Număr irațional

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare
Ipotenuza unui triunghi dreptunghic isoscel cu catetele egale cu 1 este un număr irațional, \scriptstyle\sqrt{2}.

În matematică, un număr irațional este un număr real care nu se poate exprima ca raportul a două numere întregi. Prin contrast, numerele reale care se pot exprima ca raportul (rația) dintre doi întregi se numesc numere raționale.

Definiție algebrică[modificare | modificare sursă]

Considerând corpul numerelor raționale , inclus în corpul numerelor reale (ℚ ⊆ ℝ), mulțimea numerelor iraționale \mathbb{I} se poate defini ca diferența dintre mulțimile și :

\mathbb{I} = \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}

adică:

\mathbb{I} = \{x | x \in \mathbb{R}, x \notin \mathbb{Q}\} \!

\mathbb{I} este o mulțime infinită.

Definiție analitică[modificare | modificare sursă]

O definiție riguroasă a numerelor iraționale se poate face prin metodele analizei matematice, mai exact prin metoda „tăieturilor” a lui Dedekind.

Exemple[modificare | modificare sursă]

Câteva exemple de numere iraționale, de naturi total diferite între ele:

  • Raportul de aur, notat cu litera grecească Φ (phi majuscul) sau și cu φ (phi minuscul), care se citesc "fi", este primul număr irațional descoperit și definit în istorie. El este aproximativ egal cu 1,618033 și poate fi întâlnit în cele mai surprinzătoare împrejurări.
  • rădăcina patrată a lui 2, notată \scriptstyle\sqrt{2}, cu valoarea aproximativă de 1,4142135.
  • numărul π (pi), cu valoarea aproximativă de 3,141592653.
  • numărul e, baza logaritmilor naturali, cu valoarea aproximativă 2,7182818.
  • sin(1°) (sinusul unghiului de 1 grad).
  • logaritmul zecimal al numărului 2.
  • soluția ecuației algebrice x5 - 3x + 3 = 0. Această soluție este un număr real, irațional, deci care nu se poate exprima ca raport de doi întregi, și care însă, altfel decât s-ar putea crede, nu se poate exprima nici prin rădăcini (radicali), de nici un ordin.

Proprietăți[modificare | modificare sursă]

Există și numere reale despre care nu se știe (încă?) dacă sunt raționale sau iraționale, spre exemplu suma π + e și multe altele.

Numerele iraționale pot fi transcendente, spre deosebire de numerele raționale care sunt întotdeauna algebrice. Un număr este numit „algebric” dacă este soluția unei ecuații algebrice cu coeficienți raționali, de genul x5-3x+3=0. Numărul irațional \sqrt{3}, de exemplu, este algebric, în timp ce numerele e și π s-a demonstrat că sunt transcendente.

Numerele iraționale sunt întotdeauna fracții zecimale cu un număr nesfârșit de zecimale, neperiodice. În scris, zecimalele cele mai puțin semnificative se reprezintă simbolic cu 3 puncte "..."; de exemplu π = 3,1415926... , sau e = 2,7182818...

Dacă un număr zecimal oarecare are un număr infinit de zecimale, care însă se repetă periodic, eventual în grupuri, atunci el se poate exprima întotdeauna ca raportul a două numere întregi, deci numărul zecimal în discuție este un număr rațional. Spre exemplu, numărul 4,37295295295... , notat și 4,37(295), este egal cu 4 + 37/100 + 295/99.900 = 436.858/99.900.

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

  • Miron Nicolescu, Analiză matematică, vol. I, Editura Tehnică, București, 1957, pp. 69-94.

Legături externe[modificare | modificare sursă]

Commons
Wikimedia Commons conține materiale multimedia legate de Număr irațional


Ulam 1.png MatematicăTeoria numerelor --- Matematică discretă (categorie)
Matematicieni specializați în Teoria numerelor (categorie)

 • • \mathbb{N}  • • \mathbb{Z}  • • \mathbb{Q}  • • \mathbb{I}  • • \mathbb{T}  • • \mathbb{R}  • • • \mathbb{C}  • • •