Produs cartezian

Produsul cartezian este o operație matematică efectuată asupra a două mulțimi. Conceptul respectiv a fost denumit astfel după René Descartes, ale cărui formulări din domeniul geometriei analitice au dus la dezvoltarea acestui tip de operație.

Produsul cartezian a două mulțimi X și Y este o mulțime (numită și mulțimea-produs) formată din ansamblul tuturor perechilor a căror primă componentă aparține mulțimii X, iar a doua componentă aparține mulțimii Y. Definiția produsului cartezian se poate generaliza facil și pentru cazul a n mulțimi.

Noțiuni introductive

Perechi ordonate

Fie $\ A$ și $\ B$ două mulțimi nevide. Dacă $a\in A,$, iar $b\in B$, atunci mulțimea $\ \{\{a\},\ \{a,b\}\}$ se numește pereche ordonată.

Perechea ordonată $\ \{\{a\},\ \{a,b\}\}$ se notează cu $\ (a,b)$.În acest caz $\ a$ se numește abscisa perechii ordonate $\ (a,b)$, iar $\ b$ se numește ordonata perechii ordonate $\ (a,b)$.

Teoremă

Fie $\ A$ și $\ B$ două mulțimi nevide. Dacă $a,s\in A$, iar $b,t\in B$, atunci $\ (a,b)=(s,t)$ dacă și numai dacă $\ a=s$ și $\ b=t$.

Definiție

Fie $\ A$ și $\ B$ două mulțimi nevide. Se numește produsul cartezian dintre mulțimea $\ A$ și mulțimea $\ B$, mulțimea

$A \times B:=\{(a,b):a\in A, b\in B\}$.

Produsul caretezian $A\times A$ se notează $\ A^2$.

Prin convenție $\phi\times B=A\times\phi=\phi\times\phi=\phi$.

În general, dacă $\ A$ și $\ B$ sunt două mulțimi nevide, atunci $\ A\times B \ne B\times A$.

Teoremă

Pentru orice mulțimi $\ A,\ B,\ C,\ D$ sunt adevărate afirmațiile:

• Dacă $A\subseteq C$ și$B\subseteq D$, atunci $A\times B\subseteq C\times D$;
• $A\times(B\cup C)=(A\times B) \cup (A\times C)$;
• $A\times(B\cap C)=(A\times B) \cap (A\times C)$;
• $A\times(B\setminus C)=(A\times B) \setminus (A\times C)$;
• $(A\cup B)\times C=(A\times C) \cup (B\times C)$;
• $(A\cap B)\times C=(A\times C) \cap (B\times C)$;
• $(A\cap B)\times C=(A\times C) \cap (B\times C)$;
• $(A\setminus B)\times C=(A\times C) \setminus (B\times C)$;
• $A\times B)\cap (C\times D)= (A\cap C)\times (B\cap D)$;
• $(A\times B)\setminus (C\times D)=[(A \setminus C)\times (B\setminus D)]\cup[(A\cap C)\times (B\setminus D)]\cup [(A\setminus C) \times(B\cap D)]$;
• $(A\times B)\setminus (C\times D)=[(A \setminus C)\times B]\cup [(A\cap C)\times (B\setminus D)$;

Dacă $A\subseteq X$, iar $B\subseteq Y$, atunci:

$C_{X\times Y} (A\times B)=(C_XA\times Y)\cup (A\times C_YB)$.

Bibliografie

1. Traian Ceaușu, Mulțimi numerice, Editura Mirton, Timișoara, 2008;
2. Ștefan Balint, Ioan Cașu, Lecții de teoria mulțimilor, Editura Universității de Vest, Timișoara, 2002.