Teorema cosinusului

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

În geometria plană, teorema cosinusului, cunoscută și sub numele de teorema lui Pitagora generalizată stabilește relația dintre lungimea unei laturi a unui triunghi în funcție de celelalte două laturi ale sale și cosinusul unghiului dintre ele.

Enunț[modificare | modificare sursă]

Într-un triunghi oarecare pătratul unei laturi este egal cu suma pătratelor celorlalte două laturi minus de două ori produsul lor multiplicat cu cosinusul unghiului dintre ele.

Formula:

BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2(AB)(AC)\cos A\,
a^2 = c^2 + b^2 - 2cb\cos A\,

sau:

cos(ABC)=(AB^2+BC^2-AC^2)/(2AB*BC)

unde AB=c, AC=b și BC=a sunt laturile triunghiului ABC.

Demonstrație bazată pe teorema lui Pitagora[modificare | modificare sursă]

Triangle with trigonometric proof of the law of cosines.svg

Se construiește înălțimea din unul din vârfurile laturii c, la fel ca în figura alăturată.[1]. Fără a restrânge generalitatea, se construiește și înălțimea opusă laturii b. Se formează astfel două triunghiuri dreptunghice. În triunghiul având ca ipotenuză latura c, se aplică teorema lui Pitagora:

\,c^2 = (a\sin\gamma)^2 + (b-a\cos\gamma)^2,

ceea ce este echivalent cu formula enunțată.

Note[modificare | modificare sursă]

  1. ^ Küstner, Hellwitch, Kästner, Petite encyclopédie des mathématiques, Édition Didier, 1980, ch 11-2, p 265