Coeficient binomial

Coeficienții binomiali sunt fiecare dintre coeficienții care apar pe lîngă termenii din dezvoltarea binomului :

$(a+b)^{n}\,$$(a+b)^{n}\,$.

Sunt de forma:

$\ {C}_{n}^{k}$$\ {C}_{n}^{k}$

această structură citindu-se: "Combinări de n luate câte k", unde

${C}_{n}^{k}={\frac {n!}{(n-k)!\cdot k!}}$${C}_{n}^{k}={\frac {n!}{(n-k)!\cdot k!}}$,

iar

$n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot .......\cdot n=\prod _{k=1}^{n}k$$n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot .......\cdot n=\prod _{k=1}^{n}k$,

citindu-se "N Factorial".

Notație

Coeficientul binomial se notează cu $n \choose k$$n \choose k$. Astfel, se poate scrie :

${n \choose k}={n \choose {n-k}}={n \choose k,{n-k}}={n \choose k,{n-k},0}$${n \choose k}={n \choose {n-k}}={n \choose k,{n-k}}={n \choose k,{n-k},0}$.

unde ultimii doi termeni din șirul de egalități sunt coeficienți multinomiali.

Alte notații întâlnite pentru coeficientul binomial sunt :

$C_{k}^{n}=C(n,k)=binomial(n,k)$$C_{k}^{n}=C(n,k)=binomial(n,k)$.

Definiție combinatorică

Coeficientul binomial indică numărul de moduri în care poate fi alcătuită o mulțime din două sorturi de elemente, a câte k₁ și k₂ elemente din fiecare sort.

Ens ( X + Y ) = Ens ( X ) . Ens ( Y )

Pentru a afla direct din definiție valorea coeficientului binomial, se trece la funcția generatoare exponențială

$\sum _{n}{\frac {(x+y)^{n}}{n!}}=e^{x+y}=e^{x}\cdot e^{y}=\sum _{k1}{\frac {x^{k_{1}}}{k_{1}!}}\sum _{k2}{\frac {y^{k_{2}}}{k_{2}!}}=\sum _{k1,k2}{\frac {x^{k_{1}}}{k_{1}!}}{\frac {y^{k_{2}}}{k_{2}!}}=\sum _{n}\sum _{k_{1}+k_{2}=n}{\frac {x^{k_{1}}}{k_{1}!}}{\frac {y^{k_{2}}}{k_{2}!}}$$\sum _{n}{\frac {(x+y)^{n}}{n!}}=e^{x+y}=e^{x}\cdot e^{y}=\sum _{k1}{\frac {x^{k_{1}}}{k_{1}!}}\sum _{k2}{\frac {y^{k_{2}}}{k_{2}!}}=\sum _{k1,k2}{\frac {x^{k_{1}}}{k_{1}!}}{\frac {y^{k_{2}}}{k_{2}!}}=\sum _{n}\sum _{k_{1}+k_{2}=n}{\frac {x^{k_{1}}}{k_{1}!}}{\frac {y^{k_{2}}}{k_{2}!}}$

După egalarea termen cu termen se obține, pentru fiecare n,

${\frac {(x+y)^{n}}{n!}}=\sum _{k_{1}+k_{2}=n}{\frac {x^{k_{1}}}{k_{1}!}}{\frac {y^{k_{2}}}{k_{2}!}}$${\frac {(x+y)^{n}}{n!}}=\sum _{k_{1}+k_{2}=n}{\frac {x^{k_{1}}}{k_{1}!}}{\frac {y^{k_{2}}}{k_{2}!}}$

de unde rezultă coeficientul binomial dorit

$(x+y)^{n}=\sum _{k_{1}+k_{2}=n}{\frac {n!}{k_{1}!k_{2}!}}{x^{k_{1}}}{y^{k_{2}}}$$(x+y)^{n}=\sum _{k_{1}+k_{2}=n}{\frac {n!}{k_{1}!k_{2}!}}{x^{k_{1}}}{y^{k_{2}}}$

Vezi și

• Binomul lui Newton
• Factorial
• Teorema multinomială
• Triunghiul lui Pascal

Legături externe

• Calculul de la Coeficient binomial