Binomul lui Newton

În algebra elementară, binomul lui Newton este denumirea formulei pentru ridicarea la o anumită putere naturală a unui binom:

$(x+y)^n=\sum_{k=0}^n \mathbf{C}_n^k \cdot x^{n-k} \cdot y^k$

$(x-y)^n=\sum_{k=0}^n (-1)^k \cdot \mathbf{C}_n^k \cdot x^{n-k} \cdot y^k$

$\mathbf{C}_n^k$ poate apărea scris și astfel: ${n \choose k}$

Generalizare

Prin 1665, Isaac Newton generalizează formula și pentru puteri reale, nu numai naturale. În acest caz, suma este înlocuită cu o serie infinită.

Pentru aceasta se definește simbolul lui Pochhammer $(\cdot)_k$ prin relația:

${r \choose k}=\frac{r\,(r-1) \cdots (r-k+1)}{k!} =\frac{(r)_k}{k!},$

Astfel, dacă x, y sunt numere reale cu proprietatea |x| > |y|:

$\begin{align} (x+y)^r & =\sum_{k=0}^\infty {r \choose k} x^{r-k} y^k \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad(2) \\ & = x^r + r x^{r-1} y + \frac{r(r-1)}{2!} x^{r-2} y^2 + \frac{r(r-1)(r-2)}{3!} x^{r-3} y^3 + \cdots. \end{align}$

Exemplu

$(3 + x)^{-1/2} = 3^{-1/2} \left ( 1+ \frac 1 3 x \right )^{-1/2}= \frac {1}{ \sqrt 3} \left ( 1 - \frac {1}{6} x + \frac {1}{24} x^2 - \frac {5}{432} x^3 + \cdots \right )$

Seria este convergentă pentru $|x| < 3.$

Vezi și

• Coeficient binomial
• Teorema multinomială