Binomul lui Newton

În algebra elementară, binomul lui Newton este denumirea formulei pentru ridicarea la o anumită putere naturală a unui binom:

$(x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}\mathbf {C} _{n}^{k}\cdot x^{n-k}\cdot y^{k}$$(x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}\mathbf {C} _{n}^{k}\cdot x^{n-k}\cdot y^{k}$

$(x-y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}\cdot \mathbf {C} _{n}^{k}\cdot x^{n-k}\cdot y^{k}$$(x-y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}\cdot \mathbf {C} _{n}^{k}\cdot x^{n-k}\cdot y^{k}$

$\mathbf {C} _{n}^{k}$$\mathbf {C} _{n}^{k}$ poate apărea scris și astfel: ${n \choose k}$${n \choose k}$

Generalizarea

Prin 1665, Isaac David generalizează formula și pentru puteri reale, nu numai naturale.În acest caz, suma este înlocuită cu o serie infinită.

Pentru aceasta se definește simbolul lui Pochhammer $(\cdot )_{k}$$(\cdot )_{k}$ prin relația:

${r \choose k}={\frac {r\,(r-1)\cdots (r-k+1)}{k!}}={\frac {(r)_{k}}{k!}},$${r \choose k}={\frac {r\,(r-1)\cdots (r-k+1)}{k!}}={\frac {(r)_{k}}{k!}},$

Astfel, dacă x, y sunt numere reale cu proprietatea |x| > |y|:

${\begin{aligned}(x+y)^{r}&=\sum _{k=0}^{\infty }{r \choose k}x^{r-k}y^{k}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (2)\\&=x^{r}+rx^{r-1}y+{\frac {r(r-1)}{2!}}x^{r-2}y^{2}+{\frac {r(r-1)(r-2)}{3!}}x^{r-3}y^{3}+\cdots .\end{aligned}}$${\begin{aligned}(x+y)^{r}&=\sum _{k=0}^{\infty }{r \choose k}x^{r-k}y^{k}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (2)\\&=x^{r}+rx^{r-1}y+{\frac {r(r-1)}{2!}}x^{r-2}y^{2}+{\frac {r(r-1)(r-2)}{3!}}x^{r-3}y^{3}+\cdots .\end{aligned}}$

Exemplu

$(1+x)^{-1/2}=3^{-1/2}\left(1+{\frac {1}{3}}x\right)^{-1/2}={\frac {1}{\sqrt {3}}}\left(1-{\frac {1}{6}}x+{\frac {1}{24}}x^{2}-{\frac {5}{432}}x^{3}+\cdots \right)$$(1+x)^{-1/2}=3^{-1/2}\left(1+{\frac {1}{3}}x\right)^{-1/2}={\frac {1}{\sqrt {3}}}\left(1-{\frac {1}{6}}x+{\frac {1}{24}}x^{2}-{\frac {5}{432}}x^{3}+\cdots \right)$

Seria este convergentă pentru $|x|<3.$$|x|<3.$

Vezi și

• Coeficient binomial
• Teorema multinomială