},\,A_{2},\,A_{3})\\&=A_{0}\mathbf {E} ^{0}+A_{1}\mathbf {E} ^{1}+A_{2}\mathbf {E} ^{2}+A_{3}\mathbf {E} ^{3}\\&=A_{0}\mathbf {E} ^{0}+A_{i}\mathbf {E} ^{i}\\&=A_{\alpha }\mathbf {E} ^{\alpha }\\\end{aligned}}$$unde E^α sunt vectorii de bază covarianți (formele duale). În coordonate ortogonale metrica este adesea diagonală, însă acest lucru nu mai este valabil în coordonate curbilinii generale.

Bazele covariante pot fi reprezentate prin vectori linie:$$\mathbf {E} ^{0}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {E} ^{1}={\begin{pmatrix}0&1&0&0\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {E} ^{2}={\begin{pmatrix}0&0&1&0\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {E} ^{3}={\begin{pmatrix}0&0&0&1\end{pmatrix}}$$astfel încât:$$\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}A_{0}&A_{1}&A_{2}&A_{3}\end{pmatrix}}$$

Motivația acestor convenții constă în faptul că produsul scalar Minkowski al cvadrivectorilor este un scalar invariant Lorentz, proprietate esențială în relativitatea specială.

Transformarea Lorentz

Considerând două sisteme de referință inerțiale (eventual rotite sau în mișcare relativă), un cvadrivector este definit ca o mărime care se transformă conform unei transformări Lorentz, reprezentată printr-o matrice Λ:$$\mathbf {A} '={\boldsymbol {\Lambda }}\mathbf {A}$$

În notația cu indici, componentele contravariante și covariante se transformă conform regulilor standard corespunzătoare acțiunii matricii Lorentz și a inversei sale transpuse:$${A'}^{\mu }=\Lambda ^{\mu }{}_{\nu }A^{\nu }\,,\quad {A'}_{\mu }=\Lambda _{\mu }{}^{\nu }A_{\nu }=((\Lambda ^{-1})^{T})_{\mu }{}^{\nu }A_{\nu }$$

Proprietatea definitorie a transformărilor Lorentz este că ele preservează metrica Minkowski:$$\Lambda ^{\rho }{}_{\mu }\eta _{\rho \sigma }\Lambda ^{\sigma }{}_{\nu }=\eta _{\mu \nu }$$ceea ce garantează că produsul scalar Minkowski dintre doi cvadrivectori rămâne invariant sub transformări Lorentz. Transformările Lorentz formează un grup Lie, notat $O(1,3)$, iar subgrupul său conex la identitate este $SO^{+}(1,3)$. Aceste grupuri au proprietatea că orice compoziție de transformări Lorentz este, la rândul ei, o transformare Lorentz.

Rotații pure în jurul unei axe arbitrare

Pentru două cadre de referință care diferă doar printr-o rotație spațială cu un unghi fix θ în jurul unei axe definite de un versor unitar, transformarea Lorentz asociată nu implică amestecarea componentelor temporale cu cele spațiale:$${\hat {\mathbf {n} }}=\left({\hat {n}}_{1},{\hat {n}}_{2},{\hat {n}}_{3}\right)\,,$$

Matricea Λ are componentele date de:$${\begin{aligned}\Lambda _{00}&=1\\\Lambda _{0i}=\Lambda _{i0}&=0\\\Lambda _{ij}&=\left(\delta _{ij}-{\hat {n}}_{i}{\hat {n}}_{j}\right)\cos \theta -\varepsilon _{ijk}{\hat {n}}_{k}\sin \theta +{\hat {n}}_{i}{\hat {n}}_{j}\end{aligned}}$$

În acest caz, componenta temporală a cvadrivectorului rămâne neschimbată, iar componentele spațiale sunt rotite conform regulilor obișnuite ale rotațiilor tridimensionale. Această proprietate reflectă faptul că rotațiile spațiale nu generează dilatări temporale relativiste.

În situația particulară a unei rotații în jurul axei z, partea spațială a matricei Lorentz se reduce la matricea de rotație tridimensională corespunzătoare, aplicată componentelor spațiale ale cvadrivectorului, în timp ce componenta temporală rămâne invariantă:$${\begin{pmatrix}{A'}^{0}\\{A'}^{1}\\{A'}^{2}\\{A'}^{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&\cos \theta &-\sin \theta &0\\0&\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A^{0}\\A^{1}\\A^{2}\\A^{3}\end{pmatrix}}\ .$$

Transformări Lorentz de tip boost într-o direcție arbitrară

Configurația standard a sistemelor de coordonate; pentru un impuls Lorentz în direcția x.

Pentru două cadre de referință inerțiale care se deplasează unul față de celălalt cu o viteză relativă tridimensională constantă v (nu cu o cvadriviteză; a se vedea mai jos), este convenabil să se introducă viteza relativă exprimată în unități ale vitezei luminii c, sub forma vectorului adimensional β:${\boldsymbol {\beta }}=(\beta _{1},\,\beta _{2},\,\beta _{3})={\frac {1}{c}}(v_{1},\,v_{2},\,v_{3})={\frac {1}{c}}\mathbf {v} \,.$

În absența rotațiilor spațiale între cadre, matricea transformării Lorentz Λ are componentele date de:$${\begin{aligned}\Lambda _{00}&=\gamma ,\\\Lambda _{0i}=\Lambda _{i0}&=-\gamma \beta _{i},\\\Lambda _{ij}=\Lambda _{ji}&=(\gamma -1){\frac {\beta _{i}\beta _{j}}{\beta ^{2}}}+\delta _{ij},\\\end{aligned}}$$unde factorul Lorentz γ este definit prin $\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\boldsymbol {\beta }}\cdot {\boldsymbol {\beta }}}}}\,,$ iar δ_ij este delta Kronecker^⁠(d).

Spre deosebire de cazul rotațiilor spațiale pure, în transformările Lorentz de tip boost componentele temporale și cele spațiale ale cvadrivectorilor sunt amestecate. Această proprietate este o consecință a legării timpului și spațiului în teoria relativității.

Pentru cazul particular al unui boost exclusiv în direcția axei x, matricea Lorentz se reduce la forma:${\begin{pmatrix}A'^{0}\\A'^{1}\\A'^{2}\\A'^{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cosh \phi &-\sinh \phi &0&0\\-\sinh \phi &\cosh \phi &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A^{0}\\A^{1}\\A^{2}\\A^{3}\end{pmatrix}}$

Dacă este utilizată rapiditatea^⁠(d) ϕ, o mărime aditivă^⁠(d) pentru boost-uri coliniare și exprimată prin funcții hiperbolice, atunci factorul Lorentz este dat de relația $\gamma =\cosh \phi$, iar viteza relativă se exprimă ca $\beta =\tanh \phi$.

Această formulare evidențiază faptul că un boost poate fi interpretat geometric drept o rotație hiperbolică^⁠(d) în spațiu-timpul Minkowski cvadridimensional, analogă rotațiilor circulare din spațiul tridimensional euclidian. Spre deosebire de adunarea vitezelor (care nu este liniară), rapiditățile se adună în mod liniar: $\phi _{\text{total}}=\phi _{1}+\phi _{2}$ pentru boost-uri consecutive în aceeași direcție.

Proprietatea de necomutativitate: Doi boosteri în direcții diferite NU comută, adică ordinea aplicării lor contează. Rezultatul a doi boosteri succesivi în direcții diferite include o rotație suplimentară, cunoscuta sub numele de rotația Thomas-Wigner^⁠(d), care este importantă în interacțiunile spin-orbită și precesia de spin.

Proprietăți

Liniaritate

Cvadrivectorii au aceleași proprietăți de liniaritate ca vectorii euclidieni tridimensionali. Aceștia pot fi adunați componentă cu componentă:$\mathbf {A} +\mathbf {B} =\left(A^{0},A^{1},A^{2},A^{3}\right)+\left(B^{0},B^{1},B^{2},B^{3}\right)=\left(A^{0}+B^{0},A^{1}+B^{1},A^{2}+B^{2},A^{3}+B^{3}\right)$

În mod similar, înmulțirea cu un scalar λ este definită componentă cu componentă$\lambda \mathbf {A} =\lambda \left(A^{0},A^{1},A^{2},A^{3}\right)=\left(\lambda A^{0},\lambda A^{1},\lambda A^{2},\lambda A^{3}\right)$

Operația de scădere este definită ca adunare cu inversul aditiv și se aplică, de asemenea, componentă cu componentă:$\mathbf {A} +(-1)\mathbf {B} =\left(A^{0},A^{1},A^{2},A^{3}\right)+(-1)\left(B^{0},B^{1},B^{2},B^{3}\right)=\left(A^{0}-B^{0},A^{1}-B^{1},A^{2}-B^{2},A^{3}-B^{3}\right)$

Cvadrivectorii transformați sub transformări Lorentz rămân liniari în operații de adunare și înmulțire scalară, garantând compatibilitatea acestor operații cu covarianta relativistă.

Tensorul Minkowski și produsul scalar

Aplicând tensorul metric Minkowski η_μν la doi cvadrivectori A și B, produsul lor scalar poate fi exprimat, folosind notația lui Einstein, ca: $\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A^{\mu }B^{\nu }\mathbf {E} _{\mu }\cdot \mathbf {E} _{\nu }=A^{\mu }\eta _{\mu \nu }B^{\nu }$

În relativitatea specială, produsul scalar al vectorilor de bază este determinat de metrica Minkowski, și nu de delta Kronecker, ca în spațiul euclidian. Pentru claritate, această definiție poate fi rescrisă în formă matriceală:

$\mathbf {A\cdot B} ={\begin{pmatrix}A^{0}&A^{1}&A^{2}&A^{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\eta _{00}&\eta _{01}&\eta _{02}&\eta _{03}\\\eta _{10}&\eta _{11}&\eta _{12}&\eta _{13}\\\eta _{20}&\eta _{21}&\eta _{22}&\eta _{23}\\\eta _{30}&\eta _{31}&\eta _{32}&\eta _{33}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B^{0}\\B^{1}\\B^{2}\\B^{3}\end{pmatrix}}$

Metrica Minkowski nu este o metrică euclidiană, deoarece este indefinită^⁠(d) (a se vedea signatura metrică). Tensorul metric permite ridicarea și coborârea indicilor, astfel încât produsul scalar poate fi exprimat în mai multe forme echivalente, în funcție de natura componentelor covariante sau contravariante ale cvadrivectorilor:

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A^{\mu }\eta _{\mu \nu }B^{\nu }=A_{\nu }B^{\nu }=A^{\mu }B_{\mu }$$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}A_{0}&A_{1}&A_{2}&A_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B^{0}\\B^{1}\\B^{2}\\B^{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}B_{0}&B_{1}&B_{2}&B_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A^{0}\\A^{1}\\A^{2}\\A^{3}\end{pmatrix}}$

Aplicând tensorul Minkowski unui cvadrivector A cu el însuși, se obține $\mathbf {A\cdot A} =A^{\mu }\eta _{\mu \nu }A^{\nu }$ care poate fi interpretată, în funcție de semnul și signatura metricii, ca pătratul sau negativul pătratului „lungimii" cvadrivectorului.

Baza standard, signatura (+−−−)

În convenția cu signatura metrică (+−−−), evaluarea explicită a produsului scalar conduce la $\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A^{0}B^{0}-A^{1}B^{1}-A^{2}B^{2}-A^{3}B^{3}$, respectiv la forma matriceală asociată.$\mathbf {A\cdot B} ={\begin{pmatrix}A^{0}&A^{1}&A^{2}&A^{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B^{0}\\B^{1}\\B^{2}\\B^{3}\end{pmatrix}}$

Un rezultat fundamental al relativității speciale este faptul că produsul scalar Minkowski a doi cvadrivectori este invariant Lorentz. Astfel, dacă produsul scalar are valoarea C într-un sistem de referință și valoarea C′ într-un alt sistem, atunci aceste valori sunt egale. Aceasta poate fi demonstrată din proprietatea de conservare a metricii sub transformări Lorentz:

$${\begin{aligned}\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} &=A^{\mu }\eta _{\mu \nu }B^{\nu }\\&=(\Lambda ^{\alpha }{}_{\mu }A^{\mu })\,\eta _{\alpha \beta }\,(\Lambda ^{\beta }{}_{\nu }B^{\nu })\\&=A^{\mu }(\Lambda ^{\alpha }{}_{\mu }\eta _{\alpha \beta }\Lambda ^{\beta }{}_{\nu })B^{\nu }\\&=A^{\mu }\eta _{\mu \nu }B^{\nu }\end{aligned}}$$

unde s-a utilizat relația Λ^α_μ η_αβ Λ^β_ν = η_μν, care definește transformările Lorentz. Deși componentele cvadrivectorilor se modifică de la un sistem de referință la altul, valoarea produsului scalar rămâne aceeași pentru toți observatorii inerțiali.

În această signatură metrică, cvadrivectorii pot fi clasificați după signul A · A:

• Cvadrivector de tip temporal: A · A < 0 (legătura cauzală posibilă)
• Cvadrivector de tip nul: A · A = 0 (se propagă cu viteza luminii)
• Cvadrivector de tip spațial: A · A > 0 (nu poate fi legat cauzal)

Baza standard, signatura (−+++)

Unii autori folosesc convenția opusă pentru tensorul metric, corespunzătoare signaturii (−+++). În acest caz, produsul scalar ia forma:$\mathbf {A\cdot B} =-A^{0}B^{0}+A^{1}B^{1}+A^{2}B^{2}+A^{3}B^{3}$ cu reprezentarea matriceală asociată:$\mathbf {A\cdot B} =\left({\begin{matrix}A^{0}&A^{1}&A^{2}&A^{3}\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}B^{0}\\B^{1}\\B^{2}\\B^{3}\end{matrix}}\right)$

Deși expresiile intermediare diferă prin semn, relațiile fizice și interpretarea geometrică rămân neschimbate. Singura diferență între componentele covariante și contravariante ale cvadrivectorilor constă în semnele acestora, determinate de convenția de semn utilizată. Alegerea uneia dintre cele două convenții este o chestiune de preferință; ambele conduc la aceleași rezultate fizice.

Vectori duali (covectori)

Aplicarea tensorului Minkowski poate fi interpretată ca acțiunea vectorului dual^⁠(d) (sau covectorului^⁠(d)) asociat unui cvadrivector asupra altuia: $\mathbf {A\cdot B} =A^{*}(\mathbf {B} )=A_{\nu }B^{\nu }\,,$

În această interpretare, componentele covariante ale cvadrivectorului A_μ = η_μν A^ν reprezintă coordonatele vectorului dual în baza duală^⁠(d), în timp ce componentele contravariante A^μ reprezintă coordonatele vectorului în baza originală. Vectorii duali sunt esențiali în relativitate pentru a interpreta geometric produsul scalar ca o acțiune a unei funcționale liniare (formă de gradul 1) asupra unui vector.

Calcul cvadrivectorial

Derivate și diferențiale

În relativitatea specială (dar nu și în relativitatea generală), derivata unui cvadrivector în raport cu un scalar invariant λ este, la rândul ei, un cvadrivector. În mod analog, este util să se considere diferențiala unui cvadrivector dA și să se raporteze aceasta la diferențiala scalarului dλ:$${\underset {\text{diferențială}}{d\mathbf {A} }}={\underset {\text{derivată}}{\frac {d\mathbf {A} }{d\lambda }}}{\underset {\text{diferențială}}{d\lambda }}$$Componentele contravariante ale diferențialei sunt date de $d\mathbf {A} =\left(dA^{0},dA^{1},dA^{2},dA^{3}\right)$, iar componentele covariante sunt date de $d\mathbf {A} =\left(dA_{0},dA_{1},dA_{2},dA_{3}\right)$.

În mecanica relativistă, este frecvent utilizată diferențierea unui cvadrivector în raport cu timpul propriu, prin împărțirea diferențialei la diferențiala timpului propriu (a se vedea mai jos).

Cvadrivectorii fundamentali

Cvadrivectorul de poziție

Un punct din spațiul Minkowski este caracterizat printr-o poziție temporală și una spațială și este numit eveniment. Acesta poate fi descris printr-un cvadrivector de poziție într-un anumit sistem de referință inerțial, exprimat printr-un set de patru coordonate $\mathbf {R} =\left(ct,\mathbf {r} \right)$.

Dacă vectorul de poziție spațială r este o funcție de coordonata timp t în același sistem de referință, adică r = r(t), atunci această descriere corespunde unei succesiuni continue de evenimente pe măsură ce timpul variază. Definiția componentei temporale R₀ = ct asigură faptul că toate coordonatele au aceleași unități fizice (de lungime). Aceste coordonate reprezintă componentele cvadrivectorului de poziție asociat evenimentului.

Cvadrivectorul de deplasare și intervalul spațiu-timp

Cvadrivectorul de deplasare este definit ca diferența dintre două evenimente și poate fi interpretat geometric ca o „săgeată" care leagă aceste evenimente în spațiu-timp:$\Delta \mathbf {R} =\left(c\Delta t,\Delta \mathbf {r} \right)$.

Pentru deplasarea diferențială de-a lungul unei linii de univers, norma pătrată a diferențialei cvadrivectorului de poziție este dată de relația (cu signatura (−,+,+,+)):$\|d\mathbf {R} \|^{2}=\mathbf {dR\cdot dR} =dR^{\mu }dR_{\mu }=-(cdt)^{2}+d\mathbf {r} \cdot d\mathbf {r} =-c^{2}d\tau ^{2}=-ds^{2}\,,$

care definește elementul de linie^⁠(d) diferențială ds și incrementul de timp diferențial al timpului propriu dτ.

Aceeași normă poate fi exprimată și în funcție de diferențialele de coordonată temporală și spațială:$\|d\mathbf {R} \|^{2}=-(cdt)^{2}+d\mathbf {r} \cdot d\mathbf {r} \,,$

de unde rezultă relația fundamentală dintre coordonata timp și timpul propriu $(cd\tau )^{2}=(cdt)^{2}-d\mathbf {r} \cdot d\mathbf {r} \,.$

Semnul și mărimea intervalului spațiu-timp clasifică relația de cauzalitate dintre evenimente:

• Interval de tip timp ($(cdt)^{2}>d\mathbf {r} \cdot d\mathbf {r}$): Două evenimente pot fi legate cauzal; există un observator pentru care sunt colocale (același loc, diferit timp)
• Interval nul ($(cdt)^{2}=d\mathbf {r} \cdot d\mathbf {r}$): Două evenimente sunt legate prin propagare cu viteza luminii (exemple: fotoni, semnale electromagnetice)
• Interval de tip spațiu ($(cdt)^{2}<d\mathbf {r} \cdot d\mathbf {r}$): Două evenimente nu pot fi legate cauzal, sunt separate spațial în toate sistemele de referință

Invarianța intervalului spațiu-timp este un principiu fundamental: toate observatorii inerțiali măsoare același interval ds dintre orice două evenimente, chiar dacă măsoară diferit coordonatele Δt și Δr.

Relația dintre derivate în timp propriu și timp coordonat

În analiza fenomenelor fizice apar în mod natural ecuații diferențiale. Totuși, atunci când se consideră derivate temporale și spațiale ale unor funcții, nu este întotdeauna evident în raport cu ce sistem de referință sunt definite aceste derivate. Prin convenție, derivatele temporale sunt luate în raport cu timpul propriu^⁠(d) τ al particulei, întrucât acesta este un invariant relativist. Deoarece timpul propriu este un invariant relativist, derivata în raport cu acesta a oricărui cvadrivector este, la rândul ei, un cvadrivector (proprietatea de liniaritate a derivării asigură covarianta).

Este astfel necesar să se stabilească o relație între derivata în raport cu timpul propriu și derivata în raport cu coordonata timp^⁠(d) t al unui sistem de referință inerțial. Această relație se obține pornind de la intervalul spațiu-timp invariant și conduce la expresia:$\left({\frac {cd\tau }{cdt}}\right)^{2}=1-\left({\frac {d\mathbf {r} }{cdt}}\cdot {\frac {d\mathbf {r} }{cdt}}\right)=1-{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}={\frac {1}{\gamma (\mathbf {u} )^{2}}}\,,$

Aici u = dr/dt reprezintă viteza tridimensională a obiectului, măsurată în același sistem de referință ca și coordonatele spațiale și coordonata timp, iar $\gamma (\mathbf {u} )={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}}}}$ este factorul Lorentz corespunzător. Din această relație rezultă legătura fundamentală dintre diferențialele de timp de coordonată și de timp propriu $dt=\gamma (\mathbf {u} )d\tau \,.$, care poate fi obținută și direct din transformările Lorentz.

Cvadrivectorii importanți utilizați în teoria relativității (cum ar fi cvadriviteza și cvadrimpulsul) pot fi definiți prin aplicarea operatorului de derivare în raport cu timpul propriu, ${\frac {d}{d\tau }}$.

Gradientul cvadrimensional

Deoarece derivatele parțiale sunt operatori liniari, se poate construi un gradient cvadridimensional pornind de la derivata temporală parțială și gradientul spațial. Folosind baza standard și notația cu indici, componentele contravariante^⁠(d) ale acestui operator sunt date de:${\textstyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\partial }}^{\alpha }&=\left({\frac {\partial }{\partial x^{0}}},\,-{\frac {\partial }{\partial x^{1}}},\,-{\frac {\partial }{\partial x^{2}}},\,-{\frac {\partial }{\partial x^{3}}}\right)\\&=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},\,-\nabla \right)\\\end{aligned}}}$

Componentele covariante ale gradientului cvadrimensional sunt legate de componentele contravariante prin metrica Minkowski și sunt date de:${\textstyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\partial }}_{\alpha }&=\left({\frac {\partial }{\partial x^{0}}},\,{\frac {\partial }{\partial x^{1}}},\,{\frac {\partial }{\partial x^{2}}},\,{\frac {\partial }{\partial x^{3}}}\right)\\&=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},\,\nabla \right)\\\end{aligned}}}$

(cu signatura metricii Minkowski $(+,-,-,-)$; pentru signatura $(−,+,+,+)$ semnele se inversează). Operatorul gradient covariant și contravariant sunt legate prin relația de ridicare și coborâre a indicilor: $\partial ^{\alpha }=\eta ^{\alpha \beta }\partial _{\beta }$, unde η este metrica Minkowski.

Operatorul D'Alembert^⁠(d) (numit și operatorul de undă) este invariant Lorentz și se obține ca produsul scalar Minkowski a gradientului cu el însuși:

$\Box =\partial ^{\mu }\partial _{\mu }={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}$

Acesta este analogul relativist al laplacianului din spațiul euclidian și apare în ecuații fundamentale ale fizicii relativiste:

• Ecuația undei electromagnetice: $\Box A^{\mu }=\mu _{0}J^{\mu }$ (unde A este potențialul electromagnetic)
• Ecuația Klein-Gordon: $\Box \psi +{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi =0$ (ecuație pentru particule scalare relativiste)
• Ecuația undei gravitaționale în relativitate generală (în gauge-ul apropiat)

Operatorul D'Alembertian fiind invariant Lorentz, orice ecuație de undă scrisă cu ajutorul lui rămâne valabilă în orice sistem de referință inerțial.

Cinematică

Cvadriviteză

Cvadriviteza unei particule este definită ca derivata cvadrivectorului de poziție în raport cu timpul propriu τ: $\mathbf {U} ={\frac {d\mathbf {X} }{d\tau }}={\frac {d\mathbf {X} }{dt}}{\frac {dt}{d\tau }}=\gamma (\mathbf {u} )\left(c,\mathbf {u} \right),$

unde $\gamma (\mathbf {u} )=1/{\sqrt {1-\mathbf {u} ^{2}/c^{2}}}$ este factorul Lorentz, u este viteza tridimensională a particulei, iar $\tau =t/\gamma (\mathbf {u} )$ este timpul propriu măsurat care se mișcă cu particula.

Din punct de vedere geometric, U este un vector tangent la linia de univers a particulei în spațiu-timp Minkowski, normalizat în raport cu metrica Minkowski. Linia de univers este curba cvadridimensională pe care particula o urmează în spațiu-timp, cu parametrizare prin timp propriu τ.

Utilizând diferențiala cvadrivectorului de poziție $dX^{\mu }=(c\,dt,d\mathbf {r} )$, se poate determina norma cvadrivitezei:$\|\mathbf {U} \|^{2}=U^{\mu }U_{\mu }={\frac {dX^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dX_{\mu }}{d\tau }}={\frac {dX^{\mu }dX_{\mu }}{d\tau ^{2}}}=-c^{2}\,,$

(folosind signatura metricii Minkowski cu convenția (−,+,+,+)). Rezultă astfel că norma cvadrivitezei este o constantă universală pentru orice tardion și este o proprietate invariantă Lorentz: $\|\mathbf {U} \|^{2}=-c^{2}$

Aceeași normă poate fi exprimată și în funcție de viteza tridimensională u și de factorul Lorentz corespunzător $\|\mathbf {U} \|^{2}=-{\gamma (\mathbf {u} )}^{2}\left(c^{2}-\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} \right)=-c^{2}\,,$ din care se recuperează în mod direct definiția factorului Lorentz: $\gamma (\mathbf {u} )={\frac {1}{\sqrt {1-\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} /c^{2}}}}\,.$

Componentele cvadrivitezei au interpretări fizice distincte:

• Componenta temporală: $U^{0}=\gamma (\mathbf {u} )c=c{\frac {dt}{d\tau }}$, care măsoară dilatarea temporală
• Componente spațiale: $U^{i}=\gamma (\mathbf {u} )u^{i}$, care sunt egale cu impulsul relativist per unitate de masă

În Sistemul Internațional, cvadriviteza folosește unitatea m/s, iar în sistemele de unități geometrizate (unde c = 1) este adimensională. Cvadriviteza este un cvadrivector contravariant.

Linia de univers și curbura spațiu-timp

Linia de univers a unei particule este o curbă în spațiu-timp Minkowski reprezentată parametric prin $\mathbf {X} (\tau )=(c\tau ,\mathbf {r} (\tau ))$. Forma liniei de univers depinde de mișcarea particulei:

• Particula în repaus: linia de univers este o dreaptă verticală (paralelă cu axa timpului)
• Mișcare uniformă: linia de univers este o dreaptă înclinată
• Mișcare accelerată: linia de univers este o curbă (hiperbolă în cazul accelerației constante), care se abate din ce în ce mai mult de la orizontală

Conul de lumină impune o restricție fundamentală: linia de univers al oricărui tardion trebuie să rămână în interiorul conului de lumină, ceea ce asigură că viteza sa rămâne întotdeauna mai mică decât viteza luminii.

Cvadriaccelerație

Cvadriaccelerația este definită ca derivata cvadrivitezei în raport cu timpul propriu:$\mathbf {A} ={\frac {d\mathbf {U} }{d\tau }}=\gamma ^{4}(\mathbf {u} )\left({\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {u} }{c}},\mathbf {a} +{\frac {\mathbf {u} \times (\mathbf {u} \times \mathbf {a} )}{c^{2}}}\right)$

unde a = du/dt reprezintă accelerația tridimensională obișnuită. Formula poate fi rescrisă mai compact ca:

$\mathbf {A} =\gamma ^{4}(\mathbf {u} )\left({\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {u} }{c}},\gamma ^{-2}\mathbf {a} _{\parallel }+\mathbf {a} _{\perp }\right)$

unde $\mathbf {a} _{\parallel }$ și $\mathbf {a} _{\perp }$ sunt componentele accelerației paralele și, respectiv, perpendiculare pe viteza particulei.

Deoarece norma cvadrivitezei este constantă, cvadriaccelerația este ortogonală (în sens Minkowski) față de cvadriviteză. Această proprietate se exprimă prin faptul că produsul scalar Minkowski dintre A și U este nul:$\mathbf {A} \cdot \mathbf {U} =A^{\mu }U_{\mu }={\frac {dU^{\mu }}{d\tau }}U_{\mu }={\frac {1}{2}}\,{\frac {d}{d\tau }}\left(U^{\mu }U_{\mu }\right)=0\,$

Aceasta poate fi demonstrată direct: din $\mathbf {U} \cdot \mathbf {U} =-c^{2}={\text{const}}$, diferențiind în raport cu τ se obține $2\mathbf {A} \cdot \mathbf {U} =0$, de unde $\mathbf {A} \cdot \mathbf {U} =0$.

Din punct de vedere geometric, cvadriaccelerația reprezintă vectorul de curbură al liniei de univers în spațiu-timp Minkowski, măsurând abaterea de la o traiectorie inerțială (dreaptă). Pentru particula în cădere liberă sub gravitație (în relativitate generală), cvadriaccelerația este nulă, iar linia de univers este o geodezică a spațiu-timpului curbat.

Dinamică

Cvadrimpuls

Pentru un tardion^⁠(d) cu masa invariantă^⁠(d) m₀, cvadrimpulsul este definit ca produsul dintre masa invariantă și cvadriviteză:$\mathbf {P} =m_{0}\mathbf {U} =m_{0}\gamma (\mathbf {u} )(c,\mathbf {u} )=\left({\frac {E}{c}},\mathbf {p} \right)$

unde cvadriviteza este $\mathbf {U} =\gamma (\mathbf {u} )(c,\mathbf {u} )$, cu factorul Lorentz $\gamma (\mathbf {u} )=1/{\sqrt {1-\mathbf {u} ^{2}/c^{2}}}$, și satisface constrângerea de normalizare $\mathbf {U} \cdot \mathbf {U} =-c^{2}$ (invariantă în spațiu-timp Minkowski).

Componentele acestui cvadrivector pot fi identificate cu energia totală a particulei și impulsul său relativist tridimensional: $E=\gamma (\mathbf {u} )m_{0}c^{2}$, $\mathbf {p} =\gamma (\mathbf {u} )m_{0}\mathbf {u}$.

Produsul scalar Minkowski al cvadrimpulsului cu el însuși este invariant și este egal cu pătratul masei de repaus înmulțit cu pătratul vitezei luminii:$\|\mathbf {P} \|^{2}=P^{\mu }P_{\mu }=m_{0}^{2}U^{\mu }U_{\mu }=m_{0}^{2}c^{2}$.

Aceeași mărime poate fi exprimată în funcție de energie și impuls: $\|\mathbf {P} \|^{2}={\frac {E^{2}}{c^{2}}}-\mathbf {p} \cdot \mathbf {p}$ ceea ce conduce la relația fundamentală energie-impuls^⁠(d):$E^{2}=c^{2}\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} +\left(m_{0}c^{2}\right)^{2}\,.$

Această relație joacă un rol central în mecanică relativistă^⁠(d), mecanica cuantică relativistă^⁠(d) și în teoria cuantică relativistă a câmpurilor, fiind esențială pentru fizica particulelor elementare. Pentru particule fără masă de repaus, precum fotonii ($m_{0}=0$), relația se simplifică la $E=c|\mathbf {p} |$, în timp ce pentru particule în repaus ($u=0$) aceasta redă expresia energiei de repaus cunoscută $E_{0}=m_{0}c^{2}$.

Cvadriaccelerație

Cvadriaccelerația particulei este definită ca derivata cvadrivitezei în raport cu timpul propriu:

$\mathbf {A} ={\frac {d\mathbf {U} }{d\tau }}=\gamma ^{4}(\mathbf {u} )\left({\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {u} }{c}},\mathbf {a} +{\frac {\mathbf {u} \times (\mathbf {u} \times \mathbf {a} )}{c^{2}}}\right)$

unde a = du/dt este accelerația tridimensională obișnuită, iar τ este timpul propriu al particulei.

O proprietate fundamentală a cvadriaccelerației este ortogonalitatea sa față de cvadriviteză în metrica Minkowski:

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {U} =A^{\mu }U_{\mu }=0$

Această relație rezultă din diferențierea constrângerii de normalizare $\mathbf {U} \cdot \mathbf {U} =-c^{2}$, ceea ce impune ca accelerația cvadrivectorială să fie perpendiculară pe direcția de mișcare în spațiu-timp.

Cvadriforță

Cvadriforța care acționează asupra unei particule este definită, în mod analog forței tridimensionale din mecanica clasică, ca derivata cvadrimpulsului în raport cu timpul propriu:$\mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {P} }{d\tau }}=\gamma (\mathbf {u} )\left({\frac {1}{c}}{\frac {dE}{dt}},{\frac {d\mathbf {p} }{dt}}\right)=\gamma (\mathbf {u} )\left({\frac {\mathbf {f} \cdot \mathbf {u} }{c}},\mathbf {f} \right)$

În această expresie, f = d(γm₀u)/dt este forța tridimensională obișnuită, iar relația ${\frac {dE}{dt}}=\mathbf {f} \cdot \mathbf {u}$ exprimă puterea mecanică transferată particulei.

Componentele cvadriforței au semnificații fizice distincte:

• Componenta temporală: $F^{0}=\gamma {\frac {\mathbf {f} \cdot \mathbf {u} }{c}}={\frac {1}{c}}{\frac {dE}{dt}}$, proporțională cu puterea mecanică
• Componentele spațiale: $F^{i}=\gamma f^{i}$, legate de rata schimbării impulsului tridimensional

Pentru o particulă cu masa invariantă constantă, cvadriforța este proporțională cu cvadriaccelerația, oferind analogul relativist al legii Newton:$\mathbf {F} =m_{0}\mathbf {A}$

Un invariant important asociat cvadriforței este produsul scalar Minkowski dintre cvadriforță și cvadriviteză, care este nul $\mathbf {F} \cdot \mathbf {U} =F^{\mu }U_{\mu }=m_{0}A^{\mu }U_{\mu }=0$. Această proprietate rezultă direct din ortogonalitatea cvadriaccelerației față de cvadriviteză și garantează că puterea transferată unei particule este coerentă cu creșterea energiei sale relativiste.

Forța Lorentz în formă covariantă

Pentru o particulă încărcată care se mișcă într-un câmp electromagnetic, cvadriforța poate fi exprimată în termeni ai tensorului electromagnetic F^μν:

$\mathbf {F} =q\mathbf {F} \cdot \mathbf {U} \quad {\text{sau}}\quad F^{\mu }=qF^{\mu \nu }U_{\nu }$

unde q este sarcina electrică a particulei. Această formulare covariantă generalizează forța Lorentz clasică $\mathbf {f} =q(\mathbf {E} +\mathbf {u} \times \mathbf {B} )$ și garantează covarianta relativistă a ecuației de mișcare sub transformări Lorentz.

Termodinamică

Sistem de repaus local

Descrierea relativistă a fluidelor folosește conceptul de sistem de repaus local (Local Rest Frame, LRF), care este cadrul de referință în care fluidul, în vecinătatea unui punct dat, este instantaneu în repaus. În LRF, mărimile termodinamice intensive cum ar fi temperatura T, presiunea p, și densitățile numerice ale constituenților sunt bine definite și identice cu valorile lor din termodinamica clasică. Cvadriviteza fluidului în LRF are forma simplă $\mathbf {U} =(1,\mathbf {0} )$, iar transformarea la orice alt cadru de referință inerțial se efectuează prin transformări Lorentz standard.

Fluxul cvadrivectorial de materie

Fluxul cvadrivectorial al numărului de barioni este descris printr-un cvadrivector proporțional cu cvadriviteza fluidului:$\mathbf {S} =n\mathbf {U}$,

Aici n este densitatea numerică a barionilor măsurată în sistemul de referință în repaus^⁠(d) local al fluidului (pozitivă pentru barioni și negativă pentru antibarioni), și U este câmpul de cvadriviteză al fluidului, care satisface constrângerea de normalizare $U^{\mu }U_{\mu }=-1$ (în metrica Minkowski cu signatura (−,+,+,+)).

Fluxul de materie cvadrivectorial este o mărime conservată în absența proceselor care crează sau distrug barioni. Prin urmare, satisface ecuația de continuitate relativistă:

$\partial _{\mu }S^{\mu }=0\quad {\text{sau}}\quad \partial _{\mu }(nU^{\mu })=0$

care exprimă conservarea numărului barionului în mecanica cuantică și relativitate.

Flux termic cvadrivectorial

În teoria termodinamicii relativiste, fluxul de entropie este descris ca un cvadrivector, iar pentru un fluid în echilibru termodinamic local, acesta este exprimat prin:

$\mathbf {\Phi } =sn\mathbf {U} =s\mathbf {S}$

unde s este entropia per barion, măsurată în sistemul de repaus local al fluidului. Această definiție garantează că fluxul de entropie este o mărime covariantă, adică se transformă corect sub transformări Lorentz.

Într-o descriere mai detaliată, inclusiv efecte de conducție termică și viscozitate, fluxul de entropie cvadrivectorial are forma:

$\mathbf {\Phi } =s\mathbf {S} +{\frac {\mathbf {Q} }{T}}$

unde $\mathbf {Q} =-k_{T}\partial T$ este fluxul de entropie asociat conducției termice, cu k_T fiind conductivitatea termică a fluidului, iar $(\partial T)=({\frac {1}{c}}{\frac {\partial T}{\partial t}},\nabla T)$ este gradientul cvadridimensional al temperaturii (operator de diferență cvadrivectorial).

Componenta temporală a acestui cvadrivector, $\Phi ^{0}=scn+k_{T}{\frac {1}{c}}{\frac {\partial T}{\partial t}}$, exprimă densitatea de entropie și contribuții din variații temporale de temperatură, iar componentele spațiale $\Phi ^{i}=snv^{i}-k_{T}{\frac {\partial T}{\partial x^{i}}}$ descriu fluxul de entropie prin conducția termică și transportul convectiv.

Relații termodinamice fundamentale în relativitate

Pentru un fluid relativist în echilibru termodinamic local, relația termodinamică fundamentală exprimă energia internă specifică în funcție de entropie și densitate barionică:

$d\varepsilon =T\,d\eta -p\,d\left({\frac {1}{n}}\right)+\mu _{B}\,d\left({\frac {n_{B}}{n}}\right)$

unde $\varepsilon$ este densitatea de energie internă (măsurată în LRF), $\eta$ este densitatea de entropie (măsurată în LRF), $T$ este temperatura locală, $p$ este presiunea, și $\mu _{B}$ este potențialul chimic al barionilor. Această relație extinde versiunea nerelativistă și este analogă primului și celui de-al doilea principiu al termodinamicii.

Producerea de entropie în prezența proceselor disipative (viscozitate, conducție termică) este descrisă prin derivata covariantă a fluxului de entropie:

$\partial _{\mu }\Phi ^{\mu }=\sigma \geq 0$

unde $\sigma$ este producerea de entropie (densitate), care trebuie să fie nenegativă conform principiului al doilea al termodinamicii. Această constrângere determină relații constitutive admisibile pentru coeficienții de transport (viscozitate volumetrică, viscozitate de forfecare, conductivitate termică).

Legătura cu tensorul energie-impuls

Fluxurile cvadrivectoriale de materie și entropie sunt legate de tensorul energie-impuls al fluidului, care pentru un fluid perfect (fără viscozitate și conducție termică) are forma:

$T^{\mu \nu }=(\rho +p)U^{\mu }U^{\nu }-p\eta ^{\mu \nu }$

unde $\rho$ este densitatea de energie și $p$ este presiunea. Pentru fluidele reale cu procese disipative, tensorul energie-impuls se corectează cu termeni disipativi care sunt proporționali cu gradienții temperaturii și vitezei, iar coeficienții acestora sunt coeficienții de transport ai fluidului (viscozități, conductivitate termică).

Conservarea energiei și impulsului în relativitate generală este exprimată prin condiția de divergență nulă:

$\nabla _{\mu }T^{\mu \nu }=0$

(în relativitate specială, derivata covariantă devine derivată parțială obișnuită). Această condiție determină ecuațiile de mișcare ale fluidului și, combinată cu ecuația de conservare a fluxului de entropie, determină complet dinamica fluidului relativist.

Electromagnetism

În electromagnetism, numeroase mărimi fizice fundamentale pot fi formulate în mod natural sub forma unor cvadrivectori, ceea ce permite descrierea covariantă Lorentz a ecuațiilor Maxwell și garantează că forma legilor rămâne invariantă în orice sistem de referință inerțial.

Curent cvadrivectorial

Curentul electromagnetic cvadrivectorial (mai precis, densitatea de curent cvadrivectorială) este definit prin relația: $\mathbf {J} =\left(\rho c,\mathbf {j} \right)$, fiind alcătuit din densitatea de sarcină electrică^⁠(d) ρ și vectorul densității de curent tridimensional j.

Proprietatea fundamentală a acestui cvadrivector este ecuația de continuitate, care exprimă conservarea sarcinii electrice:

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {j} =0$

sau în notație cvadrivectorială covariantă:

$\partial _{\mu }J^{\mu }=0$

care este o consecință a simetriei gauge U(1) și a teoremei lui Noether^⁠(d).

Potențial cvadrivectorial

Potențialul electromagnetic cvadrivectorial (denumit uneori potențial vectorial cvadrivectorial electromagnetic) este definit prin relația: $\mathbf {A} =\left({\frac {\phi }{c}},\mathbf {a} \right)$, fiind format din potențialul scalar ϕ și potențialul vectorial^⁠(d) tridimensional a.

Din potențialul cvadrivectorial se derivă tensorul electromagnetic (tensor Faraday):

$F^{\mu \nu }=\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }$

care unică câmpul electric și câmpul magnetic într-un singur obiect covariant Lorentz:

${\begin{pmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}$

Potențialul cvadrivectorial nu este determinat în mod unic, deoarece permite transformări gauge care nu modifică câmpurile electromagnetice observabile. O transformare gauge generală are forma:

$A'^{\mu }=A^{\mu }+\partial ^{\mu }\chi$

unde χ(x,t) este orice funcție scalară diferențiabilă. Câmpurile electromagnetic rămân invariante sub această transformare, deoarece:

$F'^{\mu \nu }=\partial ^{\mu }(A^{\nu }+\partial ^{\nu }\chi )-\partial ^{\nu }(A^{\mu }+\partial ^{\mu }\chi )=F^{\mu \nu }$

Condiția gauge Lorenz

Pentru a reduce gradul de libertate asupra alegerii potențialului și a simplifica ecuațiile, se impune condiția gauge Lorenz:

$\partial _{\mu }A^{\mu }=0$

sau în notație tradițională:

$\nabla \cdot \mathbf {a} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}=0$

Condiția Lorenz este invariantă Lorentz, ceea ce o face deosebit de potrivită pentru descrierea relativistă a electromagnetismului.

Ecuații de undă pentru potențiale

În vid și sub condiția gauge Lorenz, potențialul electromagnetic satisface o ecuație de undă simplă:

$(\partial _{\mu }\partial ^{\mu })A^{\nu }=0$

sau componentă cu componentă:

$\Box A^{\nu }=\left({\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\right)A^{\nu }=0$

unde $\Box$ este operatorul d'Alembertian.

În prezența unei surse descrise de curentul cvadrivectorial, ecuația de undă capătă forma:

$(\partial _{\mu }\partial ^{\mu })A^{\nu }=\mu _{0}J^{\nu }$

sau în notație explicită:

$\Box A^{\nu }=\mu _{0}J^{\nu }$

Soluția generală pentru această ecuație cu sursă este dată de potențialele întârziate (Lienard-Wiechert):

$A^{\mu }(\mathbf {x} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {J^{\mu }(\mathbf {x} ',t_{\text{ret}})}{|\mathbf {x} -\mathbf {x} '|}}d^{3}x'$

unde $t_{\text{ret}}=t-|\mathbf {x} -\mathbf {x} '|/c$ este timpul întârziat, care asigură cauzalitate și respectarea limitei vitezei luminii.

Ecuații Maxwell în formă covariantă

Ecuațiile Maxwell în formă covariantă se exprimă prin derivata cvadrivectorialã a tensorului electromagnetic:

$\partial _{\mu }F^{\mu \nu }=\mu _{0}J^{\nu }$

(ecuații cu sursă), și

$\partial _{\mu }\left({\frac {1}{2}}\varepsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }F_{\rho \sigma }\right)=0$

(ecuații fără sursă, sau omogene)

unde $\varepsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }$ este simbolul Levi-Civita^⁠(d) cvadridimensional. Aceste ecuații sunt formele compacte și covariante ale legilor Gauss, Ampère-Maxwell, Faraday-Lenz, și solenoidalității magnetice.

Unde

Frecvență cvadrivectorială

O undă plană fotonică poate fi descrisă prin intermediul frecvenței cvadrivectoriale, definită prin relația $\mathbf {N} =\nu \left(1,{\hat {\mathbf {n} }}\right)$, unde ν este frecvența undei, iar n^ este vectorul unitar în direcția de propagare.

Produsul scalar Minkowski al acestui cvadrivector cu el însuși este nul:$\|\mathbf {N} \|=N^{\mu }N_{\mu }=\nu ^{2}\left(1-{\hat {\mathbf {n} }}\cdot {\hat {\mathbf {n} }}\right)=0$

ceea ce arată că frecvența cvadrivectorială asociată unui foton este întotdeauna un cvadrivector nul, în acord cu faptul că fotonii sunt particule fără masă de repaus. Cvadrivectorii cu normă nulă sunt caracteristici pentru particule care se deplasează cu viteza luminii și se află pe conul de lumină Minkowski.

Vector de undă cvadrivectorial

Mărimile conjugate timpului t și poziției r sunt frecvența unghiulară ω și vectorul de undă unghiular k. Acestea formează componentele vectorului de undă cvadrivectorial:$\mathbf {K} =\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {\mathbf {k} }}\right)=\left({\frac {\omega }{c}},{\frac {\omega }{v_{p}}}{\hat {\mathbf {n} }}\right)\,.$

unde $v_{p}=\omega /|\mathbf {k} |$ este viteza de fază a undei, care pentru undele de materie poate depăși viteza luminii (v_φ > c), în timp ce viteza de grup $v_{g}=d\omega /d|\mathbf {k} |$ rămâne întotdeauna sub viteza luminii și transportează energia și informația.

Un fascicul de lumină aproape monocromatic poate fi descris printr-un vector de undă cvadrivectorial proporțional cu frecvența cvadrivectorială:$\mathbf {K} ={\frac {2\pi }{c}}\mathbf {N} ={\frac {2\pi }{c}}\nu \left(1,{\hat {\mathbf {n} }}\right)={\frac {\omega }{c}}\left(1,{\hat {\mathbf {n} }}\right)~.$

Relațiile lui de Broglie arată că vectorul de undă cvadrivectorial se aplică atât undelor electromagnetice, cât și undelor de materie, fiind legat de cvadrimpuls prin relația:$\mathbf {P} =\hbar \mathbf {K} =\left({\frac {E}{c}},{\vec {p}}\right)=\hbar \left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)~.$ Din această relație rezultă expresiile uzuale pentru energia și impulsul particulei.

Pătratul normei vectorului de undă cvadrivectorial este dat de relația:$\|\mathbf {K} \|^{2}=K^{\mu }K_{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}}\right)^{2}-\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} \,,$

care este un invariant Lorentz. Folosind relația lui de Broglie, aceasta conduce la analogul relativist al relației energie–impuls pentru undele de materie:$\|\mathbf {K} \|^{2}={\frac {1}{\hbar ^{2}}}\|\mathbf {P} \|^{2}=\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}\,,$ $\left({\frac {\omega }{c}}\right)^{2}-\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} =\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}~.$

Natura cvadrivectorului K depinde de valoarea normei: pentru tardioni ($m_{0}\neq 0$), norma este pozitivă și cvadrivectorul este de tip timp; pentru particule fără masă, inclusiv fotonii ($m_{0}=0$), norma este nulă și cvadrivectorul este nul. Pentru particule fără masă de repaus, pentru care m₀ = 0, rezultă relația simplificată : $\left({\frac {\omega }{c}}\right)^{2}=\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} \,,$ ceea ce implică faptul că modulul vectorului de undă tridimensional este egal cu ω / c. Această concluzie este în deplin acord cu descrierea fotonilor ca unde plane care se propagă cu viteza luminii în direcția definită de vectorul unitar n^.

Transformarea vectorului de undă sub o transformare Lorentz pentru un observator în mișcare cu viteza v în direcția n^ conduce la efectul Doppler relativist:

$\omega '=\gamma \left(\omega -vk_{\parallel }\right)\,,\quad k'_{\parallel }=\gamma \left(k_{\parallel }-{\frac {v\omega }{c^{2}}}\right)\,,\quad k'_{\perp }=k_{\perp }$

unde $k_{\parallel }$ și $k_{\perp }$ sunt componentele vectorului de undă paralele și, respectiv, perpendiculare pe direcția mișcării observatorului, iar γ este factorul Lorentz.

Teoria cuantică

Curent de probabilitate cvadrivectorial

În mecanica cuantică, curentul de probabilitate^⁠(d) cvadrivectorial este analogul relativist al curentului electromagnetic cvadrivectorial^⁠(d):$\mathbf {J} =(\rho c,\mathbf {j} )$,

În această expresie, ρ reprezintă densitatea de probabilitate^⁠(d) asociată componentei temporale, iar j este vectorul tridimensional al curentului de probabilitate.

Curentul de probabilitate cvadrivectorial satisface ecuația de continuitate:

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {j} =0$

sau în notație cvadrivectorială covariantă:

$\partial _{\mu }J^{\mu }=0$

care exprimă conservarea probabilității. În ecuația Klein-Gordon, curentul explicit este:

$J^{\mu }={\frac {i\hbar }{2mc^{2}}}\left(\psi ^{*}{\frac {\partial \psi }{\partial x^{\mu }}}-{\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial x^{\mu }}}\psi \right)$

iar în ecuația lui Dirac:

$J^{\mu }=c{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi$

unde ${\bar {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}$ este conjugata adjunctă Dirac.

În mecanica cuantică nerelativistă, acest curent este întotdeauna bine definit, deoarece densitatea de probabilitate și curentul de probabilitate sunt mărimi pozitive și admit o interpretare probabilistică directă. În schimb, în mecanica cuantică relativistă și în teoria cuantică a câmpurilor, existența unui astfel de curent nu este garantată în toate situațiile, în special în prezența interacțiunilor. O problemă fundamentală apare în teoria Klein-Gordon: densitatea $\rho =\rho (x,t)$ definită ca componenta temporală a curentului poate fi negativă, ceea ce nu admite interpretare probabilistică directă. Aceasta a condus la reinterpretarea stărilor negative în mecanica cuantică relativistă drept antiparticule.

Prin înlocuirea energiei și impulsului cu operatorii corespunzători în expresia cvadrimpulsului, se obține operatorul de impuls cvadrivectorial, utilizat în formularea ecuațiilor relativiste ale undelor.

Spin cvadrivectorial

Spinul unei particule relativiste este descris în mod covariant prin cvadrivectorul de spin, care este o construcție mai subtilă decât o simplă generalizare nerelativistă. Descrierea fundamentală a spinului relativist se face prin cvadrivectorul Pauli-Lubanski:

$\mathbf {W} ={\frac {1}{2}}\varepsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }J_{\nu \rho }P_{\sigma }$

unde $\varepsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }$ este simbolul Levi-Civita, $J_{\nu \rho }$ este tensorul moment unghiular relativist, și $P_{\sigma }$ este cvadrimpulsul. Cvadrivectorul Pauli-Lubanski satisface proprietatea fundamentală $P^{\mu }W_{\mu }=0$, ceea ce înseamnă că spinul este transversal relativ la direcția de mișcare a particulei.

În sistemul de repaus al particulei, cvadrivectorul Pauli-Lubanski se reduce la:

$\mathbf {W} |_{\text{rest}}=(0,mc\mathbf {s} )$

unde s este pseudovectorul de spin tridimensional cu componentele $s_{i}=\pm {\frac {\hbar }{2}},\pm {\frac {3\hbar }{2}},\ldots$ în unități cuantice. Norma Minkowski invariantă este:

$W^{\mu }W_{\mu }=-m^{2}c^{2}\hbar ^{2}s(s+1)$

unde s este numărul cuantic de spin (nu modulul vectorului tridimensional).

Într-un sistem de referință arbitrar, transformarea Lorentz produce o transformare netrivială a componentei temporale:

$\mathbf {W} '=\Lambda \mathbf {W} +{\text{rotație Wigner}}$

unde rotația Thomas-Wigner apare ca consecință a necomutativității boost-urilor necoliniare. Componenta temporală devine:

$W^{0}={\frac {\gamma }{mc}}(\mathbf {P} \cdot \mathbf {W} |_{\text{rest}})+O(1/\gamma )$

unde $\gamma =E/(mc^{2})$ este factorul Lorentz.

Această comportare contrastează cu reprezentări mai simple: în formulări mai vechi se admitea adesea forma $\mathbf {S} =(0,\mathbf {s} )$ doar în sistemul de repaus, însă aceasta nu este compatibilă cu covarianta Lorentz pentru componenta temporală în sistemele în mișcare. Descrierea covariantă corectă prin cvadrivectorul Pauli-Lubanski rezolvă această subtilitate și este esențială pentru mecanica cuantică relativistă și teoria cuantică a câmpurilor.

Alte formulări

Cvadrivectori în algebra spațiului fizic

Un cvadrivector A poate fi reprezentat și utilizând matricele Pauli drept bază, conducând la o serie de notații echivalente:${\begin{aligned}\mathbf {A} &=\left(A^{0},\,A^{1},\,A^{2},\,A^{3}\right)\\&=A^{0}{\boldsymbol {\sigma }}_{0}+A^{1}{\boldsymbol {\sigma }}_{1}+A^{2}{\boldsymbol {\sigma }}_{2}+A^{3}{\boldsymbol {\sigma }}_{3}\\&=A^{0}{\boldsymbol {\sigma }}_{0}+A^{i}{\boldsymbol {\sigma }}_{i}\\&=A^{\alpha }{\boldsymbol {\sigma }}_{\alpha }\\\end{aligned}}$${\begin{aligned}\mathbf {A} &=A^{0}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}+A^{1}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}+A^{2}{\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}+A^{3}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}A^{0}+A^{3}&A^{1}-iA^{2}\\A^{1}+iA^{2}&A^{0}-A^{3}\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

În această formulare, cvadrivectorul este reprezentat printr-o matrice hermitică, adică o matrice egală cu conjugata sa complex-transpusă, transpunerea matricei, spre deosebire de o reprezentare sub formă de vector coloană sau rând cu elemente reale.

Determinantul acestei matrice este un invariant și corespunde modulului cvadrivectorului${\begin{aligned}|\mathbf {A} |&={\begin{vmatrix}A^{0}+A^{3}&A^{1}-iA^{2}\\A^{1}+iA^{2}&A^{0}-A^{3}\end{vmatrix}}\\&=\left(A^{0}+A^{3}\right)\left(A^{0}-A^{3}\right)-\left(A^{1}-iA^{2}\right)\left(A^{1}+iA^{2}\right)\\&=\left(A^{0}\right)^{2}-\left(A^{1}\right)^{2}-\left(A^{2}\right)^{2}-\left(A^{3}\right)^{2}\end{aligned}}$

Această construcție evidențiază legătura dintre cvadrivectori și algebrele Clifford și este utilizată în cadrul algebrei spațiului fizic.

Cvadrivectori în algebra spațiu-timp

În algebra spațiu-timp, un alt exemplu important de algebră Clifford, matricele gama pot fi utilizate drept elemente de bază. Acestea sunt cunoscute și sub denumirea de matrice Dirac, datorită rolului lor fundamental în ecuația lui Dirac. Matricele gama sunt definite prin relații de anticomutare fundamentale care formează o reprezentare a algebrei Clifford^⁠(d) pentru spațiu-timp:

$\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\}=\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }=2\eta ^{\mu \nu }I_{4}$

unde $\eta ^{\mu \nu }$ este metrica Minkowski cu signatura $(+,-,-,-)$, și $I_{4}$ este matricea identitate de ordinul patru. Există mai multe convenții pentru definirea și reprezentarea matricelor gama, care sunt prezentate în articole dedicate.

O matrice gamma suplimentară, deseori utilizată, este:

$\gamma ^{5}=i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}$

care satisface proprietățile: $(\gamma ^{5})^{2}=I_{4}$, $(\gamma ^{5})^{\dagger }=\gamma ^{5}$ (hermitică), și $\{\gamma ^{5},\gamma ^{\mu }\}=0$ (anticomută cu toate matricele gama).

Identități importante ale matricelor gama includ:${\begin{aligned}\gamma ^{\mu }\gamma _{\mu }&=4I_{4}\\\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma _{\mu }&=-2\gamma ^{\nu }\\\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma _{\mu }&=4\eta ^{\nu \rho }I_{4}\end{aligned}}$

Notația Feynman slash^⁠(d) reprezintă o prescurtare pentru contracția unui cvadrivector cu matricele gama: $\mathbf {A} \!\!\!\!/=A_{\alpha }\gamma ^{\alpha }=A_{0}\gamma ^{0}+A_{1}\gamma ^{1}+A_{2}\gamma ^{2}+A_{3}\gamma ^{3}$

Pentru notația slash, relații fundamentale sunt:

${\begin{aligned}a\!\!\!\!/\,a\!\!\!\!/&=a^{2}I_{4}\\\{a\!\!\!\!/,\,b\!\!\!\!/\}&=a\!\!\!\!/b\!\!\!\!/+b\!\!\!\!/a\!\!\!\!/=2(a\cdot b)I_{4}\\{\text{tr}}(a\!\!\!\!/)&=0\\{\text{tr}}(a\!\!\!\!/\,b\!\!\!\!/)&=4(a\cdot b)\end{aligned}}$

Un caz deosebit de important este contracția cvadrimpulsului cu matricele gama, care apare în mod sistematic în mecanica cuantică relativistă și în teoria cuantică a câmpurilor relativiste. În ecuația lui Dirac și în alte ecuații de undă relativiste, apar termeni de forma:$\mathbf {P} \!\!\!\!/=P_{\alpha }\gamma ^{\alpha }=P_{0}\gamma ^{0}+P_{1}\gamma ^{1}+P_{2}\gamma ^{2}+P_{3}\gamma ^{3}={\dfrac {E}{c}}\gamma ^{0}-p_{x}\gamma ^{1}-p_{y}\gamma ^{2}-p_{z}\gamma ^{3}$, în care energia și componentele impulsului tridimensional sunt înlocuite cu operatorii cuantici corespunzători. Relația fundamentală $p\!\!\!\!/\,p\!\!\!\!/=m^{2}c^{2}I_{4}$ reflectă relația relativistă energie-impuls $E^{2}=(pc)^{2}+(mc^{2})^{2}$ în forma matriceală.

Bibliografie

Lucrări clasice fundamentale

• de Albert, Einstein (1905). Zur Elektrodynamik bewegter Körper. Annalen der Physik (în germană). 17. pp. 891–921. doi:10.1002/andp.19053221004.  – Lucrarea originală care introduce teoria relativității speciale
• de Hermann, Minkowski (1908). Raum und Zeit. Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (în germană). pp. 75–88.  – Introducerea spațiu-timpului Minkowski cvadridimensional
• en Hendrik Antoon, Lorentz (1904). Electromagnetic phenomena in a system moving with any velocity less than that of light. Proceedings of the Academy of Sciences of Amsterdam. 6. pp. 809–831.  – Transformări Lorentz și baza teoretică a relativității
• fr Henri, Poincaré (1906). Sur la dynamique de l'électron. Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo (în franceză). 21. pp. 129–176.  – Contribuții pioneere la transformări relativiste

Manuale clasice și de referință

• en Lev Davidovich, Landau; Evgeny Mikhailovich, Lifshitz (1975). The Classical Theory of Fields (ed. 4th). Pergamon Press. pp. 1–45. ISBN 0-08-018176-7.  – Tratare clasică și riguroasă a relativității speciale și cvadrivectorilor
• en John David, Jackson (1998). Classical Electrodynamics (ed. 3rd). John Wiley & Sons. pp. 400–450. ISBN 0-471-30932-X.  – Electromagnetism relativist și formulări covariante
• en Charles W., Misner; Kip S., Thorne; John Archibald, Wheeler (1973). Gravitation. W.H. Freeman & Co. pp. 50–100. ISBN 0-7167-0344-0.  – Enciclopedie a relativității speciale și generale cu tratare detaliată a cvadrivectorilor
• en Steven, Weinberg (1972). Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General Theory of Relativity. John Wiley & Sons. pp. 1–50. ISBN 0-471-92567-5.  – Introducere matematică și fizică la cvadrivectori și grupul Lorentz

Manuale moderne și accesibile

• en Sean M., Carroll (2004). Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity (ed. 2nd). Addison-Wesley. pp. 1–100. ISBN 0-8053-8732-3.  – Introducere modernă cu accent pe geometria spațiu-timpului și cvadrivectori
• en Wolfgang, Rindler (1991). Introduction to Special Relativity (ed. 2nd). Clarendon Press Oxford. ISBN 0-19-853952-5.  – Tratare accesibilă cu focus pe transformări Lorentz
• en Bernard F., Schutz (2009). A First Course in General Relativity (ed. 2nd). Cambridge University Press. pp. 1–50. ISBN 978-0-521-88705-2.  – Introducere geometrică la cvadrivectori și relativitate
• en James B., Hartle (2003). Gravity: An Introduction to Einstein's General Relativity. Addison-Wesley. pp. 1–80. ISBN 0-8053-8662-9.  – Prezentare pedagogică a cvadrivectorilor și spațiu-timpului
• en David, McMahon (2006). Relativity DeMystified. McGraw-Hill. pp. 1–150. ISBN 0-07-145545-0.  – Introducere accesibilă cu exerciții și exemple concrete

Cărți dedicate grupului Lorentz și reprezentări

• en Sibel, Baskal; Young S., Kim; Marilyn E., Noz (2015). Physics of the Lorentz Group. Morgan & Claypool Publishers. ISBN 978-1-68174-062-1.  – Analiza detaliată a structurii algebrice și reprezentărilor grupului Lorentz

Articole științifice și review

• en Itzykson, Claude; Zuber, Jean-Bernard (1980). „Quantum Field Theory”. McGraw-Hill: 1–100. ISBN 0-07-032071-3.  – Aplicații ale cvadrivectorilor în teoria cuantică a câmpurilor
• en Peskin, Michael E.; Schroeder, Daniel V. (1995). „An Introduction to Quantum Field Theory”. Addison-Wesley: 1–80. ISBN 0-201-50397-2.  – Cvadrivectori și covarianță Lorentz în teoria câmpurilor

Vezi și

• Spațiu Minkowski
• Paravector^⁠(d)