142857 (număr)

← 142856

142857

142858 →

Listă de numere — Numere întregi

← 0 10¹ 10² 10³ 10⁴ 10⁵ 10⁶ 10⁷ 10⁸ 10⁹

Cardinal

o sută patruzeci și două de mii opt sute cincizeci și șapte

Ordinal

125-lea
o sută patruzeci și două de mii opt sute cincizeci și șaptelea

Factorizare

33 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 37

Divizori

1, 3, 9, 11, 13, 27, 33, 37, 39, 99, 111, 117, 143, 297, 333, 351, 407, 429, 481, 999, 1221, 1287, 1443, 3663, 3861, 4329, 5291, 10989, 12987, 15873, 47619, 142857

CXLMMDCCCLVII

100010111000001001₂

21020222000₃

202320021₄

14032412₅

3021213₆

427011₈

6A809₁₂

22E09₁₆

HH2H₂₀

3289₃₆

Numărul 142857 este perioada fracției 1/7 = 0,(142857). Este cel mai bine cunoscut număr ciclic în baza 10.^[1]^[2]^[3]^[4] Dacă este înmulțit cu 2, 3, 4, 5 sau 6, rezultatul va fi o permutare ciclică a lui însuși și va corespunde perioadelor lui 2/7, 3/7, 4/7, 5/7, respectiv 6/7.

Este un număr Kaprekar.^[5]

Calcul

1 × 142857 = 142857

2 × 142857 = 285714

3 × 142857 = 428571

4 × 142857 = 571428

5 × 142857 = 714285

6 × 142857 = 857142

7 × 142857 = 999999

Dacă se înmulțește cu un număr întreg mai mare de 7, există un proces simplu pentru a ajunge la o permutare ciclică de 142857. Adăugând cele șase cifre din dreapta (de la unu la suta de mii) la cifrele rămase și repetând acest proces până când rămân doar șase cifre, va avea ca rezultat o permutare ciclică de 142857:

142857 × 8 = 1142856

1 + 142856 = 142857

142857 × 815 = 116428455

116 + 428455 = 428571

142857² = 142857 × 142857 = 20408122449

20408 + 122449 = 142857

Prin acest proces, înmulțirea cu un multiplu de 7 va avea ca rezultat 999999:

142857 × 7⁴ = 342999657

342 + 999657 = 999999

Dacă se ridică la pătrat ultimele trei cifre și apoi se scade pătratul primelor trei cifre se obține o permutare ciclică a numărului.

857² = 734449

142² = 20164

734449 − 20164 = 714285

Este perioada zecimală a numărului rațional 1/7 = 0,(142857). Astfel, multiplii lui 1/7 sunt copii repetate ale multiplilor corespunzători ai lui 142857:

{\begin{aligned}{\tfrac {1}{7}}&=0,142857\,142857\ldots \\[3pt]{\tfrac {2}{7}}&=0,285714\,285714\ldots \\[3pt]{\tfrac {3}{7}}&=0,428571\,428571\ldots \\[3pt]{\tfrac {4}{7}}&=0,571428\,571428\ldots \\[3pt]{\tfrac {5}{7}}&=0,714285\,714285\ldots \\[3pt]{\tfrac {6}{7}}&=0,857142\,857142\ldots \\[3pt]{\tfrac {7}{7}}&=0,999999\,999999\ldots =1\\[3pt]{\tfrac {8}{7}}&=1,142857\,142857\ldots \\[3pt]{\tfrac {9}{7}}&=1,285714\,285714\ldots \\&\,\,\,\vdots \end{aligned}}

Legătura cu eneagrama

Șirul de numere 142857 este folosit în eneagrama din Fourth Way de Georges Ivanovitch Gurdjieff pentru a explica și vizualiza dinamica interacțiunii dintre cele două mari legi ale Universului (conform lui Gurdjieff), „Legea lui Trei” și „Legea lui Șapte”. Mișcarea numerelor lui 142857 împărțit la 1/7, 2/7 etc. și mișcarea ulterioară a eneagramei sunt descrise în dansurile sacre ale lui Gurdjieff cunoscute sub numele de „mișcări”.^[6]

Note

^ en „Cyclic number”. The Internet Encyclopedia of Science. Arhivat din original la 29 septembrie 2007.
^ en Ecker, Michael W. (martie 1983). „The Alluring Lore of Cyclic Numbers”. The Two-Year College Mathematics Journal. 14 (2): 105–109. doi:10.2307/3026586. JSTOR 3026586.
^ en „Cyclic number”. PlanetMath. Arhivat din original la 14 iulie 2007.
^ en Hogan, Kathryn (august 2005). „Go figure (cyclic numbers)”. Australian Doctor. Arhivat din original la 24 decembrie 2007.
^ Șirul A006886 la Enciclopedia electronică a șirurilor de numere întregi (OEIS)
^ en Ouspensky, P. D. (1947). „Chapter XVIII”. In Search of the Miraculous: Fragments of an Unknown Teaching. London: Routledge.

Bibliografie

en Leslie, John (1820). The Philosophy of Arithmetic: Exhibiting a Progressive View of the Theory and Practice of…. Longman, Hurst, Rees, Orme, and Brown. ISBN 1-4020-1546-1.
en Wells, D. (1997). The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers (ed. revised). London: Penguin Group. pp. 171–175. ISBN 978-0-140-26149-3.
en Tahan, Malba (1938). The Man Who Counted.

Portal Matematică

[1] „Cyclic number”. The Internet Encyclopedia of Science. Arhivat din original la 29 septembrie 2007.

[2] Ecker, Michael W. (martie 1983). „The Alluring Lore of Cyclic Numbers”. The Two-Year College Mathematics Journal. 14 (2): 105–109. doi:10.2307/3026586. JSTOR 3026586.

[3] „Cyclic number”. PlanetMath. Arhivat din original la 14 iulie 2007.

[4] Hogan, Kathryn (august 2005). „Go figure (cyclic numbers)”. Australian Doctor. Arhivat din original la 24 decembrie 2007.

[5] Șirul A006886 la Enciclopedia electronică a șirurilor de numere întregi (OEIS)

[6] Ouspensky, P. D. (1947). „Chapter XVIII”. In Search of the Miraculous: Fragments of an Unknown Teaching. London: Routledge.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]