Algebră boreliană

Algebra boreliană este un concept al matematicii, utilizat în topologie și teoria măsurii. Numele se datorează matematicianului francez Émile Borel.

Definiție

Fie $\Omega \,$ un spațiu topologic. Atunci algebra boreliană asociată este sigma-algebră minimă care conține mulțimile deschise din $\Omega \,$ .

O altă definiție (neechivalentă cu prima!) se obține înlocuind termenul de mulțime deschisă cu cel de mulțime compactă.

Generarea algebrei boreliene

În cazul particular în care $\Omega \,$ este spațiu metric, algebra boreliană poate fi descrisă astfel:

Fie $\mathcal P (\Omega)$ mulțimea părților lui $\Omega \,$ . Definim:

• $T_\sigma \quad$ toate reuniunile de mulțimi numărabile din $\mathcal P (\Omega)$ ,

• $T_\delta \quad$ toate intersecțiile de mulțimi numărabile din $\mathcal P (\Omega)$ ,

• $T_{\delta \sigma} = (T_\delta)_\sigma$ .

Definim prin inducție un șir $G^n \,$ unde $n \in \mathbb{N}$ astfel:

• $G^0 =$ mulțimea tuturor mulțimilor deschise din $\Omega$ .

• $G^i = {G^{i-1}}_{\sigma \omega}$ .

• $G^i = \bigcup_{j<i} {G^j}$ .

Astfel, algebra boreliană este $G^n$ pentru un n indefinit (care tinde la infinit), așadar această algebră poate fi generată plecând de la mulțimea mulțimilor deschise și iterând operația:

$G \mapsto G_{\delta \sigma}$ .

Bibliografie

• Bobancu, V. - Dicționar de matematici generale, Edituira Enciclopedică Română, București, 1974
• Ion, I.D. - Algebră pentru perfecționarea profesorilor, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1983

Legături externe

• ro Curs al Universității din București.

• en Algebra boreliană la Wolfram MathWorld.

• en Algebra boreliană la PlanetMath.