Produs cartezian

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

Produsul cartezian este o operație matematică efectuată asupra a două mulțimi. Conceptul respectiv a fost denumit astfel după René Descartes, ale cărui formulări din domeniul geometriei analitice au dus la dezvoltarea acestui tip de operație.

Produsul cartezian a două mulțimi X și Y este o mulțime (numită și mulțimea-produs) formată din ansamblul tuturor perechilor a căror primă componentă aparține mulțimii X, iar a doua componentă aparține mulțimii Y. Definiția produsului cartezian se poate generaliza facil și pentru cazul a n mulțimi.

Noțiuni introductive[modificare | modificare sursă]

Perechi ordonate[modificare | modificare sursă]

Fie \ A și \ B două mulțimi nevide. Dacă a\in A,, iar b\in B, atunci mulțimea \ \{\{a\},\ \{a,b\}\} se numește pereche ordonată.

Perechea ordonată \ \{\{a\},\ \{a,b\}\} se notează cu \ (a,b).În acest caz \ a se numește abscisa perechii ordonate \ (a,b), iar \ b se numește ordonata perechii ordonate \ (a,b).

Teoremă[modificare | modificare sursă]

Fie \ A și \ B două mulțimi nevide. Dacă a,s\in A, iar b,t\in B, atunci \ (a,b)=(s,t) dacă și numai dacă \ a=s și \ b=t.

Definiție[modificare | modificare sursă]

Fie \ A și \ B două mulțimi nevide. Se numește produsul cartezian dintre mulțimea \ A și mulțimea \ B, mulțimea

A \times B:=\{(a,b):a\in A, b\in B\}.

Produsul caretezian A\times A se notează \ A^2.

Prin convenție \phi\times B=A\times\phi=\phi\times\phi=\phi.

În general, dacă \ A și \ B sunt două mulțimi nevide, atunci \ A\times B \ne B\times A.

Teoremă[modificare | modificare sursă]

Pentru orice mulțimi \ A,\ B,\ C,\ D sunt adevărate afirmațiile:

  • Dacă A\subseteq C șiB\subseteq D, atunci A\times B\subseteq C\times D;
  • A\times(B\cup C)=(A\times B) \cup (A\times C);
  • A\times(B\cap C)=(A\times B) \cap (A\times C);
  • A\times(B\setminus C)=(A\times B) \setminus (A\times C);
  • (A\cup B)\times C=(A\times C) \cup (B\times C);
  • (A\cap B)\times C=(A\times C) \cap (B\times C);
  • (A\cap B)\times C=(A\times C) \cap (B\times C);
  • (A\setminus B)\times C=(A\times C) \setminus (B\times C);
  • A\times B)\cap (C\times D)= (A\cap C)\times (B\cap D);
  • (A\times B)\setminus (C\times D)=[(A \setminus C)\times (B\setminus D)]\cup[(A\cap C)\times (B\setminus D)]\cup [(A\setminus C) \times(B\cap D)];
  • (A\times B)\setminus (C\times D)=[(A \setminus C)\times B]\cup [(A\cap C)\times (B\setminus D);

Dacă A\subseteq X, iar B\subseteq Y, atunci:

C_{X\times Y} (A\times B)=(C_XA\times Y)\cup (A\times C_YB).

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

  1. Traian Ceaușu, Mulțimi numerice, Editura Mirton, Timișoara, 2008;
  2. Ștefan Balint, Ioan Cașu, Lecții de teoria mulțimilor, Editura Universității de Vest, Timișoara, 2002.