Teorema lui Pitagora

Acest articol participă la Concursul de scriere. Ajutați la îmbunătățirea lui!

Teorema lui Pitagora:
Suma ariilor pătratelor determinate de catetele a și b este egală cu aria pătratului determinat de ipotenuza c.

Teorema lui Pitagora este una dintre cele mai cunoscute teoreme din geometria euclidiană, constituind o relație între cele trei laturi ale unui triunghi dreptunghic. Teorema lui Pitagora afirmă că în orice triunghi dreptunghic, suma pătratelor catetelor este egală cu pătratul ipotenuzei (latura opusă unghiului drept). Teorema poate fi scrisă sub forma unei ecuații dintre cele trei laturi a, b și c, câteodată denumită ecuația lui Pitagora:

$a^{2}+b^{2}=c^{2}\!\,,$

unde c reprezintă lungimea ipotenuzei, iar a și b lungimile celorlalte două laturi ale triunghiului.

Deși este în discuție faptul că teorema putea fi cunoscută dinaintea lui, aceasta a fost totuși denumită după matematicianul din Grecia Antică Pitagora (c. 570 – c. 495 î.Hr.) din moment ce el este cel care, în mod tradițional, a fost recunoscut pentru prima demonstrație a sa. Există unele dovezi cum că matematicienii babilonieni ar fi înțeles formula, dar foarte puține indică o aplicație într-un cadru de lucru matematic. Matematicienii din Mesopotamia, India și China au descoperit teorema independent și, în unele cazuri, au oferit demonstrații în cazuri speciale.

Această teoremă a primit numeroase demonstrații – probabil cele mai multe dintre toate teoremele din matematică. Acestea sunt foarte diversificate, incluzând dovezi atât geometrice cât și algebrice, cele mai vechi datând de acum mii de ani. Teorema poate fi generalizată în diferite moduri, inclusiv prin referire la spațiile multidimensionale, spațiile neeuclidiene, triunghiuri care nu sunt dreptunghice sau chiar figuri care nu sunt triunghiuri, ci spațiale.

Teorema lui Pitagora este considerată un punct de interes în afara matematicii, constituind un simbol al incomprehensibilității matematice, al misterului, sau al puterii intelectuale; abundă referințele populare din literatură, muzică, teatru, sau artă.

Istoric

Deși teorema i se atribuie astăzi filozofului și matematicianului grec antic Pitagora, care a trăit în secolul al VI-lea î.Hr., se știe că a fost cunoscută de mai multe civilizații de-a lungul timpului: indienii antici, asiro-babilonienii, egiptenii antici, chinezii antici și alții.

Acest subiect poate fi împărțit în trei: cunoașterea tripletelor pitagoreice (seturi de câte trei numere întregi care reprezintă lungimile laturilor unui triunghi dreptunghic), cunoașterea teoremei propriu-zise și cunoașterea unor demonstrații.

Tripletele pitagoreice sunt cunoscute de foarte mult timp, ele fiind folosite pentru construirea unui unghi drept în condiții practice: o sfoară este marcată cu noduri aflate la anumite distanțe; formând din ea un triunghi (de exemplu de laturi 3, 4 și 5), acel triunghi va fi dreptunghic - metoda poate fi folosită de exemplu pentru a monta vertical catargul unui vas pe mare.

Monumente megalitice de acum 6000 de ani (în Egipt) sau 4500 de ani (în Insulele Britanice) conțin triunghiuri dreptunghice cu laturi de lungimi numere întregi, dar aceasta nu înseamnă neapărat că cei care le-au construit cunoșteau teorema. De asemenea, scrieri vechi din Regatul Mijlociu Egiptean și din Mesopotamia menționează triplete pitagoreice.

Sulba Sutra lui Baudhayana, scrisă în secolul VIII î.Hr. în India, conține o listă de triplete pitagoreice descoperite algebric, un enunț al teoremei, precum și o demonstrație pentru un triunghi dreptunghic isoscel.

Sulba Sutra lui Apastamba (circa 600 î.Hr.) conține o demonstrație numerică a cazului general, calculând arii. Unii cercetători susțin că de aici s-ar fi putut inspira Pitagora, în timpul călătoriei sale în India.

Pitagora (aproximativ 580 î.Hr. - 495 î.Hr.) a folosit metode algebrice pentru a construi triplete pitagoreice, conform lui Proclus. Acesta a scris însă între anii 410 și 485 d.Hr., adică 9 secole mai târziu. După Sir Thomas L. Heath, teorema nu i-a fost atribuită lui Pitagora timp de cinci secole după perioada în care acesta a trăit. Totuși, atunci când autori cum ar fi Plutarh și Cicero au vorbit despre teoremă ca fiind „a lui Pitagora”, au făcut-o ca și cum acesta era un lucru binecunoscut și de necontestat.

În jurul anului 400 î.Hr., conform lui Proclus, Platon a dat o metodă de a determina triplete pitagoreice care combină algebra și geometria. Există o infinitate de astfel de triplete,forma lor generală fiind x=2uv, y=u²-v², z=u²+v², unde u și v sunt numere naturale oarecare, cu u>v. După aproximativ 100 de ani, Euclid a dat în cadrul lucrării Elemente prima demonstrație axiomatică a teoremei.

Scris între 500 î.Hr. și 200 d.Hr., textul chinezesc Chou Pei Suan Ching (周髀算经) conține o demonstrație vizuală a teoremei.

De fapt, nu numai că nu se poate ști cine a descoperit teorema, dar cercetătorii nu se pot pune de acord nici în privința întrebării dacă a fost descoperită o singură dată, ori independent în istorie de către mai multe civilizații.

Teorema este valabilă doar în geometria euclidiană, de aceea orice demonstrație folosește (uneori indirect sau mai puțin vizibil) axioma lui Euclid.

Demonstrații

Demonstrație la teorema lui Pitagora

Teorema lui Pitagora a fost cunoscută mult timp înainte de Pitagora, dar el a fost primul care a demonstrat-o. În orice mod, demonstrația atribuită lui este foarte simplă, și apelează la o rearanjare a figurilor.

Cele două pătrate mari reprezentate în figură conțin fiecare patru triunghiuri identice, iar singura diferență dintre cele două pătrate mari este faptul că triunghiurile sunt aranjate într-un mod diferit. Astfel, spațiul alb din interiorului fiecărui pătrat mare trebuie să aibă aceeași suprafață. Egalând suprafețele spațiilor albe reiese teorema lui Pitagora, c.c.t.d.

Faptul că această demonstrație foarte simplă îi aparține lui Pitagora este dedus din scrierile filozofului și matematicianului grec Proclus.

Este posibil ca aceasta să fie teorema cu cele mai multe demonstrații; cartea The Pythagorean Proposition (în traducere directă Propoziția Pitagorică) conține 370 de demonstrații.

Demonstrația cu triunghiuri asemenea

Demonstrația cu triunghiuri asemenea

Această demonstrație are la bază proporționalitatea laturilor a două triunghiuri asemenea, adică are în vedere faptul că raportul dintre oricare două laturi corespondente ale triunghiurilor asemenea este aceeași, indiferent de mărimea triunghiurilor.

Fie ABD un triunghi dreptunghic, cu unghiul drept aflat în punctul C, după cum se observă în figură. Se desenează înălțimea în triunghi din punctul C, astfel ca H să fie punctul de intersecție al înălțimii cu latura AB. Punctul H împarte ipotenuza c în două părți, numite d și e. Noul triunghi, ACH, este asemenea cu triunghiul ABC, deoarece ambele au un unghi drept (prin definiție, înălțimea formează un unghi drept), iar unghiul lor comun este A, ceea ce înseamnă că cel de-al treilea unghi va fi același în ambele triunghiuri, marcat θ pe figură. Printr-o rațiune similară, triunghiul CBH este și el asemenea cu triunghiul ABC. Demonstrația asemănării triunghiurilor recurge la postulatul triunghiului: suma unghiurilor într-un triunghi este egală cu două unghiuri drepte, dar și la postulatul paralelismului. Asemănarea triunghiurilor ne conduce la egalarea rapoartelor dintre laturile corespondente după cum urmează:

${\frac {BC}{AB}}={\frac {BH}{BC}}{\text{ și }}{\frac {AC}{AB}}={\frac {AH}{AC}}.\,$

Primul rezultat este cosinusul unghiurilor θ, iar al doilea este sinusul lor.

Rapoartele pot fi scrise astfel:

${BC}^{2}={AB}\times {BH}{\text{ and }}{AC}^{2}={AB}\times {AH}.\,$

Însumarea acestor două egalități rezultă în

${BC}^{2}+{AC}^{2}={AB}\times {BH}+{AB}\times {AH}={AB}\times ({AH}+{BH})={AB}^{2},\,\!$

care, prin simplificare, dă expresia teoremei lui Pitagora:

${BC}^{2}+{AC}^{2}={AB}^{2}\ .\,\!$

Rolul acestei demonstrații de-a lungul istorie este subiectul multor speculații. Întrebarea care ar trebui pusă este de ce Euclid nu a folosit această demonstrație, dar a inventat alta. O presupunere ar fi că demonstrația cu triunghiuri asemenea avea nevoie de teoria proporțiilor, un subiect netratat până la publicarea lucrării Elemente, astfel că teoria proporțiilor avea nevoie de o dezvoltare mai mare la aceea vreme.

Demonstrația lui Euclid

Demonstrație ca în Elemente a lui Euclid

În mare parte, acesta este modul în care demonstrația lui Euclid din Elemente are loc. Pătratul mare este divizat în două dreptunghiuri, unul în stânga, iar altul în dreapta. Apoi, alt triunghi este construit astfel încât acesta să aibă jumătate din suprafața pătratului din partea stângă. Aceste două triunghiuri sunt congruente, ceea ce demonstrează faptul că acest pătrat are aceeași suprafață ca și dreptunghiul din stânga. O versiune analogă este valabilă și pentru dreptunghiul din partea dreaptă și pentru pătratul rămas. Recombinând cele două dreptunghiuri pentru a forma pătratul pe ipotenuză, suprafața sa este aceeași cu suma suprafețelor celor două pătrate. În continuare se află detaliile.

Fie A, B, C vârfurile unui triunghi dreptunghic, în care unghiul drept să fie A. Se trasează perpendiculara din punctul A prin ipotenuză, până pe latura opusă ipotenuzei, din pătrat. Dreapta desparte pătratul respectiv în două dreptunghiuri, fiecare având aceeași suprafață cu unul dintre pătratele de pe catete.

Pentru demonstrația formală, se recurge la patru leme elementare:

1. Dacă un triunghi are două laturi egale cu alte două laturi ale unui alt triunghi, iar unghiurile făcute de aceste laturi sunt egale,

atunci triunghiurile sunt congruente.

1. Suprafața unui triunghi este egală cu jumătate din suprafața oricărui paralelogram de aceeași bază și cu aceeași înălțime.
2. Suprafața unui dreptunghi este egală cu produsul a două laturi adiacente.
3. Suprafața unui pătrat este egală cu produsul a două dintre laturile sale (se deduce din 3).

În continuare, fiecare dintre pătratele de sus se află în legătură cu un triunghi congruent cu alt triunghi aflat la rândul său în legătură cu unul dintre cele două dreptunghiuri care alcătuiesc pătratul de jos.

Ilustrație incluzând noile drepte

Reprezentarea celor două triunghiuri congruente, cu jumătate din suprafața dreptunghiului BDLK și a pătratului BAGF

Demonstrația este următoarea:

1. Fie ACB un triunghi dreptunghic cu unghiul drept CAB.
2. Pe fiecare dintre laturile BC, AB și CA, se reprezintă pătratele CBDE, BAGF și ACIH, în această ordine. Construcția pătratelor necesită teoremele lui Euclid, și depinde de postulatul paralelismului.
3. Din A, se trasează dreapta paralelă cu BD și CE. Aceasta va fi perpendiculară pe laturile BC și DE, iar punctele de intersecție vor fi K și L.
4. Se trasează dreptele CF și AD, formându-se triunghiurile BCF și BDA.
5. Unghiurile CAB și BAG sunt ambele unghiuri drepte; astfel C, A, și G sunt puncte coliniare. Analog pentru punctele B, A și H.
6. Unghiurile CBD și FBA sunt ambele unghiuri drepte; astfel ABD este egal cu unghiul FBC, din moment ce ambele sunt egale cu suma dintre un unghi drept și unghiul ABC:
7. Deoarece AB este egală cu FB iar BD este egală cu BC, triunghiul ABD este congruent cu triunghiul FBC.
8. Deoarece A-K-L este o dreptă, paralelă cu BD, atunci dreptunghiul BDLK este de două ori aria triunghiului ABD, având baza comună BD și înălțimea BK.
9. Deoarece C este coliniar cu A și G, pătratul BAGF este de două ori aria triunghiului FBC.
10. Astfel, dreptunghiul BDLK are aceeași arie ca pătratul BAGF = AB².
11. Similar, se poate arăta că dreptunghiul CKLE are aceeași arie cu pătratul ACIH = AC².
12. Adunând rezultatele putem scrie AB² + AC² = BD × BK + KL × KC
13. Din moment ce BD = KL, BD × BK + KL × KC = BD(BK + KC) = BD × BC
14. Atunci AB² + AC² = BC², pentru că CBDE este un pătrat.

Această demonstrație, care apare în Elementele lui Euclid, sub forma Propoziției 47 din Cartea 1, arată faptul că suprafața pătratului de pe ipotenuză este suma suprafețelor celor două pătrate mici. Această demonstrație este una destul de diferită față de cea folosind asemănarea triunghiurilor, care folosește posibila metoda de demonstrație a Pitagora.

Demonstrația prin cuadratură

Suprafețele ambelor pătrate mari sunt egale cu $(a+b)^{2}\,$. Dacă suprafețele pătratelor roz, ce reprezintă pătratele numerelor $a\,$ și $b\,$ (figura din stânga) sunt substituite cu un pătrat ce reprezintă numărul $c\,$ la pătrat, făcându-se simultan o rearanjare a jumătăților celor două dreptunghiuri (fiecare fiind format inițial din câte două triunghiuri dreptunghice, congruente cu cel inițial), se obține figura din dreapta. Suprafețele celor două pătrate mari sunt identice, întrucât laturile acestora sunt congruente.

Calculând în fiecare caz suprafețele celor două pătrate, se obține:

$S=a^{2}+b^{2}+4{\frac {ab}{2}}$ (pentru pătratul din stânga)

$S=c^{2}+4{\frac {ab}{2}}$ (pentru pătratul din dreapta)

Se ajunge așadar la $c^{2}+2ab=a^{2}+b^{2}+2ab\,$, ceea ce duce direct la relația din teorema studiată.

Demonstrația prin rearanjare

Demonstrația pitagoreică, care a fost deja discutată, a fost o demonstrație prin rearanjare. Aceeași idee este reprezentată în animația din partea stângă, care conține pătratul mare de latură a + b, cu patru triunghiuri dreptunghice identice. Triunghiurile sunt reprezentate alternativ în două moduri de aranjare, în primul în care sunt arătate cele două pătrate mici a² și b², iar în al doilea în care este arătat pătratul c². Suprafața cuprinsă de pătratul exterior nu se schimbă, iar suprafața celor patru triunghiuri este aceeași și la începutul rearanjării, dar și după, așadar suprafețele pătratelor negre sunt egale. Astfel, ajungem la rezultatul a² + b² = c².

O a doua demonstrație prin rearanjare este reprezentată de animația din mijloc. Un pătrat mare este format din suprafața c²,din patru triunghiuri dreptunghice identice de laturi a, b și c, amplasate în jurul unui pătrat central mic. Apoi, se formează două dreptunghiuri cu laturile a și b prin mutarea triunghiurilor. Combinând pătratul mai mic cu aceste dreptunghiuri se formează două pătrate de suprafețe a² și b², care vor avea aceeași suprafață cu pătratul mare inițial.

O a treia demonstrație este reprezentată în imaginea din dreapta. Pătratele superioare sunt divizate după cum se poate observa, în figuri cu nuanțe de albastru și verde, iar aceste figuri mici pot fi rearanjate pentru a umple pătratul mare inferior. Analog, acest lucru se poate face și invers. Astfel, se poate observa faptul că suprafața pătratului mare este egală cu suprafețele pătratelor mici.

Animație ce reprezintă demonstrația prin rearanjarea a patru triunghiuri dreptunghice identice

Animație ce reprezintă demonstrația prin rearanjare

Demonstrație utilizând o rearanjare elaborată

Demonstrații algebrice

Diagramă cu cele două demonstrații algebrice

Teorema poate fi demonstrată algebric cu ajutorul a patru triunghiuri identice cu triunghiul dreptunghic de laturi a, b și c, aranjate în interiorul unui pătrat de latură c, după cum se poate observa în jumătatea superioară a diagramei. Triunghiurile sunt asemenea, având aria ${\tfrac {1}{2}}ab$, în timp ce pătratul mic are latura b − a și aria (b − a)². Așadar, aria pătratului mare este:

$(b-a)^{2}+4{\frac {ab}{2}}=(b-a)^{2}+2ab=a^{2}+b^{2}.\,$

Dar acesta este un pătrat de latură c și cu suprafața c², deci

$c^{2}=a^{2}+b^{2}.\,$

O demonstrație similară folosește patru copii ale aceluiași triunghi, care sunt aranjate simetric în jurul unui pătrat de latură c, după cum se poate observa în partea inferioară a diagramei. Astfel se formează un pătrat mai mare, de latură a + b și arie (a + b)². Cele patru triunghiuri și pătratul de latură c au aceeași suprafață cu pătratul cel mare,

$(b+a)^{2}=c^{2}+4{\frac {ab}{2}}=c^{2}+2ab,\,$

ceea ce conduce la:

$c^{2}=(b+a)^{2}-2ab=a^{2}+b^{2}.\,$

Diagramă reprezentând demonstrația lui Garfield

O altă demonstrație, o variațiune a celor de mai sus, a fost publicată de președintele american James A. Garfield. Diferența constă în utilizarea unui trapez în locul unui pătrat, acesta putând fi construit prin tăierea cu o dreaptă a pătratului mare reprezentat mai sus, în cadrul celei de-a doua demonstrații algebrice. Astfel, se obține trapezul reprezentat în diagramă. Deci suprafața trapezului este jumătate din cea a pătratului, adică

${\frac {1}{2}}(b+a)^{2}.$

Folosindu-se ecuația pătratului mare, vom aveam rezultatul înjumătățit pentru trapez. Raportul ${\frac {1}{2}}$ se reduce, astfel că în final rămâne ecuația pitagoreică.

Demonstrația cu diferențiale

Se poate ajunge la teorema lui Pitagora prin intermediul studiului modului în care schimbările într-o latură produc o schimbare în ipotenuză, iar pentru această demonstrație se apelează la calcului diferențial și integral.

Triunghiul ABC este un triunghi drept, după cum se observă și în partea superioară a diagramei, iar BC este ipotenuza. În același timp, lungimile triunghiului sunt măsurate după cum se poate vedea în partea inferioară, cu ipotenuza de lungime y, latura AC de lungime x și latura AB de lungime a.

Diagrama pentru demonstrația diferențială

Dacă x crește cu o valoare mică dx prin extinderea laturii AC către D, atunci y de asemenea crește cu dy. Acestea formează două laturi ale unui triunghi, CDE, care (cu E ales astfel încât CE să fie perpendicular pe ipotenuză) este un triunghi dreptunghic aproximativ asemănător cu ABC. De aceea, rapoartele dintre laturile lor trebuie să fie la fel, adică:

${\frac {dy}{dx}}={\frac {x}{y}}.$

Asta poate fi rescris după cum urmează:

$y\cdot dy-x\cdot dx=0.\,$

Aceasta este o ecuație diferențială care prin rezolvare dă

$y^{2}-x^{2}=C,\,$

Iar constanta poate fi dedusă de la x = 0, y = a pentru a obține ecuația

$y^{2}=x^{2}+a^{2}.\,$

Această demonstrație este mai degrabă intuitivă; se poate face și mai riguros dacă în locul valorilor dx și dy se folosesc limite.

Alte forme

După cum s-a arătat și în introducere, dacă c reprezintă lungimea ipotenuzei, iar a și b reprezintă lungimile celorlalte două latură, teorema lui Pitagora poate fi exprimată sub forma unei ecuații pitagorice:

$a^{2}+b^{2}=c^{2}.\,$

Dacă sunt cunoscute lungimile ambelor catete a și b , atunci c poate fi calculat astfel:

$c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.\,$

Dacă sunt cunoscute lungimea ipotenuzei c și a uneia dintre catete (a sau b), atunci lungimea celeilalte catete se poate calcula:

$a={\sqrt {c^{2}-b^{2}}}\,$

sau

$b={\sqrt {c^{2}-a^{2}}}.\,$

Teorema lui Pitagora oferă o relație de legătură între laturile unui triunghi dreptunghic într-un mod simplu, astfel că dacă sunt cunoscute lungimile la două dintre laturi, se poate calcula lungimea celei de a treia. Un corolar al teoremei spune că în orice triunghi dreptunghic, ipotenuza este mai mare decât oricare dintre catete, dar mai mică decât suma acestora.

O generalizare a teoremei pitagorice este teorema cosinusului, care oferă posibilitatea de a calcula lungimea oricărei laturi a unui triunghi, dacă se cunosc lungimile a două dintre laturi și unghiul dintre ele. Dacă unghiul dintre ele două este un unghi drept, atunci această teoremă se reduce la ecuația pitagorică.

Reciproca

Reciproca teoremei este de asemenea adevărată:

Oricare ar fi trei numere pozitive a, b, c astfel încât a² + b² = c² , există un triunghi cu laturi de lungimi a, b, c, iar unghiul dintre laturile de lungimi a și b va fi drept.

O formulare alternativă a reciprocii este:

Pentru orice triunghi cu laturile a, b, c, dacă a² + b² = c², atunci unghiul dintre laturile a și b are 90°.

Această reciprocă de asemenea apare în lucrarea Elemente a lui Euclid (Cartea I, Propoziția 48):

"Dacă într-un triunghi pătratul unei dintre laturi este egal cu suma pătratelor laturilor rămas ale triunghiului, atunci unghiul dintre celelalte două laturi ale triunghiului este drept."

Poate fi demonstrată folosindu-se teorema cosinusului după cum urmează:

Fie ABC un triunghi cu laturile a, b și c cu proprietatea că a² + b² = c². Fie un al doilea triunghi de lungime a și b, ce conține un unghi drept. Conform teoremei lui Pitagora, rezultă că ipotenuza acestui triunghi are lungimea laturii c = √a² + b², la fel cu ipotenuza primului triunghi. Din moment ce laturile ambelor triunghiuri au aceleași lungimi a, b și c, triunghiurile sunt congruente și trebuie să aibă aceleași unghiuri. Astfel, unghiul dintre laturile de lungime a și b din triunghiul original este un unghi drept.

Demonstrația reciprocii de mai sus face apel însuși la teorema lui Pitagora, dar reciproca poate fi demonstrată și fără să se utilizeze această teoremă.

Un corolar ce derivă din reciproca teoremei lui Pitagora este o metodă simplă de a determina dacă un triunghi este dreptunghic, obtuzunghic sau ascuțitunghic. Fie c cea mai lungă dintre cele trei laturi și a + b > c (altfel nu există acest triunghi conform inegalității triunghiului). Atunci, sunt adevărate următoarele relații:

• Dacă a² + b² = c², atunci triunghiul este dreptunghic.
• Dacă a² + b² > c², atunci triunghiul este ascuțitunghic.
• Dacă a² + b² < c², atunci triunghiul este obtuzunghic.

Edsger Dijkstra a enunțat această propoziție despre triunghiul ascuțitunghic, obtuzunghic și dreptunghic în următorul limbaj matematic:

sgn(α + β − γ) = sgn(a² + b² − c²),

unde α este unghiul opus laturii a, β este unghiul opus laturii b, γ este unghiul opus laturii c, iar sgn reprezintă funcția signum.

Consecințe și utilizări

Triplete pitagoreice

Articol principal: Triplet pitagoreic.

Un triplet pitagoreic (sau numere pitagoreice) conține trei numere pozitive întregi a, b și c, astfel încât a² + b² = c². Cu alte cuvinte, un triplet pitagoreic reprezintă lungimile laturilor unui triunghi dreptunghic astfel încât lungimile tuturor laturilor au valori numere întregi. Observații asupra monumentelor megalitice din Europa Nordică arată evidențe ale faptului că aceste triplete erau cunoscute cu mult timp înainte de descoperirea scrisului. Un triplet scris în mod obișnuit este (a, b, c). Alte exemple bine-cunoscute sunt (3, 4, 5) și (5, 12, 13).

Un triplet pitagoreic primitiv este este unul în care a, b și c sunt prime între ele (adică cel mai mare divizor comun al lui a, b și c este 1).

Următoarea este o listă de triplete pitagoreice primitive cu valori mai mici decât 100:

(3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (9, 40, 41), (11, 60, 61), (12, 35, 37), (13, 84, 85), (16, 63, 65), (20, 21, 29), (28, 45, 53), (33, 56, 65), (36, 77, 85), (39, 80, 89), (48, 55, 73), (65, 72, 97)

Numere complexe

Valoarea absolută a unui număr complex z este distanța r de la z până la origine

Pentru orice număr complex

$z=x+iy,\,$

valoarea absolută este dată de

$r=|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.\,$

Așadar cele trei numere, r, x și y sunt legate prin ecuația pitagoreică,

$r^{2}=x^{2}+y^{2}.\,$

Trebuie menționat faptul că r este definit ca fiind un număr pozitiv sau zero, dar x și y pot fi sau negative sau pozitive. Din punct de vedere geometric, r este distanța lui z de la zero sau din punctul de origine O în planul complex.

Această relație poate fi generalizată pentru găsirea distanței dintre două punte, cum ar fi z₁ și z₂. Distanța căutată este dată de relația

$|z_{1}-z_{2}|={\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}},\,$

care din nou este o versiune a ecuației pitagorice,

$|z_{1}-z_{2}|^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}.\,$

Distanțe euclidiene

Formula pentru distanță aplicabilă în coordonate carteziene este derivată din teorema lui Pitagora. Dacă (x₁, y₁) și (x₂, y₂) sunt puncte dintr-un plan, atunci distanța dintre ele, de asemenea cunoscută și ca distanță euclidiană, este dată de formula:

${\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}}.$

Mai general, într-un spațiu euclidian de ordinul n, distanța euclidiană dintre două puncte, $A\,=\,(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})$ și $B\,=\,(b_{1},b_{2},\dots ,b_{n})$, este definită, prin generalizarea teoremei lui Pitagora, ca:

${\sqrt {(a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}+\cdots +(a_{n}-b_{n})^{2}}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(a_{i}-b_{i})^{2}}}.$

Dacă nu sunt folosite coordonatele carteziene și, de exemplu, sunt folosite coordonate polare în două dimensiuni, formulele ce exprimă distanța euclidiană sunt mult mai complicate decât teorema lui Pitagora, dar pot fi derivate plecând de la aceasta. Un exemplu tipic în care distanța dintre două puncte este convertită în coordonate curbilinii poate fi găsit în cadrul aplicațiilor polinomialelor lui Legendre în fizică. Formulele pot fi deduse folosindu-se teorema lui Pitagora cu ecuațiile ce fac legătura dintre coordonatele curbilinii și cele carteziene. De exemplu, coordonatele polare (r, θ) pot fi scrise ca:

$x=r\cos \theta ,\ y=r\sin \theta .\,$

Cele două puncte cu locațiile (r₁, θ₁) și (r₂, θ₂) sunt separate de distanța s:

$s^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}=(r_{1}\cos \theta _{1}-r_{2}\cos \theta _{2})^{2}+(r_{1}\sin \theta _{1}-r_{2}\sin \theta _{2})^{2}.\,$

Combinând termeni și rezolvând diferite operații în pătrate, formula lui Pitagora în coordonate carteziene produce separarea în coordonate polare după cum urmează:

${\begin{aligned}s^{2}&=r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}\left(\cos \theta _{1}\cos \theta _{2}+\sin \theta _{1}\sin \theta _{2}\right)\\&=r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}\cos \left(\theta _{1}-\theta _{2}\right)\\&=r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}\cos \Delta \theta ,\end{aligned}}\,$

folosind formule pentru identitățile produselor prin sumă. Această formulă este cunoscută ca teorema cosinusului, câteodată numită și Teorema lui Pitagora Generalizată.

Identitatea trigonometrică pitagoreică

Triunghiuri asemenea dreptunghice, în care sunt reprezentate sinusul și cosinusul unghiului θ

Într-un triunghi drept cu catetele a, b și ipotenuza c, din punct de vedere trigonometric sunt determinate sinusul și cosinusul unghiului θ dintre latura a și ipotenuză astfel:

$\sin \theta ={\frac {b}{c}},\quad \cos \theta ={\frac {a}{c}}.$

De unde se deduce că:

${\cos }^{2}\theta +{\sin }^{2}\theta ={\frac {a^{2}+b^{2}}{c^{2}}}=1,$

unde ultima ecuație aplică teorema lui Pitagora. Această relație dintre sinus și cosinus este câteodată denumită identitatea trigonometrică pitagoreică fundamentală. În triunghiuri asemenea, raportul dintre laturi este același indiferent de mărimile lor, și depinde de unghiuri. Astfel, în figură, triunghiul cu ipotenuza de mărime egală cu 1 are cateta opusă de mărimea sin θ și cateta alăturată de mărimea cos θ.

Produsul vectorial

Suprafața unui paralelogram ca produs vectorial; vectorii a și b determină un plan iar a × b este normala acestui plan.

Teorema lui Pitagora are o legătură strânsă și cu produsul vectorial și cu produsul scalar:

$\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \|^{2}+(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}=\|\mathbf {a} \|^{2}\|\mathbf {b} \|^{2}.\,$

Această relație poate fi privită prin definiția produsului vectorial și scalar ca:

${\begin{aligned}\mathbf {a} \times \mathbf {b} &=ab\mathbf {n} \sin {\theta }\\\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &=ab\cos {\theta },\end{aligned}}$

unde n este un vector unitate normal pentru a și b. Relația se deduce prin aceste definiții și prin identitatea trigonometrică pitagoreică.

Aceasta poate fi de asemenea definită și prin produs scalar. Prin rearanjarea ecuației următoare se obține:

$\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \|^{2}=\|\mathbf {a} \|^{2}\|\mathbf {b} \|^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}.\,$

Această relație poate fi considerată ca o condiție în produsul scalar și astfel parte din definiția sa.

Generalizări

Pentru trei dimensiuni

Dacă $ABCDA'B'C'D'$ este un paralelipiped dreptunghic, cu $AB=l$ (lățimea), $BC=L$ (lungimea) și $AA'=h$ (înălțimea), atunci lungimea diagonalei sale mari, $AC'=d$, se poate determina prin formula $d^{2}=l^{2}+L^{2}+h^{2}$.

Teorema cosinusului

Articol principal: Teorema lui Pitagora generalizată.

Teorema lui Pitagora generalizată, numită și Teorema cosinusului, este valabilă în orice triunghi (euclidian) și poate fi exprimată astfel:

$a^{2}+b^{2}-2ab\cos {\theta }=c^{2},\,$

unde θ este unghiul dintre laturile $a\,$ și $b\,$.

Geometrie spațială

$\ \Delta s^{2}=(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}+(\Delta z)^{2}-c^{2}(\Delta t)^{2}$

Geometrie neeuclidiană

Articol principal: Geometrie neeuclidiană.

Teorema lui Pitagora are la bază axiomele folosite în geometria euclidiană, dar, de fapt, ea nu are valabilitate în geometriile neeuclidiene. (S-a arătat că teorema lui Pitagora este de fapt, echivalentă cu axioma paralelelor, adică al cincilea postulat al lui Euclid ). Cu alte cuvinte, în geometria neeuclidiană, relația dintre laturile unui triunghi trebuie să aibă o formă diferită de ecuația pitagoreică. De exemplu, în geometria sferică, toate cele trei laturi ale unui triunghi dreptunghic (cum ar fi a, b și c) au lungimea egală cu π/2, și toate unghiurile sale sunt drept, ceea ce se află în contradicție cu teorema lui Pitagora, deoarece a² + b² ≠ c².

Mai jos sunt considerate două cazuri în geometrii neeuclidiene: sferică și hiperbolică. În fiecare caz, ca și în cazul euclidian pentru triunghiuri care nu sunt dreptunghice, rezultatul se află având ca punct de plecare teorema cosinusului.

Totuși, teorema lui Pitagora rămâne adevărată în geometriile hiperbolică și eliptică dacă și numai dacă suma a două unghiuri este egală cu al treilea, adică A+B = C. Laturile sunt apoi relaționate astfel: suma suprafețelor cercurilor de diametre a și b sunt egale cu diametrul c.

Geometrie sferică

Articol principal: Geometrie sferică.

Triunghi sferic

Pentru orice triunghi dreptunghic aflat pe o sferă de rază R (de exemplu, dacă γ din figură este un unghi drept), de laturi a, b, c, relația dintre laturi ia următoarea formă:

$\cos \left({\frac {c}{R}}\right)=\cos \left({\frac {a}{R}}\right)\cos \left({\frac {b}{R}}\right).$

Această ecuație poate fi derivată ca un fiind caz special al teoremei cosinusului sferic, care se aplică tuturor triunghiurilor sferice:

$\cos \left({\frac {c}{R}}\right)=\cos \left({\frac {a}{R}}\right)\cos \left({\frac {b}{R}}\right)+\sin \left({\frac {a}{R}}\right)\sin \left({\frac {b}{R}}\right)\cos \gamma \ .$

Prin explicitarea seriilor Maclaurin pentru funcția cosinus ca o expansiune asimptotică,

$\cos x=1-{\frac {x^{2}}{2}}+O(x^{4}){\text{ când }}x\to 0\ ,$

se poate arăta faptul că în timp ce raza R se apropie de infinit și argumentele a/R, b/R și c/R tind către zero, relația sferică dintre laturile unui triunghi dreptunghic se apropie de forma euclidiană a teoremei lui Pitagora. Substituind expansiunea asimptotică pentru fiecare dintre cosinusuri în relația sferică pentru un triunghi dreptunghic se obține

$1-{\frac {1}{2}}\left({\frac {c}{R}}\right)^{2}+O\left({\frac {1}{R^{4}}}\right)=\left[1-{\frac {1}{2}}\left({\frac {a}{R}}\right)^{2}+O\left({\frac {1}{R^{4}}}\right)\right]\left[1-{\frac {1}{2}}\left({\frac {b}{R}}\right)^{2}+O\left({\frac {1}{R^{4}}}\right)\right]{\text{ când }}R\to \infty \ .$

Geometrie hiperbolică

Articol principal: Geometrie hiperbolică.

Triunghi hiperbolic

Pentru un triunghi dreptunghic în geometria hiperbolică, cu laturile a, b, c iar c fiind latura opusă unghiului drept, relația dintre laturi ia următoarea formă:

$\cosh c=\cosh a\,\cosh b$

unde cosh este cosinusul hiperbolic. Această formulă este o formă specială a legii cosinusului hiperbolic care se aplică tuturor triunghiurilor hiperbolice:

$\cosh c=\cosh a\ \cosh b-\sinh a\ \sinh b\ \cos \gamma \ ,$

unde γ este unghiul format la vârful opus laturii c.

Folosind serii Maclaurin pentru cosinusul hiperbolic, cosh x ≈ 1 + x²/2, se poate arăta faptul că dacă un triunghi hiperbolic devine foarte mic (anume, când a, b și c tind spre zero), relația hiperbolică pentru un triunghi dreptunghic se apropie de teorema lui Pitagora.

Geometrie diferențială

Articol principal: Geometrie diferențială.

Distanța între puncte separate infinitezimal în coordonate carteziene (sus) și coordonate polare (jos), conform teoremei lui Pitagora.

La un nivel infinitezimal, în spațiul tridimensional, teorema lui Pitagora descrie distanța dintre două puncte separate infinitezimal ca:

$ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2},\,$

unde ds este elementul distanței iar (dx, dy, dz) sunt componentele vectorului ce separă cele două puncte. Un asemenea spațiu se numește spațiu euclidian. Totuși, o generalizare a acestei expresii, folositoare pentru coordonate generale (nu doar carteziene) și spații generale (nu doar euclidiene) iau forma:

$ds^{2}=\sum _{i,j}^{n}g_{ij}\,dx_{i}\,dx_{j}$

unde g_ij se numește tensor metric. Poate fi o funcție de poziție. Astfel de spații curbe includ geometria lui Riemannian ca exemplu general. Această formulare de asemenea se aplică unui spațiu euclidian când sunt folosite coordonate curbilinii. De exemplu, în coordonate polare:

$ds^{2}=dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}\ .$

În cultura populară

Expoziție referitoare la teorema lui Pitagora la Muzeul Universum din Mexico City.

Teorema lui Pitagora se reflectă în cultura populară într-o mare varietate:

• Hans Christian Andersen a scris în 1831 un poem referitor la această teoremă: Formens Evige Magie (Et poetisk Spilfægteri).
• A verse of the Major-General's Song in the Gilbert and Sullivan comic opera The Pirates of Penzance, "About binomial theorem I'm teeming with a lot o' news, With many cheerful facts about the square of the hypotenuse", makes an oblique reference to the theorem.
• The Scarecrow in the film The Wizard of Oz makes a more specific reference to the theorem. Upon receiving his diploma from the Wizard, he immediately exhibits his "knowledge" by reciting a mangled and incorrect version of the theorem: "The sum of the square roots of any two sides of an isosceles triangle is equal to the square root of the remaining side. Oh, joy! Oh, rapture! I've got a brain!"
• În 2000, Uganda a emis o monedă în forma unui triunghi dreptunghic isoscel. Pe revers este reprezentată o imagine a lui Pitagora și ecuația α² + β² = γ², împreună cu mențiunea "PYTHAGORAS MILLENNIUM".
• Grecia, Japonia, San Marino, Sierra Leone și Surinam au emis mărci poștale cu referire la Pitagora și teorema sa.
• În romanul de ficțiune speculativă a lui Neal Stephenson, Anathem, teorema lui Pitagora este denumită 'teorema Adrakhonică'. O demonstrație a teoremei este proiectată pe o laterală a unei nave extraterestre pentru a demonstra înțelegerea matematică a extratereștrilor.

Bibliografie

Engleză

• Bell, John L. (1999). The Art of the Intelligible: An Elementary Survey of Mathematics in its Conceptual Development. Kluwer. ISBN 0-7923-5972-0. 
• Euclid (1956). Translated by Johan Ludvig Heiberg with an introduction and commentary by Sir Thomas L. Heath, ed. The Elements (3 vols.). Vol. 1 (Books I and II) (ed. Reprint of 1908). Dover. ISBN 0-486-60088-2.  On-line text at Euclid
• Heath, Sir Thomas (1921). „The 'Theorem of Pythagoras'”. A History of Greek Mathematics (2 Vols.) (ed. Dover Publications, Inc. (1981)). Clarendon Press, Oxford. p. 144 ff. ISBN 0-486-24073-8. 
• Libeskind, Shlomo (2008). Euclidean and transformational geometry: a deductive inquiry. Jones & Bartlett Learning. ISBN 0-7637-4366-6.  This high-school geometry text covers many of the topics in this WP article.
• Loomis, Elisha Scott (1968). The Pythagorean proposition (ed. 2nd). The National Council of Teachers of Mathematics. ISBN 978-0-87353-036-1.  For full text of 2nd edition of 1940, see Elisha Scott Loomis. „The Pythagorean proposition: its demonstrations analyzed and classified, and bibliography of sources for data of the four kinds of proofs” (PDF). Education Resources Information Center. Institute of Education Sciences (IES) of the U.S. Department of Education. Accesat în 4 mai 2010.  Originally published in 1940 and reprinted in 1968 by National Council of Teachers of Mathematics, isbn=0-87353-036-5.
• Maor, Eli (2007). The Pythagorean Theorem: A 4,000-Year History. Princeton, New Jersey: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-12526-8. 
• Stillwell, John (1989). Mathematics and Its History. Springer-Verlag. ISBN 0-387-96981-0.  Also ISBN 3-540-96981-0.
• Swetz, Frank; Kao, T. I. (1977). Was Pythagoras Chinese?: An Examination of Right Triangle Theory in Ancient China. Pennsylvania State University Press. ISBN 0-271-01238-2. 
• van der Waerden, Bartel Leendert (1983). Geometry and Algebra in Ancient Civilizations. Springer. ISBN 3-540-12159-5. 
• Alfred S. Posamentier: The Pythagorean Theorem: The Story of Its Power and Beauty. Prometheus Books 2010, ISBN 978-1-61614-181-3.

Alte limbi

• Anna M. Fraedrich: Die Satzgruppe des Pythagoras. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 1994, ISBN 3-86025-669-6.
• Hans Schupp: Elementargeometrie. UTB, Stuttgart 1977, ISBN 3-506-99189-2, S. 114–118.
• Alexander K. Dewdney: Reise in das Innere der Mathematik. Birkhäuser, Berlin 2000, ISBN 3-7643-6189-1, S. 47–76.

Legături externe

• The Pythagorean theorem: Teorema lui Pitagora (peste 70 de demonstrații ale teoremei, în engleză)
• Teorema lui Pitagora (în română)
• Legături interactive:
  • Demonstrație interactivă în Java
  • O altă demonstrație interactivă în Java
  • Teorema lui Pitagora cu animație interactivă
  • Animat, fără algebră Teorema lui Pitagora
• Subiect istoric: Teorema lui Pitagora în matematica babiloniană
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), „Pythagorean theorem”, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104 
• Eric W. Weisstein, Pythagorean theorem la MathWorld.
• Euclid (David E. Joyce, ed. 1997) [c. 300 BC]. Elements. Accesat în 2006-08-30.  In HTML with Java-based interactive figures.