Algebră liniară

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

Algebra liniară este ramura matematicii care studiază vectorii, spaţiile vectoriale (numite şi spaţii liniare), transformările liniare şi sistemele de ecuaţii liniare. Spaţiile vectoriale sunt o temă centrală în matematica modernă; astfel, algebra liniară este utilizată pe scară largă atât în algebra abstractă cât şi în analiza funcţională. Algebra liniară are de asemenea o reprezentare concretă în geometria analitică. Are aplicaţii numeroase în ştiinţele naturale şi ştiinţele sociale, întrucât sistemele şi fenomenele neliniare pot fi adesea aproximate printr-un model liniar.

Cuprins 1 Istoric 2 Introducere 3 Câteva teoreme utile 4 Afirmaţii echivalente pentru matrice pătratice

[modifică] Istoric

Istoria algebrei liniare moderne începe în anii 1843 şi 1844. În 1843, William Rowan Hamilton (care a introdus termenul de vector) a descoperit cuaternionii. În 1844, Hermann Grassmann şi-a publicat cartea Die lineare Ausdehnungslehre. Ceva mai tîrziu, în 1857, Arthur Cayley a introdus noţiunea de matrice, de o importanţă fundamentală in algebra liniară.

[modifică] Introducere

Algebra liniară îşi are începuturile în studiul vectorilor în spaţiul bidimensional şi tridimensional cartezian. În acestea un vector este un segment de dreaptă direcţionat, caracterizat atât prin lungime, sau mărime, şi direcţie. Vectorii pot fi folosiţi pentru reprezentarea anumitor mărimi fizice, cum ar fi forţele, şi pot fi adunaţi şi înmulţiţi cu scalari, ceea ce este un prim exemplu de spaţiu vectorial real.

Algebra liniară modernă s-a extins, luând în considerare spaţii de dimensiune arbitrară sau infinită. Cele mai multe rezultate utile din spaţiile bi- şi tri-dimensionale pot fi generalizate şi pentru aceste spaţii n-dimensionale. Deşi mulţi nu pot vizualiza uşor vectori în n dimensiuni, aceşti vectori, sau n-tuple sunt utili în reprezentarea datelor. Întrucât n-tuplele sunt liste ordonate de n componente, datele pot fi rezumate şi manipulate mai eficient cu această tehnică.

De exemplu, în economie, putem crea şi folosi vectori 8-dimensionali, sau 8-tuple, reprezentând produsul intern brut a 8 ţări. Putem decide să notăm PIB-ul a 8 ţări într-un anumit an -- fiind specificată dinainte ordinea ţărilor, de exemplu, Statele Unite, Marea Britanie, Franţa, Germania, Spania, India, Japonia, Australia -- printr-un vector (v₁, v₂, v₃, v₄, v₅, v₆, v₇, v₈), cu PIB-ul fiecărei ţări pe poziţia respectivă.

Un spaţiu vectorial (sau spaţiu liniar), este definit peste un corp, cum ar fi corpul numerelor reale sau corpul numerelor complexe.

Operatorii liniari transformă elemente dintr-un spaţiu liniar în altul (sau în el însuşi), de o manieră compatibilă cu operaţiile de adunare şi de înmulţire cu scalari definită pe respectivele spaţii. Mulţimea tuturor acestor transformări este ea însăşi un spaţiu vectorial. Dacă spaţiul vectorial are fixată o bază, fiecare transformare liniară poate fi reprezentată printr-o tabelă de numere denumită matrice. Studiul detaliat al proprietăţilor matricelor şi al algoritmilor ce lucrează pe matrice, cum ar fi determinanţii sau vectorii proprii, se consideră a fi parte a algebrei liniare.

Se poate spune, pe scurt, că pentru problemele matematice liniare - cele care manifestă liniaritate - probabilitatea de găsire a unei soluţii este cea mai mare. De exemplu, calculul diferenţial este de mare ajutor în cazul funcţiilor dacă acestea sunt aproximate liniar. În practică, diferenţa între problemele liniare şi neliniare este foarte importantă.

Metoda generală de a găsi un mod de abordare liniar pentru o problemă, de a exprima această abordare în termenii algebrei liniare, şi apoi de a o rezolva dacă e nevoie prin calcul matriceal, este una dintre metodele cele mai general valabile din matematică.

[modifică] Câteva teoreme utile

• Orice spaţiu liniar are o bază.
• O matrice nenulă A cu n rânduri şi n coloane este nesingulară dacă există o matrice B care satisface AB = BA = I unde I este matricea identitate.
• O matrice este nesingulară dacă şi numai dacă determinantul său este diferit de zero.
• O matrice este nesingulară dacă şi numai dacă transformarea liniară pe care o reprezintă este un izomorfism.
• O matrice este pozitiv semidefinită dacă şi numai dacă are toate valorile proprii mai mari sau egale cu zero.
• O matrice este pozitiv definită dacă şi numai dacă are toate valorile proprii mai mari ca zero.

[modifică] Afirmaţii echivalente pentru matrice pătratice

Una din teoremele algebrei liniare afirmă că pentru orice matrice pătratică A de dimensiuni n x n, următoarele afirmaţii sunt echivalente (fie toate adevărate, fie toate false):

1. A este inversabilă.
2. det(A) ≠ 0.
3. rang(A)=n.
4. defect(A)=0.
5. A nu are 0 printre valorile proprii.
6. Oricare ar fi b Rⁿ, Ax=b are o singură soluţie în x.
7. Ax=0 are doar soluţia banală.
8. A^TA este inversabilă.
9. A se reduce pe rânduri la matricea identitate.
10. Rândurile şi coloanele matricei A acoperă Rⁿ.
11. Nucleul lui A conţine doar vectorul zero.
12. Imaginea lui A este Rⁿ.
13. Rândurile lui A sunt liniar independente.
14. Coloanele lui A sunt liniar independente.