120-celule

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
120-celule regulat
(dodecaplex)
Schlegel wireframe 120-cell.png
Diagramă Schlegel
(vârfuri și laturi)
Tip4-politop regulat convex
Simbol Schläfli{5,3,3}
Diagramă CoxeterCDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Celule120 {5,3} Dodecahedron.png
Fețe720 {5} Regular pentagon.svg
Laturi1200
Vârfuri600
Figura vârfului120-cell verf.svg
Tetraedru
Poligon Petrie30-gon
Grup CoxeterH4, [3,3,5], ordin 1440
Dual600-celule
Proprietățiconvex, izogonal, izotoxal, izoedric
Index uniform32
Desfășurata

În geometrie 120-celule[a] este un obiect din spațiul cvadridimensional, unul dintre cele șase 4-politopuri convexe regulate descrise pentru prima dată de matematicianul elvețian Ludwig Schläfli la mijlocul secolului al XIX-lea. Mai este cunoscut sub numele de dodecaplex (prescurtare a expresiei „complex de dodecaedre”), hiperdodecaedru sau C120.[1]

Poate fi considerat analogul în 4 dimensiuni al dodecaedrului regulat. Așa cum un dodecaedru poate fi construit din 12 pentagoane, câte 3 în jurul fiecărui vârf, „dodecaplexul” poate fi construit din 120 celule dodecaedrice, care se întâlnesc câte 3 în jurul fiecărei laturi și câte 4 în fiecare vârf.

Elemente[modificare | modificare sursă]

Configurație[modificare | modificare sursă]

Matricea de configurație de mai jos descrie 120-celule. Rândurile și coloanele corespund vârfurilor, laturilor, fețelor și celulelor. Numerele de pe diagonale spun câte din fiecare element apar în întreagul 120-celule. Celelalte numere indică câte dintre elementele coloanei apar în sau la elementul rândului.[3][4]

Tabelul următor arată configurația extinsă cu k-elemente de față și k-figuri. Numărul de elemente diagonale reprezintă ordinul întregului grup Coxeter, 14400, împărțit la ordinul subgrupului cu eliminarea oglinzii.

H4 CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png k-față fk f0 f1 f2 f3 k-fig Note
A3 CDel node x.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png ( ) f0 600 4 6 4 {3,3} H4/A3 = 14400/24 = 600
A1A2 CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node x.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png { } f1 2 720 3 3 {3} H4/A2A1 = 14400/6/2 = 1200
H2A1 CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node x.pngCDel 2.pngCDel node.png {5} f2 5 5 1200 2 { } H4/H2A1 = 14400/10/2 = 720
H3 CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node x.png {5,3} f3 20 30 12 120 ( ) H4/H3 = 14400/120 = 120

Coordonate carteziene[modificare | modificare sursă]

Cele 600 de vârfuri ale unui 120-celule cu o lungime a laturii de 2/φ2 = 3–5 și o rază de la centru la vârf de 8 = 22 include toate permutările:[5]

(0, 0, ±2, ±2)
(±1, ±1, ±1, ±5)
(±φ−2, ±φ, ±φ, ±φ)
(±φ−1, ±φ−1, ±φ−1, ±φ2)

și toate permutările pare ale:

(0, ±φ−2, ±1, ±φ2)
(0, ±φ−1, ±φ, ±5)
(±φ−1, ±1, ±φ, ±2)

unde φ este secțiunea de aur, 1 + 5/2.

Având în vedere matricea de adiacență a vârfurilor reprezentând graful său poliedric, diametrul grafului este 15, conectând fiecare vârf cu cel de la negativul coordonatelor sale, la o distanță de 42. Există 24 de căi diferite de a le conecta de-a lungul laturilor politopului. Din fiecare vârf există 4 vârfuri la distanța 1, 12 la distanța 2, 24 la distanța 3, 36 la distanța 4, 52 la distanța 5, 68 la distanța 6, 76 la distanța 7, 78 la distanța 8, 72 la distanță 9, 64 la distanță 10, 56 la distanță 11, 40 la distanță 12, 12 la distanță 13, 4 la distanță 14 și 1 la distanță 15. Matricea de adiacență are 27 de valori proprii distincte variind de la 2/φ2, cu o multiplicitate de 4, la 4, cu o multiplicitate de 1. Multiplicitatea valorii proprii 0 este 18, iar rangul matricei de adiacență este 582.

Vizualizare[modificare | modificare sursă]

120-celule este format din 120 de celule dodecaedrice. În scopul vizualizării este convenabil ca dodecaedrele să fie aliniate (o trăsătură pe care o au și celulele tesseractului și 24-celulei). Se pot alinia dodecaedrele față la față pe o dreaptă îndoită în a 4-a dimensiune într-un cerc mare cu o circumferință de 10 celule. Pornind de la această construcție inițială de zece celule, există două vizualizări obișnuite care pot fi folosite: o proiecție stereografică stratificată și o structură de inele care se împletesc.

Proiecția stereografică stratificată[modificare | modificare sursă]

Pozițiile celulelor se pretează la o descriere hipersferică. Fie un dodecaedru arbitrar etichetat „polul nord”. Douăsprezece arce de cercuri mari meridiane (lungi de patru celule) sunt distribuite radial în 3 dimensiuni, convergând într-o a cincea celulă, „polul sud”. Acest schelet reprezintă 50 din cele 120 de celule (2 + 4 × 12).

Începând de la polul nord, în tabelul de mai jos se construiește 120-celule în 9 straturi pe latitudine, în stilul topografiei terestre a 2-sferei. Cu excepția polilor, centroizii celulelor fiecărui strat se află pe o 2-sferă separată, cu centroizii ecuatoriali care se află pe o mare 2-sferă. Centroizii celor 30 de celule ecuatoriale formează vârfurile unui icosidodecaedru, cu meridianele (așa cum s-a descris mai sus) trecând prin centrul fiecărei fețe pentagonale. Celulele etichetate „interstițiale” în tabelul următor nu sunt pe cercurile mari meridiane.

Nr. strat Nr. celule Descriere Colatitudine Regiune
1 1 Polul nord Emisfera
nordică
2 12 Primul strat al celulelor meridionale / "Cercul Arctic" 36°
3 20 Nemeridian / interstițial 60°
4 12 Al doilea strat al celulelor meridionale / "Tropicul Cancerului" 72°
5 30 Nemeridian / interstițial 90° Ecuator
6 12 Al treilea strat al celulelor meridionale / "Tropicul Capricornului" 108° Emisfera
sudică
7 20 Nemeridian / interstițial 120°
8 12 Al patrulea strat al celulelor meridionale / "Cercul Antarctic" 144°
9 1 Polul sud 180°
Total 120 celule

Celulele straturilor 2, 4, 6 și 8 sunt situate peste fețele celulelor polare. Celulele straturilor 3 și 7 sunt situate direct pe vârfurile celulelor polare. Celulele stratului 5 sunt situate pe laturile celulelor polare.

Structura de inele care se împletesc[modificare | modificare sursă]

Două inele împletite ale unui 120-celule
Două inele ortogonale într-o proiecție cu o celulă în centru

120-celule poate fi divizat în 12 inele de cercuri mari de câte 10 celule, disjuncte, formând o fibrare Hopf discretă/cuantificată. Începând cu un inel cu 10 celule, se poate așeza un alt inel alături de el, care spiralează în jurul primului inel, executând o revoluție completă la 10 celule. Cinci astfel de inele cu 10 celule pot fi plasate adiacent inelului inițial. Deși inelele exterioare „spiralează” în jurul inelului interior (și fiecare în jurul fiecăruia), ele nu au de fapt o formă elicoidală torsionată. Toate sunt echivalente. Spiralarea este rezultatul curburii 3-sferei. Inelul „interior” și cele cinci inele „exterioare” formează acum un tor cu șase inele și 60 de celule. Se poate continua adăugarea de inele cu 10 celule adiacente celor anterioare, dar este mai instructivă construcția unui al doilea tor, disjunct de cel de mai sus, din celelalte 60 de celule, care se interconectează cu primul. 120-celule, ca și 3-sfera, este reuniunea acestor două toruri (Clifford). Dacă inelul central al primului tor este un cerc mare meridian așa cum s-a definit mai sus, inelul central al celui de-al doilea tor este cercul mare ecuatorial care este centrat pe cercul meridian. De reținut că învelișul spiralat de 50 de celule în jurul unui inel central poate fi pe stânga sau pe drepta. Este doar o chestiune de divizare diferită a celulelor, adică de alegerea unui alt set de cercuri mari disjuncte.

Alte construcții ale cercului mare[modificare | modificare sursă]

Există o altă cale a cercurilor mari care prezintă interes, cea care trece alternativ prin vârfurile celulelor opuse, apoi de-a lungul unei laturi. Această cale este formată din 6 celule și 6 margini. Ambele căi ale cercurilor mari de mai sus au căi duale ale cercurilor mari în 600-celule. Calea precedentă de 10 celule față la față se aplică pe calea celor 10 vârfuri care trece de-a lungul laturilor 600-celulei, formând un decagon. Calea alternată celulă/latură de mai sus se aplică pe o cale constând din 12 tetraedre care se întâlnesc alternat față la față, apoi vârf la vârf (șase bipiramide triunghiulare) în 600-celule. Această din urmă cale corespunde unui inel format din șase icosaedre care se întâlnesc față la față în 24-celule snub (sau piramidă icosaedrică în 600-celule).

Proiecții[modificare | modificare sursă]

Proiecții ortogonale[modificare | modificare sursă]

Proiecția ortogonală a unui 120-celule se poate face în 2D prin definirea a doi vectori de bază ortonormali pentru o direcție specifică de vizualizare. Proiecția 30-gonală a fost realizată în 1963 de B.L. Chilton.[6]

Proiecția H3 decagonală arată planul poligonului van Oss.

Proiecții ortogonale ale planelor Coxeter
H4 F4
120-cell graph H4.svg
[30]
120-cell t0 p20.svg
[20]
120-cell t0 F4.svg
[12]
H3 A2 / B3 / D4 A3 / B2
120-cell t0 H3.svg
[10]
120-cell t0 A2.svg
[6]
120-cell t0 A3.svg
[4]

Proiecțiile ortogonale tridimensionale pot fi realizate cu trei vectori de bază ortonormali și afișate ca model 3D, apoi proiectând o anumită perspectivă tridimensională într-o imagine 2D.

Proiecții ortogonale 3D
120Cell 3D.png

Proiecție izometrică 3D

Rotație cvadridimensională animată

Proiecții în perspectivă[modificare | modificare sursă]

Acestea sunt proiecții în perspectivă, dintr-un punct de vedere din spațiul cvadridimensional, și proiectează modelul ca o imagine 3D. Prin urmare, fețele și celulele care par mai mari sunt doar mai aproape de punctul de vedere 4D. Diagrama Schlegel folosește perspectiva pentru a afișa figuri cvadridimensionale, alegând un punct deasupra unei anumite celule, făcând astfel celula să fie anvelopa 3D, iar alte celule sunt văzute mai mici în interiorul ei. Proiecția stereografică utilizează aceeași abordare, dar sunt prezentate cu laturile curbate, reprezentând politopul ca o teselare a unei 3-sfere.

În tabelul următor se prezintă o comparație a proiecțiilor în perspectivă ale unui dodecaedru (tridimensional) și a unui 120-celule (cvadridimensional).

Comparație ci un dodecaedru regulat
Proiecție Dodecaedru 120-celule
Diagramă Schlegel Dodecahedron schlegel.svg
12 fețe pentagonale bidimensionale
Schlegel wireframe 120-cell.png
120 de celule dodecaedrice tridimensionale
Proiecție stereografică Dodecahedron stereographic projection.png Stereographic polytope 120cell faces.png
Cu fețe transparente
Proiecții în perspectivă
120-cell perspective-cell-first-02.png Proiecție în perspectivă cu o celulă în față, de la de 5 ori distanța de la punctul de vedere la un vârf, cu aceste modificări:
  • cel mai apropiat dodecaedru de punctul de vedere cvadridimensional este colorat galben
  • cele 12 dodecaedre adiacente sunt colorate albastru;
  • restul dodecaedrelor sunt colorate verde;
  • celulele care sunt îndreptate în alte direcții decât cea a punctului de vedere (acelea care se află pe „fața îndepărtată” a 120-celulei) sunt eliminate pentru clarifica imaginea.
120-cell perspective-vertex-first-02.png Proiecție în perspectivă cu un vârf în față, de la de 5 ori distanța de la punctul de vedere la un vârf, cu aceste modificări:
  • cele 4 celule din jurul vârfului sunt colorate diferit;
  • cel mai apropiat vârf este colorat alb (în mijlocul imaginii, unde celulele se întâlnesc);
  • restul celulelor sunt colorate verde transparent;
  • celulele care sunt îndreptate în alte direcții decât cea a punctului de vedere sunt eliminate pentru clarifica imaginea.
120-cell.gif O proiecție 3D a unui 120-celule care efectuează o rotație simplă.
120-cell-inner.gif O proiecție 3D a unei 120-celule care efectuează o rotație simplă (văzută din interior).
Rotație cvadridimensională animată.

Poliedre și faguri asociați[modificare | modificare sursă]

120-celule este unul dintre cele 15 politopuri regulate și uniforme cu aceeași simetrie [3,3,5]:

Familia de politopuri H4
120-celule 120-celule
rectificat
120-celule
trunchiat
120-celule
cantelat
120-celule
runcinat
120-celule
cantitrunchiat
120-celule
runcitrunchiat
120-celule
omnitrunchiat
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
{5,3,3} r{5,3,3} t{5,3,3} rr{5,3,3} t0,3{5,3,3} tr{5,3,3} t0,1,3{5,3,3} t0,1,2,3{5,3,3}
120-cell t0 H3.svg 120-cell t1 H3.svg 120-cell t01 H3.svg 120-cell t02 H3.png 120-cell t03 H3.png 120-cell t012 H3.png 120-cell t013 H3.png 120-cell t0123 H3.png
600-cell t0 H3.svg 600-cell t1 H3.svg 600-cell t01 H3.svg 600-cell t02 H3.svg 120-cell t12 H3.png 120-cell t123 H3.png 120-cell t023 H3.png
600-celule 600-celule
rectificat
600-celule
trunchiat
600-celule
cantelat
600-celule
bitrunchiat
600-celule cantitrunchiat 600-celule
runcitrunchiat
600-celule
omnitrunchiat
CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
{3,3,5} r{3,3,5} t{3,3,5} rr{3,3,5} 2t{3,3,5} tr{3,3,5} t0,1,3{3,3,5} t0,1,2,3{3,3,5}

Este similar cu trei 4-politopuri regulate din spațiul cvadridimensional euclidian: 5-celule {3,3,3}, tesseract {4,3,3}, și fagurele pavare hexagonală din spațiul hiperbolic. Toate acestea au tetraedrul ca figura vârfului.

Acest fagure face parte dintr-o secvență de 4-politopuri și faguri cu celule dodecaedrice:

Politopuri {5,3,p}
Spațiu S3 H3
Formă Finit Compact Paracompact Necompact
Nume {5,3,3} {5,3,4} {5,3,5} {5,3,6} {5,3,7} {5,3,8} ... {5,3,∞}
Imagine Schlegel wireframe 120-cell.png H3 534 CC center.png H3 535 CC center.png H3 536 CC center.png Hyperbolic honeycomb 5-3-7 poincare.png Hyperbolic honeycomb 5-3-8 poincare.png Hyperbolic honeycomb 5-3-i poincare.png
Figura
vârfului
Tetrahedron.png
{3,3}
Octahedron.png
{3,4}
Icosahedron.png
{3,5}
Uniform tiling 63-t2.svg
{3,6}
Order-7 triangular tiling.svg
{3,7}
H2-8-3-primal.svg
{3,8}
H2 tiling 23i-4.png
{3,∞}

Note explicative[modificare | modificare sursă]

  1. ^ „120-celule” este o prescurtare a expresiei din limba română „un politop cvadridimensional format din 120 de celule”, plural „două sau mai multe politopuri cvadridimesnsionale formate din câte 120 de celule”, expresii care se acordă corespunzător, deci se vorbește despre „un/acel 120-celule”, nu „o/acea 120-celule”, respectiv „unele/acele 120-celule”', nu „unii/acei 120-celule”. La fel la celelalte politopuri ale căror nume este de forma „n-celule”.

Note[modificare | modificare sursă]

  1. ^ en N.W. Johnson: Geometries and Transformations, (2018) ISBN: 978-1-107-10340-5 Chapter 11: Finite Symmetry Groups, 11.5 Spherical Coxeter groups, p.249
  2. ^ Coxeter, Regular polytopes, p.293
  3. ^ Coxeter, Regular Polytopes, sec 1.8 Configurations
  4. ^ Coxeter, Complex Regular Polytopes, p. 117
  5. ^ Eric W. Weisstein, 120-cell la MathWorld.
  6. ^ en B.L. Chilton, "B.+L.+Chilton"+polytopes On the projection of the regular polytope {5,3,3} into a regular triacontagon, Canadian Mathematical Bulletin, 1964, p. 385–398

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

  • en H.S.M. Coxeter, Regular Polytopes, 3rd. ed., Dover Publications, 1973. ISBN: 0-486-61480-8.
  • en Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN: 978-0-471-01003-6
    • (Paper 22) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes I, Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10
    • (Paper 23) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II, Math. Zeit. 188 (1985) 559-591
    • (Paper 24) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III, Math. Zeit. 200 (1988) 3-45
  • en John Horton Conway, Michael Guy: Four-Dimensional Archimedean Polytopes, Proceedings of the Colloquium on Convexity at Copenhagen, page 38 und 39, 1965
  • en Davis, Michael W. (), „A hyperbolic 4-manifold”, Proceedings of the American Mathematical Society, 93 (2): 325–328, doi:10.2307/2044771, ISSN 0002-9939, JSTOR 2044771, MR 0770546 
  • Norman Johnson: The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs, Ph.D. Dissertation, University of Toronto, 1966
  • de Four-dimensional Archimedean Polytopes (German), Marco Möller, PhD dissertation Arhivat în , la Wayback Machine., 2004

Legături externe[modificare | modificare sursă]

 v  d  m Politopuri regulate și uniforme convexe fundamentale în dimensiunile 2–10
Familie An Bn I2(p) / Dn E6 / E7 / E8 / F4 / G2 Hn
Poligoane regulate Triunghi Pătrat p-gon Hexagon Pentagon
Poliedre uniforme Tetraedru OctaedruCub Semicub DodecaedruIcosaedru
4-politopuri uniforme 5-celule 16-celuleTesseract Semitesseract 24-celule 120-celule600-celule
5-politopuri uniforme 5-simplex 5-ortoplex5-cub 5-semicub
6-politopuri uniforme 6-simplex 6-ortoplex6-cub 6-semicub 122221
7-politopuri uniforme 7-simplex 7-ortoplex7-cub 7-semicub 132231321
8-politopuri uniforme 8-simplex 8-ortoplex8-cub 8-semicub 142241421
9-politopuri uniforme 9-simplex 9-ortoplex9-cub 9-semicub
10-politopuri uniforme 10-simplex 10-ortoplex10-cub 10-semicub
n-politopuri uniforme n-simplex n-ortoplexn-cub n-semicub 1k22k1k21 n-politop pentagonal
Topicuri: Familii de politopuriPolitop regulat