Mulțimea lui Cantor

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare
Ilustrarea primilor şase paşi ai operaţiei de construire a mulţimii Cantor

Mulțimea lui Cantor (sau discontinuul lui Cantor sau praful lui Cantor) este un concept în cadrul topologiei atribuit matematicianului Georg Cantor.

Construire[modificare | modificare sursă]

Mulţimea lui Cantor în spațiul bidimensional 2D.

Considerăm, pe mulțimea numerelor reale  \mathbb{R} , intervalul închis  [0, 1] \, . Din acest interval excludem treimea din mijloc, adică \left ( \frac{1}{3} , \frac {2}{3} \right ). Rămân intervalele:

 \left[ 0, \frac{1}{3} \right] și  \left[ \frac{2}{3}, 1 \right] .

Și din acestea excludem "treimea centrală", ș.a.m.d.


Astfel definim șirul de mulțimi:

 A_0 = [ 0, 1 ] \,
 A_1 = [ 0 , \frac{1}{3}] \cup [ \frac{2}{3} , 1 ]
 A_2 = [ 0, \frac {1}{9}] \cup [ \frac{2}{9} , \frac {1}{3}] \cup [ \frac {2}{3} , \frac {7}{9} ] \cup [ \frac{8}{9} , 1 ]


Atunci mulțimea lui Cantor este:

 K = \lim_{n \to \infty} A_n = \bigcap_{n \in \mathbb{N}} A_n .

Proprietăți[modificare | modificare sursă]

Mulţimea lui Cantor în spațiul tridimensional 3D.

Să calculăm suma lungimilor intervalelor înlăturate din intervalul unitar:

 \sum_{n=0}^{\infty} \frac {2^n}{3^{n+1}} = \frac{1}{3} + \frac{2}{9} + \frac{4}{27} + \frac {8}{81} + \cdots = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{1-\frac{2}{3}} \right) =1 .

Așadar, mulțimea lui Cantor are următoarele proprietăți:


  • Este echipotentă cu mulțimea numerelor reale  \mathbb{R} .

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

Vezi și[modificare | modificare sursă]

Legături externe[modificare | modificare sursă]