Mulţime

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

Mulţimea este unul dintre cele mai importante concepte ale matematicii moderne. Deşi teoria mulţimilor a apărut abia la sfârşitul secolului XIX, aceasta este acum omniprezentă în educaţia matematică, încă din şcoala elementară. Acest articol este o scurtă introducere în ceea ce matematicienii numesc teoria "intuitivă" sau "naivă" a mulţimilor; pentru mai multe detalii vedeţi teoria naivă a mulţimilor. Pentru o consideraţie riguroasă, axiomatică, vedeţi teoria axiomatică a mulţimilor.

[modifică] Introducere

În mod neriguros, o mulţime este doar o colecţie bine definită de obiecte, considerate ca un întreg. Obiectele dintr-o mulţime sunt numite elemente. Elementele unei mulţimi pot fi orice: numere, persoane, litere ale alfabetului, alte mulţimi, etc. Prin convenţie mulţimile sunt notate cu majuscule: A, B, C etc.

Două mulţimi A şi B se numesc egale — şi se notează A = B — dacă au aceleaşi elemente.

[modifică] Descrierea mulţimilor

[modifică] Descrierea folosind cuvinte sau liste

Nu toate mulţimile au descrieri precise; ele pot fi doar colecţii arbitrare, fără vreo regulă exprimabilă, care să specifice care elemente fac parte dintr-o mulţime.

Unele mulţimi pot fi descrise în cuvinte, cum ar fi:

A este mulţimea primelor patru numere întregi strict pozitive.

B este mulţimea culorilor de pe steagul Franţei.

Prin convenţie, o mulţime poate fi definită listând explicit elementele sale între acolade, de exemplu:

C = {4, 2, 1, 3}

D = {roşu, alb, albastru}

De notat că cele două descrieri diferite definesc aceeaşi mulţime. De exemplu, pentru mulţimile definite mai sus, A şi C sunt identice, deoarece ele au exact aceiaşi membri. Notaţia A = C este folosită pentru a exprima această egalitate. Analog, pentru mulţimile definite mai sus, B = D.

Identitatea mulţimilor nu depinde de ordinea în care elementele sunt listate, nici de prezenţa repetiţiilor în listă. De exemplu, {6, 11} = {11, 6} = {11, 11, 6, 11}.

[modifică] Descrierea folosind notaţii matematice

Pentru mulţimi mari (adică mulţimi care conţin multe elemente), devine foarte incomodă scrierea întregii liste de elemente conţinute. De exemplu, E = {primele o mie de numere pozitive} ar fi, ca listă, foarte greoi - atât de scris cât şi de citit. Totuşi, matematicienii rareori descriu E în cuvinte ca mai sus, preferând în schimb să folosească scurtături simbolice:

E = {1,2,3,...,1000}

Se poate folosi o listă abreviată poate fi folosită pentru a descrie o mulţume cum ar fi E, unde elementele pot urma un şablon evident cititorului. Întreaga listă este abreviată folosind simbolul (...). Cânnd se foloseşte această notaţie, trebuie avut grijă să se dea suficiente elemente pentru a face clar şablonul. De exemplu, următoarea mulţime ar putea, în funcţie de context, să reprezinte fie primele şaisprezece numere întregi, fie primele cinci puteri ale lui doi:

X = {1,2,...,16}

Dacă, pe de altă parte, proprietatea caracterizatoare descrie un şablon mai puţin evident, atunci este nerecomandat să se folosească o listă abreviată, care doar ar deruta cititorul. De exemplu, citind

F = { - 4, - 3,0,...,357}

nu este clar deloc că de fapt

F = {primele douăzeci de numere mai mici cu patru decât un pătrat perfect}.

În asemenea condiţii, matematicienii descriu proprietatea caracteristică a mulţimii folosind o notaţie matematică. De exemplu:

$F = \{n^2 - 4\ |\ n \in \Z, 0 \le n \le 19\}$

În această descriere, bara verticală ( " | " ) înseamnă cu proprietatea că (sau astfel încât), iar matematicianul interpretează această descriere ca

F este mulţimea numerelor de forma

n 2 - 4

, care au proprietatea că n este un număr întreg între 0 şi 19 inclusiv. (Se mai pot folosi două puncte (:) în loc de bara verticală.)

O listă explicită a conţinutului lui F se poate găsi evaluând expresia $n 2 - 4$ pentru fiecare valoare a lui n de la 0 la 19.

[modifică] Apartenenţa la mulţime

Conceptul dacă un obiect este sau nu element al unei anumite mulţimi (adică dacă îi aparţine sau nu) este simbolizat de $\in$ , respectiv $\notin$ . Astfel, de exemplu, considerând mulţimile definite mai sus:

$4 \in A$ şi $285 \in F$ (pentru că 285 = 17² − 4); dar
$9 \notin F$ şi $\mathrm{verde} \notin B$ .

[modifică] Cardinalitatea unei mulţimi

Fiecare mulţime descrisă mai sus are un număr bine definit, finit de membri; de exemplu mulţimea A de mai sus are patru membri, pe când mulţimea B are trei membri. La mulţimile finite, cardinalitatea este chiar numărul respectiv de membri. Cardinalitatea mulţimilor se notează punând mulţimea între bare verticale, de exemplu $|$ B $|$ .

O mulţime poate avea şi zero membri (nici un membru). O astfel de mulţime este denumită mulţimea vidă (sau mulţimea nulă) şi este reprezentată prin simbolul $\empty$ . De exemplu, mulţimea $A$ a tuturor pătratelor cu trei laturi are 0 membri, şi astfel $A = \empty$ . La fel ca şi numărul 0, mulţimea vidă, deşi aparent trivială, este foarte importantă în matematică. Deoarece pe lume există un singur zero, şi mulţimea vidă este unică pe lume. Astfel, mulţimea $A$ de mai sus (a tuturor pătratelor cu trei laturi), nu numai că are acelaşi număr de membri cu mulţimea $B$ a tuturor zebrelor de pe lună, anume 0, dar chiar este identică cu ea: $A = B =\empty$ .

O mulţime poate avea însă şi un număr infinit de membri; de exemplu, mulţimea tuturor punctelor (idealizate) de pe o linie (idealizată şi ea) este infinită. Deoarece orice încercare de a număra unul câte unul membrii unei mulţimi infinite nu s-ar sfârşi niciodată, pentru mulţimile infinite e nevoie de altă definiţie a cardinalităţii, cu scopul de a putea totuşi compara între ele şi mulţimile infinite (cu privire la bogăţia de membri). În mod surprinzător s-a dovedit că mulţimile infinite pot avea diverse cardinalităţi. Ele se mai numesc şi "puterea" sau "potenţa" mulţimii respective. Cu alte cuvinte, în ceeace priveşte bogăţia lor de membri, există mai multe soiuri de mulţimi infinite - sau infinituri, anume unele mai bogate şi altele mai puţin bogate în membri, chiar dacă membrii mulţimilor infinite nu se pot număra în sensul propriu al cuvântului unul câte unul.

Pentru compararea cardinalităţilor a 2 mulţimi infinite, în loc de a încerca să se numere întâi membrii primei mulţimi şi apoi membrii celei de-a doua, se foloseşte metoda "împerecherii" membrilor din ele: se cercetează dacă poate fi găsită o corespondenţă biunivocă între cele 2 mulţimi atunci când ele se iau membru cu membru (altfel spus, dacă există o "funcţie bijectivă" între cele 2 mulţimi), sau dacă nu cumva în una din cele 2 mulţimi de comparat, după orice încercare de "împerechere" pe baza unei reguli, rămîne totuşi întotdeauna un surplus de membri ne-împerecheaţi (care este şi el tot infinit). În acest caz mulţimea cu surplusul are o cardinalitate (putere, potenţă) mai mare decât cealaltă.

Au fost dovedite următoarele proprietăţi neaşteptete ale mulţimilor infinite:

Există o cea mai "mică" mulţime infinită, adică având cea mai mică potenţă. Este vorba de orice parte infinită din mulţimea numerelor naturale. Cardinalitatea ei se notează cu $\aleph_0$ , care se citeşte "alef-zero", $\aleph$ (alef) fiind prima literă din alfabetul ebraic. Astfel de mulţimi se numesc "numărabile", deşi membrii lor nu se pot număra unul câte unul până la ultimul, ele fiind infinite. Reunind 2 mulţimi infinite de potenţă $\aleph_0$ , rezultă o mulţime infinită tot de potenţă $\aleph_0$ (deşi simţurile noastre ne spun că rezultatul ar trebui să aibă o potenţă mai mare - mai mulţi membri - decât fiecare din părţile constituente). Exemple concrete de mulţimi infinite cu cardinalitatea $\aleph_0$ : toate numerele prime; toate numerele impare; toate numerele raţionale.
O mulţime infinită mai potentă decât $\aleph_0$ este de exemplu mulţimea punctelor de pe o linie, sau şi mulţimea punctelor dintr-un patrat, aceste două mulţimi fiind echipotente. Potenţa lor se notează cu litera $\mathfrak c$ (c gotic). Această notaţie provine de la cuvântul "continuum". Astfel de mulţimi se mai numesc şi "de puterea continuului". Alt exemplu de mulţime infinită cu cardinalitatea $\mathfrak c$ : mulţimea numerelor reale.
S-a dovedit că nu se poate afla dacă există mulţimi cu potenţa situată între $\aleph_0$ şi $\mathfrak c$ . Altfel spus, sunt permise ca axiome ambele afirmaţii (desigur nu simultan, în cadrul unui sistem consistent): atât ipoteza continuumului cât şi contrara acesteia.
Potenţa care urmează după $\mathfrak c$ o are de exemplu mulţimea tuturor funcţiilor care se pot defini pe o mulţime de potenţă $\mathfrak c$ . Această potenţă se notează cu $\mathfrak f$ (f gotic).
O potenţă şi mai mare o are mulţimea tuturor funcţiilor care se pot defini pe o mulţime de potenţă $\mathfrak f$ .
În felul acesta se pot construi (mental) mulţimi infinite de potenţă din ce în ce mai mare, fără o limită superioară.

[modifică] Submulţimi

A este o submulţime a lui B.

Dacă fiecare membru al mulţimii A este şi membru al mulţimii B, atunci A se spune că este submulţime a lui B, şi se scrie că $A \subseteq B$ , citit şi A este inclus în B. Echivalent, putem scrie $B \supseteq A$ , citit B include A, sau B conţine A. Relaţia dintre mulţimi stabilită de $\subseteq$ se numeşte incluziune sau conţinere.

Dacă A este o submulţime a lui B, dar nu este egală cu B, atunci A se numeşte submulţime proprie a lui B, ceea ce se scrie $A \subset B$ sau $B \supset A$ . Totuşi, în literatură aceste simboluri se cutesc la fel ca $\subseteq$ şi $\supseteq$ , deci se preferă adesea să se folosească simbolurile mai explicite $\subsetneq$ şi $\supsetneq$ şi pentru incluziunea strictă.

Exemple:

Mulţimea tuturor femeilor este o submulţime a mulţimii tuturor oamenilor.
$\{1,3\} \subset \{1,2,3,4\}$
$\{1, 2, 3, 4\} \subseteq \{1,2,3,4\}$

Mulţimea vidă este o submulţime a tuturor mulţimilor şi orice mulţime este o submulţime a ei însăşi:

$\emptyset \subseteq A$
$A \subseteq A$

[modifică] Mulţimi speciale

Există unele mulţimi care au atât de mare importanţă matematică şi sunt referite atât de des încât ele au obţinut nume şi notaţii simbolice speciale, pentru a se opera mai uşor cu ele. Una din acestea este mulţimea vidă $\empty$ . Alte mulţimi speciale de numere sunt:

$\mathbb{N}$ reprezintă mulţimea tuturor numerelor naturale. Adică $\mathbb{N}$ = {0, 1, 2, 3, ...}, sau uneori $\mathbb{N}$ = {1, 2, 3, ...}.
$\mathbb{Z}$ reprezintă mulţimea tuturor numerelor întregi (pozitive, negative sau zero). Deci $\mathbb{Z}$ = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}.
$\mathbb{Q}$ reprezintă mulţimea tuturor numerelor raţionale (adică mulţimea tuturor fracţiilor proprii şi improprii). Astfel, $\mathbb{Q} = \left\{ \begin{matrix} \frac{a}{b} \end{matrix} : a,b \in \mathbb{Z}, b \neq 0\right\}$ . De exemplu, $\begin{matrix} \frac{1}{4} \end{matrix} \in \mathbb{Q}$ şi $\begin{matrix}\frac{11}{6} \end{matrix} \in \mathbb{Q}$ . Toţi întregii sunt în această mulţime deoarece fiecare întreg a poate fi exprimat ca fracţia $\begin{matrix} \frac{a}{1} \end{matrix}$ .
$\mathbb{R}$ reprezintă mulţimea tuturor numerelor reale. Aceasta include toate numerele raţionale, împreună cu toate numerele iraţionale (adică numere care nu pot fi scrise ca fracţii, cum ar fi $π$ , $e$ şi $\sqrt 2$ ).
$\mathbb{C}$ este mulţimea tuturor numerelor complexe.

Se observă că $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}$ ; toate aceste mulţimi au un număr infinit de membri, iar cardinalităţile lor sunt chiar diferite:

$|\mathbb{N}| = |\mathbb{Z}| = |\mathbb{Q}| = \aleph_0$ , care este mai mic decât $\mathbb|{R}| = |\mathbb{C}| = \mathfrak c$ .

[modifică] Reuniunea

Reuniunea lui A şi B.

Există mai multe moduri de a construi o mulţime nouă din alta deja existentă. Două mulţimi pot fi "adunate". Reuniunea lui A cu B, notată A U B, este muţimea tuturor entităţilor care sunt membre fie lui A, fie lui B.

Exemple:

$\{1, 2\} \cup \{alb, galben\} = \{1, 2, alb, galben\}$
$\{1, 2, verde\} \cup \{alb, galben, verde\} = \{1, 2, alb, galben, verde\}$
$\{1, 2\} \cup \{1, 2\} = \{1, 2\}$

Unele proprietăţi de bază ale reuniunii:

$A \cup B = B \cup A$
$A \subseteq A \cup B$
$A \cup A = A$
$A \cup \empty = A$

[modifică] Intersecţia

Intersecţia lui A şi B.

O nouă mulţime poate fi construită şi prin determinarea membrilor pe care alte două mulţimi îi au în comun. Intersecţia dintre A şi B, notată A ∩ B, este mulţimea tuturor entităţilor care aparţin atât mulţimii A cât şi mulţimii B. Dacă A ∩ B = ø, atunci A şi B se numesc mulţimi disjuncte.

Exemple:

$\{1, 2\} \cap \{alb, galben\} = \empty$
$\{1, 2, galben\} \cap \{alb, galben, verde\} = \{galben\}$
$\{1, 2\} \cap \{1, 2\} = \{1, 2\}$

Proprietăţi de bază ale intersecţiilor:

$A \cap B = B \cap A$
$A \cap B \subseteq A$
$A \cap A = A$
$A \cap \empty = \empty$

[modifică] Complementarea

Complementul relativ al lui A faţă de B.

Două mulţimi pot fi "scăzute". Complementul relativ al lui A în B (numit şi diferenţa de mulţimi dintre B şi A), notată B − A, (sau B \ A) este mulţimea tuturor elementelor care fac parte din B, dar nu fac parte şi din A. De notat că nu este greşit să se "scoată" dintr-o mulţime elemente care nu îi aparţin, cum ar fi eliminarea elementului verde din mulţimea {1,2,3}; această operaţie nu are nici un efect.

În anumite cazuri, toate mulţimile despre care se discută sunt considerate submulţimi ale unei mulţimi universale U. În astfel de cazuri, U − A, se numeşte complementul absolut sau pur şi simplu complementul lui A, şi este notat cu A′.

Exemple:

$\{1, 2\} \setminus \{3, negru\} = \{1, 2\}$
$\{1, 2, galben\} \setminus \{alb, galben, negru, verde\} = \{1, 2\}$
$\{1, 2\} \setminus \{1, 2\} = \empty$
Dacă U este mulţimea numerelor întregi, E este mulţimea întregilor pari, şi O este mulţimea întregilor impari, atunci complementul lui E faţă de U este O: $E^{\,\prime} = O$ .

Proprietăţi de bază ale complementelor:

$A \cup A^\prime = U$
$A \cap A^\prime = \empty$
$(A^\prime)^\prime = A$
$A \setminus A = \empty$
$A \setminus B = A \cap B^\prime$

[modifică] Bibliografie

en Halmos, Paul R., Naive Set Theory, Princeton, N.J.: Van Nostrand (1960) ISBN 0387900926
en Stoll, Robert R., Set Theory and Logic, Mineola, N.Y.: Dover Publications (1979) ISBN 0486638294

[modifică] Vezi şi

Mulţimea lui Cantor

Adus de la "http://ro.wikipedia.org/wiki/Mul%C5%A3ime"

Categorie: Teoria mulţimilor

Mulţime

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

Cuprins

[modifică] Introducere

[modifică] Descrierea mulţimilor

[modifică] Descrierea folosind cuvinte sau liste

[modifică] Descrierea folosind notaţii matematice

[modifică] Apartenenţa la mulţime

[modifică] Cardinalitatea unei mulţimi

[modifică] Submulţimi

[modifică] Mulţimi speciale

[modifică] Reuniunea

[modifică] Intersecţia

[modifică] Complementarea

[modifică] Bibliografie

[modifică] Vezi şi

Vizualizări

Unelte personale

Navigare

participare

Căutare

Trusa de unelte

În alte limbi