Cardinal (matematică)

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

Cardinalul sau puterea unei mulţimi reprezintă numărul elementelor acelei mulţimi. Două mulţimi se numesc echipotente dacă au acelaşi număr de elemente (acelaşi cardinal), altfel spus, dacă sunt la fel de bogate în membri.

Cuprins

1 Definiţie
2 Cardinale finite şi infinite
3 Compararea cardinalelor
4 Cercetări recente
5 Bibliografie

[modifică] Definiţie

Două mulţimi A şi B se numesc echipotente dacă există cel puţin o funcţie bijectivă $f:A\to B$ . Relaţia de echipotenţă satisface condiţiile unei relaţii de echivalenţă.

Dacă două mulţimi sunt echipotente se mai spune că au acelaşi cardinal sau au acelaşi număr de elemente.

Cardinalitatea mulţimilor se notează punând mulţimea între bare verticale, de exemplu $|$ B $|$ .

[modifică] Cardinale finite şi infinite

Prin definiţie, o mulţime este numită infinită dacă este echipotentă cu o submulţime strictă a sa. O mulţime ce nu este infinită se numeşte finită.

De exemplu, pentru mulţimea numerelor naturale avem funcţia bijectivă $f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\setminus\{0\}$ dată prin $f (x) = x + 1$ , de unde rezultă că $\mathbb{N}$ este echipotentă cu submulţimea strictă $\mathbb{N}\setminus\{0\}$ . Prin urmare, mulţimea numerelor naturale este infinită.

În cazul mulţimilor infinite, ale căror elemente nu se pot număra cu succes din motive evidente, în loc de "număr de elemente" se preferă denumirea "cardinalitate", luată în sensul de bogăţie a elementor sale.

[modifică] Mulţimi finite

Orice mulţime finită este echipotentă cu o mulţime de numere naturale de forma $\{1,2,3,\ldots,n\}$ . Se spune că o astfel de mulţime are cardinalul n.

O mulţime finită poate avea şi zero membri (nici un membru). Această mulţime este denumită mulţimea vidă (sau mulţimea nulă) şi este reprezentată prin simbolul $\empty$ . De exemplu, mulţimea $A$ a tuturor pătratelor cu trei laturi are 0 membri, şi astfel $A = \empty$ . La fel ca şi numărul 0, mulţimea vidă, deşi aparent trivială, este foarte importantă în matematică. Aşa cum pe lume există un singur număr zero, şi mulţimea vidă este unică pe lume. Astfel, mulţimea $A$ de mai sus (a tuturor pătratelor cu trei laturi), nu numai că are acelaşi număr de membri (acelaşi cardinal) cu mulţimea $B$ a tuturor zebrelor de pe lună, anume 0, dar chiar este egală (identică) cu ea: $A = B =\empty$ . Mulţimea vidă are cardinalul 0.

[modifică] Mulţimi infinite

O mulţime poate avea un număr nesfârşit de mare de membri; de exemplu, mulţimea tuturor punctelor (idealizate) de pe o linie (idealizată şi ea); mulţimea tuturor numerelor iraţionale. Deoarece orice încercare de a număra membrii unei mulţimi infinite nu s-ar sfârşi niciodată, pentru mulţimile infinite e nevoie de altă definiţie a cardinalităţii, cu scopul de a putea la nevoie compara între ele şi mulţimile infinite (cu privire la bogăţia de membri). În mod surprinzător s-a dovedit că mulţimile infinite pot avea mai multe cardinalităţi, diferite între ele. Cu alte cuvinte, în ceeace priveşte bogăţia lor de membri, există mai multe soiuri de mulţimi infinite (de infinituri), anume unele mai bogate şi altele mai puţin bogate în membri.

Mulţimile infinite pot fi numărabile sau nenumărabile.

[modifică] - Mulţimi numărabile

O mulţime echipotentă cu mulţimea numerelor naturale se numeşte mulţime numărabilă. Cardinalul unei mulţimi numărabile se notează cu $\alef_0$ , care se citeşte "alef zero", alef fiind prima literă din alfabetul ebraic (în lucrările mai vechi se nota cu un $\mathfrak{a}$ - "a gotic"). Mulţimea numerelor întregi şi mulţimea numerelor raţionale sunt mulţimi infinite numărabile.

Prin mulţime cel mult numărabilă se înţelege o mulţime care este finită sau numărabilă.

Proprietăţi:

Orice mulţime infinită conţine o submulţime numărabilă.
Orice submulţime a unei mulţimi cel mult numărabilă este cel mult numărabilă.
Reuniunea unei familii cel mult numărabile de mulţimi cel mult numărabile este o mulţime cel mult numărabilă.
Produsul cartezian a două mulţimi numărabile este o mulţime numărabilă. În consecinţă, produsul cartezian al unui număr finit de mulţimi numărabile este tot o mulţime numărabilă.

[modifică] - Mulţimi nenumărabile

Există mulţimi infinite nenumărabile. De exemplu, mulţimea numerelor reale este nenumărabilă.

Cardinalul mulţimii numerelor reale se notează cu $\aleph$ ; în lucrările mai vechi el se nota cu $\mathfrak{c}$ . Acest cardinal se mai numeşte puterea continuului. Următoarele mulţimi au cardinalul $\aleph$ :

orice interval (netrivial) al mulţimii numerelor reale
mulţimea numerelor complexe $\mathbb{C}$
$\mathbb{R}^n$ , pentru orice $n\in\mathbb{N}^*$
mulţimea părţilor mulţimii numerelor naturale $\mathcal{P}(\mathbb{N})$

[modifică] Compararea cardinalelor

O mulţime A se spune că are cardinal mai mic sau egal cu mulţimea B dacă A este echipotentă cu o submulţime a lui B. Se poate arăta că dacă A este echipotentă cu o submulţime a lui B şi B este echipotentă cu o submulţime a lui A, atunci A şi B sunt echipotente. Pe baza lemei lui Zorn, se poate arăta că pentru orice două mulţimi A şi B cel puţin una dintre ele are cardinalul mai mic sau egal cu cardinalul celeilalte. Ca urmare, există o ordine totală între cardinale.

Pentru compararea cardinalităţilor ale 2 mulţimi infinite, în loc de a încerca să se numere întâi separat membrii lor şi apoi să se compare rezultatele, se foloseşte metoda "împerecherii" membrilor lor: se cercetează dacă poate fi găsită măcar o singură corespondenţă biunivocă între cele 2 mulţimi atunci când ele se iau membru cu membru (altfel spus, dacă există o "funcţie bijectivă" sau o bijecţie între cele 2 mulţimi), sau dacă nu cumva în una din cele 2 mulţimi de comparat, după orice încercare de "împerechere" pe baza unei reguli, rămâne totuşi întotdeauna un surplus de membri ne-împerecheaţi. În acest caz mulţimea cu surplusul are un cardinal (o putere) mai mare decât cardinalul (puterea) celeilalte.

Au fost dovedite următoarele proprietăţi neaşteptete ale mulţimilor infinite:

Există o cea mai "mică" mulţime infinită, adică având cea mai mică putere sau număr cardinal posibil. Este vorba de orice parte infinită din mulţimea numerelor naturale. Cardinalitatea ei se notează cu $\aleph_0$ , care se citeşte "alef zero", $\aleph$ (alef) fiind prima literă din alfabetul ebraic. Astfel de mulţimi se numesc "numărabile", deoarece sunt echipotente cu mulţimea numerelor naturale 1, 2, 3,... . Membrii lor nu se pot număra unul câte unul până la ultimul, ele fiind infinite. Reunind 2 mulţimi infinite de putere $\aleph_0$ , rezultă o mulţime infinită tot de putere $\aleph_0$ (deşi simţurile noastre ne spun că rezultatul ar trebui să aibă o putere mai mare - mai mulţi membri - decât fiecare din părţile constituente). Exemple concrete de mulţimi infinite cu cardinalitatea $\aleph_0$ : toate numerele prime; toate numerele impare; toate numerele raţionale.
O mulţime infinită cu puterea mai mare decât $\aleph_0$ este de exemplu mulţimea punctelor de pe o linie, sau şi mulţimea punctelor dintr-un patrat, aceste două mulţimi fiind echipotente. Puterea lor se notează cu litera $\aleph$ (alef) sau şi cu un $\mathfrak c$ (c gotic). Această notaţie provine de la cuvântul latin "continuum". Astfel de mulţimi se mai numesc şi "de puterea continuului". Alt exemplu de mulţime infinită cu cardinalitatea $\mathfrak c$ : mulţimea numerelor reale.
În cadrul sistemului de axiome Zermelo-Fraenkel-Choice (ZFC), care este foarte bine încetăţenit, s-a dovedit că nu se poate deduce dacă există sau nu mulţimi cu puterea situată între $\aleph_0$ şi $\mathfrak c$ . Altfel spus, sunt permise ambele afirmaţii (desigur nu în cadrul aceluiaşi sistem consistent): atât ipoteza continuului, cât şi contrara acesteia.
Puterea care urmează după $\mathfrak c$ o are de exemplu mulţimea tuturor funcţiilor care se pot defini pe o mulţime de putere $\mathfrak c$ . Această putere se notează cu $\mathfrak f$ (f gotic).
O putere şi mai mare o are mulţimea tuturor funcţiilor care se pot defini pe o mulţime de putere $\mathfrak f$ .
În felul acesta se pot construi (mental) mulţimi infinite cu puteri din ce în ce mai mari, fără o limită superioară, fiind vorba deci de infinit de feluri de infinituri (cu privire la bogăţia membrilor).

[modifică] Cercetări recente

Cercetările cele mai recente încearcă să găsească o nouă axiomă, independentă de ZFC, şi care, adăugată la sistemul ZFC, rezolvă problemele actuale legate de ipoteza continuului. Lucrul acesta este dificil, deoarece axioma căutată trebuie să îndeplinească mai multe condiţii:

să nu conducă la contradicţii cu ZFC
să fie independentă de ZFC (să nu decurgă din ZFC)
să corespundă cu "maximalismul ontologic"
să "stabilizeze" teoria mulţimilor (infinite)
ca orice axiomă, să descrie un fapt simplu (elementar), care nu se poate dovedi, dar nici nu trebuie dovedit deoarece corespunde intuiţiei omului.

Există deja 2 candidaţi pentru o astfel de axiomă nouă, numiţi unul Projective Determinacy (PD) şi celălalt Woodin's Martin's Maximum (WMM). Conform acestora se pare că ipoteza continuului este falsă, deci ar exista o cardinalitate, probabil chiar una singură, situată între $\aleph_0$ şi $\mathfrak c$ .

[modifică] Bibliografie

Kazimierz Kuratowski, Introducere în teoria mulţimilor şi în topologie. Traducere, Editura Tehnică, Bucureşti, 1969.

Cardinal (matematică)

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

Cuprins

[modifică] Definiţie

[modifică] Cardinale finite şi infinite

[modifică] Mulţimi finite

[modifică] Mulţimi infinite

[modifică] - Mulţimi numărabile

[modifică] - Mulţimi nenumărabile

[modifică] Compararea cardinalelor

[modifică] Cercetări recente

[modifică] Bibliografie

Vizualizări

Unelte personale

Navigare

participare

Căutare

Trusa de unelte

În alte limbi