Binomul lui Newton
În algebra elementară, binomul lui Newton este denumirea formulei pentru ridicarea la o anumită putere cu exponent natural a unui binom:
- poate apărea scris și astfel: (coeficient binomial)
Binomul lui Newton era cunoscut cu secole înainte de Newton de gânditorii arabi ca Al-Kashi[1][2] și Omar Haiam[3].
Generalizare[modificare | modificare sursă]
Prin 1665, Isaac Newton generalizează formula puterii binomului arătând valabilitatea pentru puteri cu exponent orice număr real, nu numai natural. În acest caz, suma este înlocuită cu o serie infinită cu numele de serie binomială[4].
Pentru aceasta se definește simbolul lui Pochhammer prin relația:
Astfel, dacă x, y sunt numere reale cu proprietatea |x| > |y|:
Exemplu[modificare | modificare sursă]
Se pot calcula radicali din sume, ca mai jos, printr-o transformare necesară pentru convergență:
Seria este convergentă pentru
Folosire în demonstrații[modificare | modificare sursă]
Binomul lui Newton poate fi folosit la stabilirea formulei binomiale care definește valoarea numărului e și legătura cu suma inverselor factorialelor.
Poate fi folosit și pentru a demonstra inegalitatea lui Bernoulli.
Binomul cu exponenți fracționari (numere raționale) permite rezolvarea unor ecuații exponențiale unde exponentul fracționar se aplică sumei și nu unui singur număr luat ca bază a puterii.
Note[modificare | modificare sursă]
Bibliografie[modificare | modificare sursă]
- N. N. Mihăileanu, Istoria matematicii. Antichitatea și evul mediu, vol I-II, Editura Enciclopedică Română, 1974, 1981
- A-A.(P.) Iușchevici, Istoria matematicii în evul mediu, Editura Stiințifică, 1963
- Heinrich Wieleitner Istoria matematicii de la Descartes până la jumătatea secolului al XIX-lea, Editura Stiințifică, București, 1964