Mulţime

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

Mulţimea este unul dintre cele mai importante concepte ale matematicii moderne. Deşi teoria mulţimilor a apărut abia la sfârşitul secolului XIX, aceasta este acum omniprezentă în educaţia matematică, încă din şcoala elementară. Acest articol este o scurtă introducere în ceea ce matematicienii numesc teoria "intuitivă" sau "naivă" a mulţimilor; pentru mai multe detalii vedeţi teoria naivă a mulţimilor. Pentru o consideraţie riguroasă, axiomatică, vedeţi teoria axiomatică a mulţimilor.

[modifică] Introducere

În mod neriguros, o mulţime este o colecţie bine definită de obiecte, considerată ca un întreg. Obiectele dintr-o mulţime sunt numite elemente. Elementele unei mulţimi pot fi de orice natură: numere, persoane, litere ale alfabetului, alte mulţimi, etc. Prin convenţie mulţimile sunt notate cu majuscule cursive: A, B, C etc.

Două mulţimi A şi B se numesc egale, şi aceasta se notează A = B, dacă deţin (sunt formate din) aceleaşi elemente.

[modifică] Descrierea mulţimilor

[modifică] Descrierea folosind cuvinte sau liste

Nu toate mulţimile au descrieri precise; ele pot fi doar colecţii arbitrare, fără vreo regulă exprimabilă, care să specifice care anume elemente fac parte dintr-o mulţime.

Unele mulţimi pot fi descrise în cuvinte, cum ar fi:

A este mulţimea primelor patru numere naturale .

B este mulţimea culorilor de pe steagul Franţei.

Prin convenţie, o mulţime poate fi definită listând explicit elementele sale între acolade, de exemplu:

C = {1, 2, 3, 4}

D = {roşu, alb, albastru}

De notat că cele două descrieri diferite definesc aceeaşi mulţime. De exemplu, pentru mulţimile definite mai sus, A şi C sunt identice, deoarece ele au exact aceiaşi membri. Notaţia A = C este folosită pentru a exprima această egalitate. Analog, pentru mulţimile definite mai sus, B = D.

Identitatea mulţimilor nu depinde de ordinea în care elementele sunt listate, nici de prezenţa repetiţiilor în listă. De exemplu, {6, 11} = {11, 6} = {11, 11, 6, 11}.

[modifică] Descrierea folosind notaţii matematice

Pentru mulţimi mari (cu multe elemente) scrierea întregii liste de elemente conţinute poate deveni nepracticabilă. De exemplu, E = {primele o mie de numere pozitive} ar fi, ca listă, foarte greoaie - atât la scris cât şi la citit. Totuşi matematicienii rareori descriu o mulţime de genul E în cuvinte, ca mai sus, preferând să folosească formulări simbolice:

E = {1,2,3,...,1000}

Pentru a descrie o mulţime de genul mulţimii E se poate folosi uneori şi o listă abreviată, unde elementele specificate urmează un şablon (un model, o schemă) evident cititorului. Faptul că se foloseşte o abreviere este atunci indicat explicit prin simbolul "..." (trei puncte).

Când se foloseşte această notaţie, trebuie avut grijă să se indice suficiente elemente pentru a face clar şablonul. De exemplu, următoarea mulţime ar putea să reprezinte, în funcţie de context, atât primele şaisprezece numere întregi, cât şi primele cinci puteri ale lui doi (cât şi alte mulţimi), fiind deci neclară (neunivocă):

X = {1,2,...,16}

Un alt pericol apare dacă proprietatea definitorie implică un şablon mai puţin evident, în care cazuri listele abreviate chiar trebuie evitate. De exemplu, definiţia (derutantă)

F = { - 4, - 3,0,...,357}

ar putea fi doar cu greu interpretată drept identică cu definiţia (clară)

F = {primele douăzeci de numere mai mici cu patru decât un pătrat perfect},

şi în plus chiar şi această ultimă definiţie ar putea fi falsă, deoarece numărul de reguli care să producă mulţimea F de mai sus este nesfârşit (infinit).

În asemenea condiţii, matematicienii descriu proprietatea caracteristică a membrilor mulţimii folosind o notaţie matematică. De exemplu:

$F = \{n^2 - 4\ |\ n \in \Z, 0 \le n \le 19\}$

În această descriere, bara verticală ("|") se citeşte cu proprietatea că (sau astfel încât). În loc de bara verticală se mai poate folosi şi simbolul două puncte (":"). Formula de mai sus se citeşte:

F este mulţimea numerelor de forma

n 2 - 4

, unde n este un număr întreg cuprins între 0 şi 19 inclusiv.

Evident că se poate forma şi o listă explicită, completă, a conţinutului (a membrilor) lui F, prin evaluarea expresiei $n 2 - 4$ pentru fiecare valoare a lui n de la 0 la 19.

[modifică] Apartenenţa la mulţime

Conceptul care descrie dacă un obiect este sau nu element al unei anumite mulţimi (altfel spus, dacă îi aparţine sau nu) este notat cu simbolurile $\in$ şi respectiv $\notin$ . Astfel, considerând mulţimile definite mai sus:

4 $\in A$ şi 285 $\in F$ (deoarece 285 = 17² − 4); dar
9 $\notin F$ şi "verde" $\notin B$ .

[modifică] Cardinalitatea unei mulţimi

Articol principal: Cardinal (matematică)
Cardinalitatea, numită şi "puterea" unei mulţimi, desemnează bogăţia ei de membri. Fiecare mulţime descrisă mai sus are un număr bine definit şi finit de membri; de exemplu mulţimea $A$ de mai sus are patru membri, pe când mulţimea $B$ are trei membri. La mulţimile finite, cardinalitatea este chiar numărul respectiv de membri. Cardinalitatea mulţimilor se notează punând mulţimea între bare verticale, de exemplu $|$ B $|$ .

O mulţime poate avea şi zero membri (nici un membru). O astfel de mulţime este denumită mulţimea vidă (sau mulţimea nulă) şi este reprezentată prin simbolul $\empty$ .

O mulţime poate avea însă şi un număr infinit de mare de membri; de exemplu, mulţimea tuturor punctelor (idealizate) de pe o linie (idealizată şi ea); mulţimea tuturor numerelor iraţionale. În ceeace priveşte bogăţia lor de membri, există mai multe soiuri de mulţimi infinite (de infinituri), anume unele mai bogate şi altele mai puţin bogate în membri.

Pentru compararea cardinalităţilor ale 2 mulţimi infinite, în loc de a încerca să se numere întâi separat membrii lor şi apoi să se compare rezultatele, se foloseşte metoda "împerecherii" membrilor lor: se cercetează dacă poate fi găsită măcar o singură corespondenţă biunivocă între cele 2 mulţimi atunci când ele se iau membru cu membru (altfel spus, dacă există o "funcţie bijectivă" sau o bijecţie între cele 2 mulţimi), sau dacă nu cumva în una din cele 2 mulţimi de comparat, după orice încercare de "împerechere" pe baza unei reguli, rămâne totuşi întotdeauna un surplus de membri ne-împerecheaţi. În acest caz mulţimea cu surplusul are o cardinalitate (putere) mai mare decât cealaltă.

Au fost dovedite următoarele proprietăţi neaşteptete ale mulţimilor infinite:

Există o cea mai "mică" mulţime infinită. Este vorba de orice parte infinită din mulţimea numerelor naturale. Cardinalitatea ei se notează cu $\aleph_0$ , care se citeşte "alef zero", $\aleph$ (alef) fiind prima literă din alfabetul ebraic. Astfel de mulţimi se numesc "numărabile", deoarece sunt echipotente cu mulţimea numerelor naturale 1, 2, 3,... . Reunind 2 mulţimi infinite de putere $\aleph_0$ , rezultă o mulţime infinită tot de putere $\aleph_0$ . Exemple concrete de mulţimi infinite cu cardinalitatea $\aleph_0$ : toate numerele prime; toate numerele impare; toate numerele raţionale.
O mulţime infinită cu puterea mai mare decât $\aleph_0$ este de exemplu mulţimea punctelor de pe o linie, sau şi mulţimea punctelor dintr-un patrat, aceste două mulţimi fiind echipotente. Puterea lor se notează cu litera $\aleph$ (alef) sau şi cu un $\mathfrak c$ (c gotic). Această notaţie provine de la cuvântul latin "continuum". Astfel de mulţimi se mai numesc şi "de puterea continuului".
S-a dovedit că nu se poate deduce dacă există sau nu mulţimi cu puterea situată între $\aleph_0$ şi $\mathfrak c$ . Altfel spus, sunt permise ambele ipoteze: atât ipoteza continuului, cât şi contrara acesteia.
Puterea care urmează după $\mathfrak c$ o are de exemplu mulţimea tuturor funcţiilor care se pot defini pe o mulţime de putere $\mathfrak c$ . Această putere se notează cu $\mathfrak f$ (f gotic).
O putere şi mai mare o are mulţimea tuturor funcţiilor care se pot defini pe o mulţime de putere $\mathfrak f$ .
În felul acesta se pot construi (mental) mulţimi infinite cu puteri din ce în ce mai mari, fără o limită superioară.

Cercetările cele mai recente încearcă să găsească o nouă axiomă independentă de sistemul de axiome ZFC care, adăugată la sistemul ZFC, rezolvă problemele actuale legate de ipoteza continuului. Există deja 2 candidaţi pentru o astfel de axiomă nouă, numiţi unul Projective Determinacy (PD) şi celălalt Woodin's Martin's Maximum (WMM). Conform acestora se pare că ipoteza continuului este falsă, deci ar exista o cardinalitate, probabil chiar una singură, situată între $\aleph_0$ şi $\mathfrak c$ .

[modifică] Submulţimi

A este o submulţime a lui B.

Dacă fiecare membru al mulţimii A este şi membru al mulţimii B, atunci A se spune că este submulţime a lui B, şi se scrie că $A \subseteq B$ , citit şi A este inclus în B. Echivalent, putem scrie $B \supseteq A$ , citit B include A, sau B conţine A. Relaţia dintre mulţimi stabilită de $\subseteq$ se numeşte incluziune sau conţinere.

Dacă A este o submulţime a lui B, dar nu este egală cu B, atunci A se numeşte submulţime proprie a lui B, ceea ce se scrie $A \subset B$ sau $B \supset A$ . Totuşi, în literatură aceste simboluri se cutesc la fel ca $\subseteq$ şi $\supseteq$ , deci se preferă adesea să se folosească simbolurile mai explicite $\subsetneq$ şi $\supsetneq$ şi pentru incluziunea strictă.

Exemple:

Mulţimea tuturor femeilor este o submulţime a mulţimii tuturor oamenilor.
{1,3} $\subset \$ {1,2,3,4}
{1,2,3,4} $\subseteq \$ {1,2,3,4}

Mulţimea vidă este o submulţime a tuturor mulţimilor şi orice mulţime este o submulţime a ei însăşi:

$\emptyset \subseteq A$
$A \subseteq A$

[modifică] Mulţimi speciale

Există unele mulţimi care au atât de mare importanţă matematică şi sunt referite atât de des încât ele au obţinut nume şi notaţii simbolice speciale, pentru a se opera mai uşor cu ele. Una din acestea este mulţimea vidă $\empty$ . Alte mulţimi speciale de numere sunt:

$\mathbb{N}$ reprezintă mulţimea tuturor numerelor naturale. Adică $\mathbb{N}$ = {0, 1, 2, 3, ...}, sau uneori $\mathbb{N}$ = {1, 2, 3, ...}.
$\mathbb{Z}$ reprezintă mulţimea tuturor numerelor întregi (pozitive, negative sau zero). Deci $\mathbb{Z}$ = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}.
$\mathbb{Q}$ reprezintă mulţimea tuturor numerelor raţionale (adică mulţimea tuturor fracţiilor proprii şi improprii). Astfel, $\mathbb{Q} = \left\{ \begin{matrix} \frac{a}{b} \end{matrix} : a,b \in \mathbb{Z}, b \neq 0\right\}$ . De exemplu, $\begin{matrix} \frac{1}{4} \end{matrix} \in \mathbb{Q}$ şi $\begin{matrix}\frac{11}{6} \end{matrix} \in \mathbb{Q}$ . Toţi întregii sunt în această mulţime deoarece fiecare întreg a poate fi exprimat ca fracţia $\begin{matrix} \frac{a}{1} \end{matrix}$ .
$\mathbb{R}$ reprezintă mulţimea tuturor numerelor reale. Aceasta include toate numerele raţionale, împreună cu toate numerele iraţionale (adică numere care nu pot fi scrise ca fracţii, cum ar fi $π$ , $e$ şi $\sqrt 2$ ).
$\mathbb{C}$ este mulţimea tuturor numerelor complexe.

Se observă că $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}$ ; toate aceste mulţimi au un număr infinit de membri, dar cardinalităţile lor sunt diferite:

$|\mathbb{N}| = |\mathbb{Z}| = |\mathbb{Q}| = \aleph_0$ , care este mai mic decât $\mathbb|{R}| = |\mathbb{C}| = \mathfrak c$ .

[modifică] Reuniunea

Reuniunea lui A şi B.

Există mai multe moduri de a construi o mulţime nouă din alta sau altele deja existente. Două mulţimi pot fi "adunate". Operaţia, numită "reuniunea" lui A cu B şi notată A U B, este muţimea tuturor entităţilor care sunt membri fie ai lui A, fie ai lui B.

Exemple:

$\{1, 2\} \cup \{alb, galben\} = \{1, 2, alb, galben\}$
$\{1, 2, verde\} \cup \{alb, galben, verde\} = \{1, 2, alb, galben, verde\}$
$\{1, 2\} \cup \{1, 2\} = \{1, 2\}$

Unele proprietăţi de bază ale reuniunii:

$A \cup B = B \cup A$
$A \subseteq A \cup B$
$A \cup A = A$
$A \cup \empty = A$

[modifică] Intersecţia

Intersecţia lui A şi B.

O nouă mulţime poate fi construită şi prin determinarea membrilor pe care două mulţimi date îi au în comun. "Intersecţia" dintre A şi B, notată A ∩ B, este mulţimea tuturor entităţilor (membrilor) care aparţin atât mulţimii A cât şi mulţimii B. Dacă A ∩ B = ø, atunci A şi B se numesc mulţimi disjuncte (fără membri comuni).

Exemple:

$\{1, 2\} \cap \{alb, galben\} = \empty$
$\{1, 2, galben\} \cap \{alb, galben, verde\} = \{galben\}$
$\{1, 2\} \cap \{1, 2\} = \{1, 2\}$

Proprietăţi de bază ale intersecţiilor:

$A \cap B = B \cap A$
$A \cap B \subseteq A$
$A \cap A = A$
$A \cap \empty = \empty$

[modifică] Complementarea

Complementul relativ al lui A faţă de B.

Două mulţimi pot fi "scăzute". Complementul relativ al lui A în B (numit şi diferenţa dintre mulţimile B şi A), notat B − A (sau şi B \ A), este mulţimea tuturor elementelor care fac parte din B, dar nu şi din A. De notat că nu este greşit să se "scoată" dintr-o mulţime elemente care nu îi aparţin, cum ar fi eliminarea elementului verde din mulţimea {1,2,3}; doar că această operaţie nu are nici un efect.

În anumite cazuri, toate mulţimile despre care se discută sunt considerate submulţimi ale unei mulţimi universale U. În astfel de cazuri U − A se numeşte complementul absolut (faţă de U), sau pur şi simplu complementul lui A, şi este notat cu A′.

Exemple:

$\{1, 2\} \setminus \{3, negru\} = \{1, 2\}$
$\{1, 2, galben\} \setminus \{alb, galben, negru, verde\} = \{1, 2\}$
$\{1, 2\} \setminus \{1, 2\} = \empty$
Dacă U este mulţimea numerelor întregi, E este mulţimea întregilor pari, şi O este mulţimea întregilor impari, atunci complementul lui E faţă de U este O: $E^{\,\prime} = O$ .

Proprietăţi de bază ale complementelor:

$A \cup A^\prime = U$
$A \cap A^\prime = \empty$
$(A^\prime)^\prime = A$
$A \setminus A = \empty$
$A \setminus B = A \cap B^\prime$

[modifică] Bibliografie

en Halmos, Paul R., Naive Set Theory, Princeton, N.J.: Van Nostrand (1960) ISBN 0-387-90092-6
en Stoll, Robert R., Set Theory and Logic, Mineola, N.Y.: Dover Publications (1979) ISBN 0-486-63829-4

[modifică] Vezi şi

Mulţimea lui Cantor

Mulţime

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

Cuprins

[modifică] Introducere

[modifică] Descrierea mulţimilor

[modifică] Descrierea folosind cuvinte sau liste

[modifică] Descrierea folosind notaţii matematice

[modifică] Apartenenţa la mulţime

[modifică] Cardinalitatea unei mulţimi

[modifică] Submulţimi

[modifică] Mulţimi speciale

[modifică] Reuniunea

[modifică] Intersecţia

[modifică] Complementarea

[modifică] Bibliografie

[modifică] Vezi şi

Vizualizări

Unelte personale

Navigare

participare

Căutare

Trusa de unelte

În alte limbi