Număr irațional

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare
Ipotenuza unui triunghi dreptunghic isoscel cu catete egale cu 1 este un număr irațional, \scriptstyle\sqrt{2}.

În matematică, un număr irațional este un număr real care nu se poate exprima ca raportul (sau rația) a două numere întregi. Prin contrast, numerele reale care se pot exprima ca raportul dintre doi întregi se numesc numere raționale.

Exemple[modificare | modificare sursă]

Iată câteva exemple de numere iraționale, de naturi total diferite între ele:

  • Raportul de aur notată cu litera greacă Φ (phi majuscul) sau și cu φ (phi minuscul), care se citesc "fi", este primul număr irațional descoperit și definit în istorie. El este aproximativ egal cu 1,618033 și poate fi întâlnit în cele mai surprinzătoare împrejurări.
  • rădăcina patrată a lui 2, notată \scriptstyle\sqrt{2}, cu valoarea aproximativă de 1,4142135.
  • numărul π (pi), cu valoarea aproximativă de 3,1415926.
  • numărul e, baza logaritmilor naturali, cu valoarea aproximativă 2,7182818.
  • cosinus de 41°.
  • logaritmul zecimal al numărului 17.
  • soluția ecuației algebrice x5-3x+3=0. Această soluție este un număr real, irațional, deci care nu se poate exprima ca raport de doi întregi, și care însă, altfel decât s-ar putea crede, nu se poate exprima nici prin rădăcini (radicali), de nici un ordin.

Proprietăți[modificare | modificare sursă]

Există și numere reale despre care nu se știe (încă?) dacă sunt raționale sau iraționale, spre exemplu suma π + e și multe altele.

Numerele iraționale pot fi transcendente, spre deosebire de numerele raționale care sunt întotdeauna algebrice. Un număr este numit algebric dacă este soluția unei ecuații algebrice cu coeficienți raționali, de genul x5-3x+3=0. Numărul irațional \sqrt{3}, de exemplu, este algebric, în timp ce numerele π și e s-a demonstrat că sunt transcendente.

Numerele iraționale sunt întotdeauna fracții zecimale cu un număr nesfârșit de zecimale, neperiodice. În scris, zecimalele cele mai puțin semnificative se reprezintă simbolic cu 3 puncte "..."; de exemplu π = 3,1415926... , sau e = 2,7182818... .

Dacă un număr oarecare are un număr infinit de zecimale, care se repetă însă periodic, atunci el se poate exprima întotdeauna ca raportul a două numere întregi, iar numărul zecimal în discuție este deci un număr rațional. Spre exemplificare, numărul 4,37295295295... , notat și 4,37(295), este egal cu 4 + 37/100 + 295/99.900 = 436.858/99.900.



Ulam 1.png Matematică  – Teoria numerelor --- Matematică discretă (categorie)
Matematicieni specializați în Teoria numerelor (categorie)

 • • \mathbb{N}  • • \mathbb{Z}  • • \mathbb{Q}  • • \mathbb{I}  • • \mathbb{T}  • • \mathbb{R}  • • • \mathbb{C}  • • •