Binomul lui Newton

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

În algebra elementară, binomul lui Newton este denumirea formulei pentru ridicarea la o anumită putere cu exponent natural a unui binom:




poate apărea scris și astfel: (coeficient binomial)

Binomul lui Newton era cunoscut cu secole înainte de Newton de gânditorii arabi ca Al-Kashi[1][2] și Omar Haiam[3].

Generalizare[modificare | modificare sursă]

Prin 1665, Isaac Newton generalizează formula puterii binomului arătând valabilitatea pentru puteri cu exponent orice număr real, nu numai natural. În acest caz, suma este înlocuită cu o serie infinită cu numele de serie binomială[4].

Pentru aceasta se definește simbolul lui Pochhammer prin relația:

Astfel, dacă x, y sunt numere reale cu proprietatea |x| > |y|:

Exemplu[modificare | modificare sursă]

Se pot calcula radicali din sume, ca mai jos, printr-o transformare necesară pentru convergență:

Seria este convergentă pentru

Folosire în demonstrații[modificare | modificare sursă]

Binomul lui Newton poate fi folosit la stabilirea formulei binomiale care definește valoarea numărului e și legătura cu suma inverselor factorialelor.

Poate fi folosit și pentru a demonstra inegalitatea lui Bernoulli.

Binomul cu exponenți fracționari (numere raționale) permite rezolvarea unor ecuații exponențiale unde exponentul fracționar se aplică sumei și nu unui singur număr luat ca bază a puterii.

Note[modificare | modificare sursă]

  1. ^ A. P. Iușkevici, Istoria matematicii in Evul Mediu, Editura Științifică, București, 1963, pp. 255-258
  2. ^ Mihăileanu, vol I, p. 114-115
  3. ^ Mihăileanu, vol I, p. 114-115
  4. ^ Mihăileanu, vol I, p. 173

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

  • N. N. Mihăileanu, Istoria matematicii. Antichitatea și evul mediu, vol I-II, Editura Enciclopedică Română, 1974, 1981
  • A-A.(P.) Iușchevici, Istoria matematicii în evul mediu, Editura Stiințifică, 1963
  • Heinrich Wieleitner Istoria matematicii de la Descartes până la jumătatea secolului al XIX-lea, Editura Stiințifică, București, 1964

Vezi și[modificare | modificare sursă]

Legături externe[modificare | modificare sursă]