Algebră universală

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare
Acest articol se referă la prototipul structurilor algebrice. Pentru alte sensuri, vedeți Algebră (dezambiguizare).

În matematică, o algebră universală este un ansamblu format dintr-o mulțime de bază și niște operații: A=(\Omega,\omega_1,\omega_2,\ldots,\omega_n). Fiecare operație \omega_j este o funcție \omega_k:\Omega^{k_j}\to\Omega, unde k_j se numește aritatea (numărul de argumente) operației \omega_j, iar \Omega^{k_j}=\underbrace{\Omega\times\ldots\Omega}_{k_j} este produsul cartezian al mulțimii de bază cu ea însăși de k_j ori.

De notat că este permis ca k_j să fie 0. Astfel de „operații”, numite operații nulare sunt de fapt elemente speciale ale mulțimii de bază.

Exemple[modificare | modificare sursă]

  • Un grup este o algebră universală cu 3 operații de arități respectiv 2, 0, 1.
    1. Prima operație (binară) este operația specificată ca lege de compoziție a grupului. Notația obișnuită este a+b sau a\cdot b în loc de \omega_1(a,b). Trebuie să fie asociativă: \forall a,b,c\in \Omega\,,\ \omega_1(\omega_1(a,b),c)=\omega_1(a,\omega_1(b,c))
    2. A doua operație (nulară) marchează elementul neutru. Trebuie să satisfacă proprietatea de element neutru: \forall a\in\Omega\,,\ \omega_1(\omega_2,a)=\omega_1(a,\omega_2)=a
    3. A treia operație (unară) produce elementul invers. Trebuie să satisfacă proprietatea de element invers:\forall a\in\Omega\,,\ \omega_1(\omega_3(a),a)=\omega_1(a,\omega_3(a))=\omega_2
  • Un spațiu vectorial peste un corp K poate fi reprezentat printr-o algebră universală având cele trei operații de la grup plus câte o operație unară pentru fiecare element (scalar) al corpului K. Unui scalar \alpha\in K îi va corespunde deci o operație unară \omega_\alpha:\Omega\to\Omega, notată de obicei \alpha\cdot x în loc de \omega_\alpha(x)

Subalgebre ale unei algebre universale[modificare | modificare sursă]

O submulțime \Omega^\prime\subseteq\Omega a mulțimii de bază se numește stabilă în raport cu operațiile algebrei universale A dacă pentru fiecare operație \omega_j, adică pentru fiecare j, are loc \forall x_1,\ldots,x_{k_j}\in\Omega^\prime\,,\ \omega_j(x_1,\ldots,x_{k_j})\in\Omega^\prime.

Orice sumbulțime \Omega^\prime a mulțimii de bază, stabilă în raport cu operațiile algebrei, determină o algebră universală ce are ca mulțime de bază acea mulțime și ca operații restricțiile la \Omega^\prime ale operațiilor algebrei: A^\prime=(\Omega^\prime,\omega_1^\prime,\omega_2^\prime,\ldots,\omega_n^\prime), unde

\omega_j^\prime:(\Omega^\prime)^{k_j}\to\Omega^\prime\,,\ \omega^\prime_j(x_1,\ldots,x_{k_j})=\omega_j(x_1,\ldots,x_{k_j}).

O astfel de algebră A^\prime se numește subalgebră a algebrei A.

Se poate demonstra că o intersecție arbitrară de subalgebre ale unei algebre universale este o subalgebră. (De fapt, orice intersecție de submulțimi ale mulțimii de bază ale algebrei, stabile în raport cu operațiile algebrei, este o submulțime stabilă în raport cu operațiile algebrei.) Altfel spus, subalgebrele unei algebre universale alcătuiesc un sistem de închidere.

Subalgebra generată de o mulțime[modificare | modificare sursă]

O submulțime M\subseteq\Omega a mulțimii de bază a unei algebre A nu este, în general, o subalgebră. Se poate pune problema care este „cea mai mică” subalgebră a lui A în care mulțimea de bază să includă mulțimea M. Există două construcții posibile, despre care se poate demonstra că duc la același rezultat:

  1. Se iau toate mulțimile de bază ale subalgebrelor lui A ce conțin mulțimea M și se construiește intersecția lor.
  2. Se notează M_0=M, se definește M_1 ca fiind M_0 la care se adaugă toate valorile ce se pot obține prin aplicarea operațiilor algebrei asupra elementelor lui M_0, se construiește asemănător M_2 pornind de la M_1 ș.a.m.d. În final, mulțimea de bază a subalgebrei va fi \bigcup\limits_{i=0}^\infty M_i.

Rezultatul oricăreia dintre construcțiile de mai sus se numește subalgebra generată de mulțimea M.

Relații de congruență[modificare | modificare sursă]

O relație binară \equiv definită peste mulțimea \Omega se numește congruență dacă este o relație de echivalență și în plus satisface proprietatea că, pentru fiecare operație \omega_j a algebrei, din compunerea de elemente congruente rezultă elemente congruente:

\forall x_1,\ldots,x_{k_j},y_1,\ldots,y_{k_j}\in\Omega, dacă x_1\equiv y_1\,,\,\ldots\,,\,x_{k_j}\equiv y_{k_j} atunci \omega_j(x_1,\ldots,x_{k_j})\equiv\omega_j(y_1,\ldots,y_{k_j})

Ca orice relație de echivalență, o relație de congruență partiționează mulțimea \Omega în clase de echivalență. Pe mulțimea claselor de echivalență ale unei relații de congruență, se poate defini o structură de algebră universală numită algebră cât (de la cât=rezultatul împărțirii): A^\prime=(\Omega^\prime=\Omega|_{\equiv},\omega_1^\prime,\ldots,\omega_n^\prime) definind fiecare operație \omega^\prime_j prin:

\omega_j(\hat{x_1},\ldots,\hat{x_{k_j}})=\hat{\omega_j}(x_1,\ldots,x_{k_j})

unde prin \hat{x} se notează clasa de echivalență din care face parte x. De notat că corectitudinea definiției de mai sus a operațiilor se bazează pe faptul că din condiția de congruență rezultă că clasa lui \omega_j(x_1,\ldots,x_{k_j}) nu depinde de alegerea lui x_1,\ldots,x_{k_j} în interiorul claselor lor.

Morfisme și izomorfisme[modificare | modificare sursă]

Două algebre universale A și A^\prime sunt similare dacă au același număr de operații și operațiile de pe aceeași poziție au aceeași aritate. O funcție f:\Omega\to\Omega^\prime definită între mulțimile de bază a două algebre universale similare este numită morfism dacă pentru fiecare operație funcția comută cu operația respectivă:

\forall x_1,\ldots,x_{k_j}\in\Omega\,,\ f(\omega_j(x_1,\ldots,x_{k_j})=\omega^\prime(f(x_1),\ldots,f(x_{k_j}))

Compunerea a două morfisme este întotdeauna un morfism.

Un morfism care este funcție bijectivă se numește izomorfism. Dacă între două algebre universale se poate stabili un izomorfism, ele se numesc izomorfe. Două algebre universale izomorfe sunt de fapt aceeași structură algebrică: orice proprietate este valabilă între elementele primei structuri este valabilă și în cea de-a doua structură.

Morfismele, respectiv izomorfismele, între o algebră universală și ea însăși se numesc endomorfisme, respectiv automorfisme.

Morfisme, subalgebre și congruențe[modificare | modificare sursă]

Fiind dată o congruență într-o algebră universală, funcția ce asociază fiecărui element al mulțimii de bază a algebrei clasa de echivalență a acelui element este un morfism de la algebra inițială la algebra cât.

Imaginea unui morfism (f(\Omega)=\{f(x):x\in\Omega\}) este o subalgebră a algebrei destinație a morfismului.

Pentru orice morfism f, dacă punem x\equiv y dacă f(x)=f(y), obținem o relație de congruență. Funcția care asociază fiecărui \hat{x}\in\Omega|_{\equiv} pe f(x) este un izomorfism între algebra cât și subalgebra imagine a morfismului.

Vezi și[modificare | modificare sursă]