Spațiu compact

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

Noțiunea de spațiu compact este utilizată în topologie și se referă la o proprietate a spațiilor topologice.

Istoric[modificare | modificare sursă]

Termenul compact a fost introdus de Fréchet în 1906, fiind necesar la studiul spațiilor metrice. Astfel, proprietățile acestor spații au putut fi generalizate și pentru spații topologice în general.

Un alt motiv pentru utilizarea acestei noțiuni îl constituie faptul că proprietățile spațiilor compacte se aseamănă cu cele ale mulțimilor finite.

Definiție[modificare | modificare sursă]

Pe mulțimea  \mathbb{R}^n [modificare | modificare sursă]

Pentru orice submulțime a spațiului euclidian  \mathbb{R}^n , următoarele definiții sunt echivalente:

  • Orice acoperire deschisă admite o subacoperire finită. Aceasta este definiția cel mai des utilizată.


Cazul spațiilor topologice[modificare | modificare sursă]

Un spațiu topologic X se numește compact dacă toate acoperirile sale deschise

 X = \bigcup_{i \in I}  , unde  U_i \, sunt submulțimi deschise ale lui X,

admit o subacoperire finită:

 X = U_{i_1} \cup U_{i_2} \cup \dots \cup U_{i_n} , cu  i_1, i_2, \dots , i_n \in I


Exemple[modificare | modificare sursă]

Spații compacte[modificare | modificare sursă]

  • Orice spațiu topologic finit, incluzând aici și mulțimea vidă.
  • Intervalul unitar închis  [0, 1] \,.
  • Orice n-bilă,  n \in \mathbb{N} .
  • Orice n-sferă,  n \in \mathbb{N} .


Spații care nu sunt compacte[modificare | modificare sursă]

  • Intervalul semideschis  [0, 1) \,
  • Mulțimea numerelor reale \mathbb{R} .
  • Mulțimea numerelor întregi  \mathbb{Z} .
  • Mulțimea numerelor naturale  \mathbb{N} .



Proprietăți și teoreme[modificare | modificare sursă]

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

Vezi și[modificare | modificare sursă]

Legături externe[modificare | modificare sursă]