4-politop

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Grafurile celor șase 4-politopuri regulate convexe
{3,3,3} {3,3,4} {4,3,3}
4-simplex t0.svg
5-celule
Pentatop
4-simplex
4-cube t3.svg
16-celule
Ortoplex
4-ortoplex
4-cube t0.svg
8-celule
Tesseract
4-cub
{3,4,3} {5,3,3} {3,3,5}
24-cell t0 F4.svg
24-celule
Octaplex
120-cell graph H4.svg
120-celule
Dodecaplex
600-cell graph H4.svg
600-celule
Tetraplex

În geometrie, un 4-politop este un politop cvadridimensional.[1][2] Este o figură conexă și închisă, compusă din elemente geometrice din dimensiuni inferioare: vârfuri, laturi, fețe (poligoane) și celule (poliedre). Fiecare față aparține la exact două celule.

Analogul bidimensional al unui 4-politop este un poligon, iar analogul tridimensional este un poliedru.

Topologic, 4-politopurile sunt strâns legate de fagurii uniformi convecși, cum ar fi fagurele cubic, care teselează spațiul tridimensional; în mod similar cubul din 3D este legat de pavarea pătrată infinită din 2D. 4-politopurile convexe pot fi „tăiate și desfășurate” ca desfășurata corpurilor tridimensionale.

Definiție[modificare | modificare sursă]

Un 4-politop este o figură închisă din spațiul cu patru dimensiuni. Elementele sale sunt vârfuririle (punctele din colțuri), laturile, fețele și celulele. O celulă este analogul tridimensional al unei fețe, prin urmare este un poliedru. Fiecare față trebuie să unească exact două celule, analog modului în care fiecare muchie a unui poliedru unește doar două fețe. Ca orice politop, elementele unui 4-politop nu pot fi împărțite în două sau mai multe seturi care sunt, de asemenea, 4-politopuri, adică nu este un compus.

Cel mai familiar 4-politop este tesseractul, analogul 4D al cubului.

Vizualizare[modificare | modificare sursă]

Exemple de prezentare a 24-celule
Secțiune Desfășurată
24cell section anim.gif Polychoron 24-cell net.png
Proiecții
Schlegel 2D ortogonal 3D ortogonal
Schlegel wireframe 24-cell.png 24-cell t0 F4.svg Orthogonal projection envelopes 24-cell.png

4-politopurile nu pot fi văzute în spațiul tridimensional datorită dimensiunii lor suplimentare. Sunt folosite mai multe tehnici pentru a le vizualiza.

Proiecții ortogonale

Proiecțiile ortogonale pot fi folosite pentru a arăta diferite orientări ale simetriilor unui 4-politop. Acestea pot fi proiectate în 2D ca grafuri ale vârfurilor și laturilor și pot fi reperzentate în 3D cu celulele vizibile ale anvelopei convexe.

Proiecții în perspectivă

Așa cum o formă 3D poate fi proiectată în 2D pe o foaie plană, tot așa o formă 4D poate fi proiectată în 3D sau chiar în 2D pe o foaie plană. O proiecție obișnuită este diagrama Schlegel, care folosește proiecția stereografică a punctelor de pe suprafața unei sfere în 3D, conectate prin laturi drepte, fețe și celule trasate în spațiul tridimensional.

Secționări

La fel cum o secțiune printr-un poliedru prezintă suprafața din dreptul secțiunii, tot așa o secțiune printr-un 4-politop este o hipersuprafață în trei dimensiuni. O secvență de astfel de secțiuni poate fi utilizată pentru a înțelege forma generală. Dimensiunea suplimentară poate fi echivalată cu timpul pentru a produce o animație lină a acestor secțiuni transversale.

Desfășurate

Desfășurata unui 4-politop este compusă din celulele poliedrice care sunt conectate prin fețele lor și toate ocupă același spațiu tridimensional, la fel cum fețele poligonale ale unei desfășurate 2D a unui poliedru sunt conectate prin muchiile lor și toate se află în același plan.

Caracteristici topologice[modificare | modificare sursă]

Diagrama Schlegel a tesseractului

Topologia oricărui 4-politop dat este definită de numerele Betti și coeficienții de torsiune.[3]

În dimensiuni superioare caracteristica Euler, utilizată pentru caracterizarea poliedrelor, este zero pentru toate 4-politopurile, indiferent de topologia lor de bază, ca urmare este puțin utilă. Această nefuncționalitate a caracteristicii lui Euler de a distinge între diferite topologii din dimensiuni superioare a dus la descoperirea numerelor Betti, mai sofisticate.[3]

Similar, noțiunea de orientabilitate a unui poliedru este insuficientă pentru a caracteriza răsucirile suprafețelor 4-politopurilor toroidale, fapt care a condus la utilizarea coeficienților de torsiune.[3]

Clasificare[modificare | modificare sursă]

Criterii[modificare | modificare sursă]

La fel ca toate politopurile, 4-politopurile pot fi clasificate pe baza proprietăților de convexitate și simetrie.

  • Un 4-politop este scaliform dacă este tranzitiv pe vârfuri și are toate laturile de lungime egală. Aceasta permite celule care nu sunt uniforme, cum ar fi poliedrele Johnson cu fețe regulate.
  • Un 4-politop este prismatic dacă este produsul cartezian a două sau mai multor politopuri din dimensiuni inferioare. Un 4-politop prismatic este uniform dacă componentele sale sunt uniforme. Tesseractul este prismatic, fiind produsul a două pătrate, sau al unui cub și al unui segment, dar este considerat separat, deoarece are alte simetrii decât cele moștenite de la componentele sale.
  • O teselare sau un fagure din spațiul tridimensional este o divizare tridimensională a spațiului euclidian într-o grilă repetitivă de celule poliedrice. Teselările sunt infinite, nu sunt mărginite de frontiera unui volum cvadridimensional și sunt exemple de 4-politopuri infinite. O pavare uniformă tridimensională este una ale cărei vârfuri sunt congruente, legate de un grup spațial și ale cărei celule sunt poliedre uniforme.

Clase[modificare | modificare sursă]

În lista următoare sunt enumerate diferite categorii de 4-politopuri clasificate în conformitate cu criteriile de mai sus:

120-celule trunchiat este unul din cele 47 de 4-politopuri uniforme convexe neprismatice

4-politopuri uniforme (tranzitive pe vârfuri):

  • 4-politopuri uniforme convexe (64, plus două familii infinite)
    • 47 de 4-politopuri uniforme convexe neprismatice, inclusiv:
      • 6 4-politopuri regulate convexe
    • 4-politopuri uniforme prismatice:
      • {} × {p,q}: 18 hiperprisme poliedrice (inclusiv hiperprisma cubică, hipercubul regulat)
      • Prisme construite pe antiprisme (familie infinită)
      • {p} × {q}: Duoprisme (familie infinită)
  • 4-politopuri uniforme neconvexe (10 + necunoscute)
    Marele larg 120-celule stelat este cel mai mare din cele 10 4-politopuri regulate, având 600 de vârfuri
    • 10 politopuri Schläfli-Hess (regulate)
    • 57 de hiperprisme construite din poliedre uniforme neconvexe
    • Un număr necunoscut de 4-politopuri uniforme neconvexe: Norman Johnson și alți colaboratori au identificat 1849 de cazuri cunoscute (convexe și stelate), toate construite pe baza figurii vârfului de aplicația Stella4D.[4]

Alte 4-politopuri convexe:

Fagurele cubic regulat este singurul 4-politop regulat infinit din spațiul tridimensional euclidian

4-politopuri uniforme infinite din spațiul euclidian tridimensional (teselări uniforme cu celule uniforme convexe)

  • 28 faguri uniformi convecși: teselări poliedrice uniforme convexe, inclusiv:
    • 1 teselare regulată, fagurele cubic: {4,3,4}

4-politopuri uniforme infinite din 3-spațiul hiperbolic (teselări uniforme cu celule uniforme convexe)

  • 76 faguri uniformi conveși în spațiul hiperbolic (Wythoffieni), inclusiv:
    • 4 teselări regulate din 3-spațiul hiperbolic compact: {3,5,3}, {4,3,5}, {5,3,4}, {5,3,5}

4-politopuri uniforme duale (tranzitive pe celule, izotopice):

  • 41 de 4-politopuri uniforme convexe duale unice
  • 17 prisme poliedrice uniforme convexe duale unice
  • o familie infinită de duoprisme uniforme convexe duale (celule tetraedrice neregulate)
  • 27 de faguri uniformi convecși duali unici, inclusiv:

Altele:

11-celule este un 4-politop regulat abstract, existent în planul proiectiv real, poate fi văzut prin prezentarea celor 11 vârfuri hemiicosaedrice și celule indexate și colorate

4-politopuri abstracte regulate:

Aceste categorii includ doar 4-politopurile care prezintă un grad ridicat de simetrie. Sunt posibile multe alte 4-politopuri, dar nu au fost studiate la fel de mult ca cele incluse în aceste categorii.

Note[modificare | modificare sursă]

  1. ^ en Vialar, T. (). Complex and Chaotic Nonlinear Dynamics: Advances in Economics and Finance. Springer. p. 674. ISBN 978-3-540-85977-2. 
  2. ^ en Capecchi, V.; Contucci, P.; Buscema, M.; D'Amore, B. (). Applications of Mathematics in Models, Artificial Neural Networks and Arts. Springer. p. 598. doi:10.1007/978-90-481-8581-8. ISBN 978-90-481-8580-1. 
  3. ^ a b c en Richeson, D.; Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topoplogy, Princeton, 2008.
  4. ^ en Uniform Polychora, Norman W. Johnson (Wheaton College), 1845 cases in 2005

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

  • en H.S.M. Coxeter:
    • H. S. M. Coxeter, M. S. Longuet-Higgins and J. C. P. Miller: Uniform Polyhedra, Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Londne, 1954
    • H.S.M. Coxeter, Regular Polytopes, 3rd Edition, Dover New York, 1973
  • en Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN: 978-0-471-01003-6 [1]
    • (Paper 22) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
    • (Paper 23) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
    • (Paper 24) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
  • en J.H. Conway and M.J.T. Guy: Four-Dimensional Archimedean Polytopes, Proceedings of the Colloquium on Convexity at Copenhagen, page 38 und 39, 1965
  • en N.W. Johnson: The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs, Ph.D. Dissertation, University of Toronto, 1966
  • de Marco Möller, Vierdimensionale Archimedische Polytope Arhivat în , la Wayback Machine., 2004 PhD dissertation (Polytope im IR4 (= Polychora))

Legături externe[modificare | modificare sursă]

 v  d  m Politopuri regulate și uniforme convexe fundamentale în dimensiunile 2–10
Familie An Bn I2(p) / Dn E6 / E7 / E8 / F4 / G2 Hn
Poligoane regulate Triunghi Pătrat p-gon Hexagon Pentagon
Poliedre uniforme Tetraedru OctaedruCub Semicub DodecaedruIcosaedru
4-politopuri uniforme 5-celule 16-celuleTesseract Semitesseract 24-celule 120-celule600-celule
5-politopuri uniforme 5-simplex 5-ortoplex5-cub 5-semicub
6-politopuri uniforme 6-simplex 6-ortoplex6-cub 6-semicub 122221
7-politopuri uniforme 7-simplex 7-ortoplex7-cub 7-semicub 132231321
8-politopuri uniforme 8-simplex 8-ortoplex8-cub 8-semicub 142241421
9-politopuri uniforme 9-simplex 9-ortoplex9-cub 9-semicub
10-politopuri uniforme 10-simplex 10-ortoplex10-cub 10-semicub
n-politopuri uniforme n-simplex n-ortoplexn-cub n-semicub 1k22k1k21 n-politop pentagonal
Topicuri: Familii de politopuriPolitop regulat