Distanța euclidiană

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

În matematică, distanța euclidiană sau metrica euclidiană este distanța „obișnuită” între două puncte, dată în coordonate carteziene de formula lui Pitagora. Utilizând această formulă ca distanță într-un spațiu euclidian, acest spațiu (ca și orice alt spațiu cu produs scalar) devine spațiu metric. Norma asociată acestui spațiu metric se numește normă euclidiană.

Definiție[modificare | modificare sursă]

Distanța euclidiană între două puncte p și q este lungimea segmentului de dreaptă care le unește, (\overline{\mathbf{p}\mathbf{q}}).

În coordonate carteziene, dacă p = (p1p2,..., pn) și q = (q1q2,..., qn) sunt două puncte într-un spațiu euclidian n-dimensional, atunci distanța de la p la q, sau de la q la p este dată de:

\mathrm{d}(\mathbf{p},\mathbf{q}) = \mathrm{d}(\mathbf{q},\mathbf{p}) = \sqrt{(q_1-p_1)^2 + (q_2-p_2)^2 + \cdots + (q_n-p_n)^2} = \sqrt{\sum_{i=1}^n (q_i-p_i)^2}. (1)

Poziția unui punct într-un spațiu euclidian de dimensiune n este un vector euclidian. Astfel, p și q sunt vectori euclidieni, cu originea în originea spațiunui, și cu vârful indicând cele două puncte. Norma euclidiană a unui vector măsoară lungimea vectorului:

\|\mathbf{p}\| = \sqrt{p_1^2+p_2^2+\cdots +p_n^2} = \sqrt{\mathbf{p}\cdot\mathbf{p}}

unde ultima ecuație implică produsul scalar.

Un vector poate fi descris ca fiind un segment de dreaptă ce leagă originea spațiului euclidian cu un punct din acel spațiu. Dacă se consideră că lungimea acestui segment este de fapt distanța dintre puncte, devine clar că norma euclidiană a unui vector este doar un caz particular de distanță euclidiană: distanța euclidiană între origine și punct.

Distanța între p și q poate avea direcție (de ex., de la p la q), și deci poate fi și ea reprezentată printr-un vector, dat de expresia

\mathbf{q} - \mathbf{p} = (q_1-p_1, q_2-p_2, \cdots, q_n-p_n)

Într-un spațiu tridimensional (n=3), aceasta este o săgeată de la p la q, care poate fi privită ca fiind poziția lui q relativ la p.

Distanța euclidiană între p și q este doar norma euclidiană a acestui vector-distanță: \|\mathbf{q} - \mathbf{p}\| = \sqrt{(\mathbf{q}-\mathbf{p})\cdot(\mathbf{q}-\mathbf{p})}. (2)

echivalent cu:

\|\mathbf{q} - \mathbf{p}\| = \sqrt{\|\mathbf{p}\|^2 + \|\mathbf{q}\|^2 - 2\mathbf{p}\cdot\mathbf{q}}.

Cazul unidimensional[modificare | modificare sursă]

În 1D, distanța între două puncte pe dreapta reală este valoarea absolută a diferenței lor. Astfel, dacă x și y sunt două puncte pe dreapta reală, distanța între ele este dată de:

\sqrt{(x-y)^2} = |x-y|.

Într-o singură dimensiune, există o singură metrică omogenă, invariantă la translație (cu alte cuvinte, o distanță indusă de normă), și anume distanța euclidiană. În mai multe dimensiuni, sunt posibile și alte norme.

Două dimensiuni[modificare | modificare sursă]

În planul euclidian, dacă p = (p1p2) și q = (q1q2) atunci distanța este dată de

\mathrm{d}(\mathbf{p},\mathbf{q})=\sqrt{(p_1-q_1)^2 + (p_2-q_2)^2}.

Altfel, rezultă din ecuația 2 (Format:EquationRef) că dacă coordonatele polare ale punctului p sunt (r1, θ1) iar cele ale lui q sunt (r2, θ2), atunci distanța este

\sqrt{r_1^2 + r_2^2 - 2 r_1 r_2 \cos(\theta_1 - \theta_2)}.

Trei dimensiuni[modificare | modificare sursă]

În spațiul euclidian tridimensional, distanța este

d = \sqrt{(p_1 - q_1)^2 + (p_2 - q_2)^2+(p_3 - q_3)^2}.

N dimensiuni[modificare | modificare sursă]

In general, pentru un spatiu cu N dimensiuni, distanta este:

d(p, q) = \sqrt{(p_1 - q_1)^2 + (p_2 - q_2)^2+...+(p_i - q_i)^2+...+(p_n - q_n)^2}.

Distanța euclidiană la pătrat[modificare | modificare sursă]

Distanța euclidiană standard se poate ridica la pătrat pentru a da pondere mai mare obiectelor aflate la distanță mai mare. În acest caz, ecuația de definiție a distanței devine

d(p, q) = (p_1 - q_1)^2 + (p_2 - q_2)^2+...+(p_i - q_i)^2+...+(p_n - q_n)^2.

Aceasta nu este o metrică, deoarece nu satisface inegalitatea triunghiului, dar este utilizată adesea în probleme de optimizare în care distanțele trebuie doar comparate, valorile lor numerice nefiind importante.