Egalitate (matematică)

În matematică egalitatea este o relație între două mărimi sau, mai general, între două expresii matematice, care afirmă că mărimile au aceeași valoare sau că expresiile reprezintă același obiect matematic. Egalitatea dintre A și B se scrie A = B și se pronunță „A este egal cu B”. Simbolul „=” se numește „semnul egal”. Două obiecte care nu sunt egale se spune că sunt diferite.

De exemplu:

• $x=y$ înseamnă că x și y sunt același obiect.
• Egalitatea $(x+1)^{2}=x^{2}+2x+1$ înseamnă că dacă x este un număr (oricare), atunci cele două expresii au aceeași valoare. Acest lucru poate fi interpretat și ca spunând că cei doi membri ai ecuației reprezintă aceeași funcție.
• $\{x\mid P(x)\}=\{x\mid Q(x)\}$ dacă și numai dacă $P(x)\Leftrightarrow Q(x).$ Această afirmație înseamnă că dacă elementele care satisfac proprietatea $P(x)$ sunt aceleași cu elementele care satisfac $Q(x),$ atunci cele două proprietăți definesc aceeași mulțime. Această proprietate este adesea exprimată ca „două mulțimi care au aceleași elemente sunt egale”. Este una dintre axiomele obișnuite ale teoriei mulțimilor, numită axioma extensionalității.

Etimologie

Cuvântul provine din latină aequālis, care înseamnă „egal cu”.

Proprietăți

• Proprietatea de substituție: Pentru orice mărimi a și b și orice expresie F(x), dacă a = b, atunci F(a) = F(b) (cu condiția ca ambele părți să fie bine formate^⁠(d)).

Câteva exemple specifice sunt:

• Pentru orice numere reale a, b și c, dacă a = b, atunci a + c = b + c (aici F(x) este x + c);
• Pentru orice numere reale a, b și c, dacă a = b, atunci a − c = b − c (aici F(x) este x − c);
• Pentru orice numere reale a, b și c, dacă a = b, atunci ac = bc (aici F(x) este xc);
• Pentru orice numere reale a, b și c, dacă a = b și c nu este 0, atunci a/c = b/c (aici F(x) este x/c);

• Proprietatea de reflexie: Pentru orice mărime a, a = a.
• Proprietatea de simetrie: Pentru orice mărimi a și b, dacă dacă a = b, atunci b = a.
• Proprietatea de tranzitivitate: Pentru orice mărimi a, b și c, dacă a = b și b = c, atunci a = c.

Aceste ultime trei proprietăți fac din egalitate o relație de echivalență. Ele au fost incluse inițial printre axiomele Peano^⁠(d) pentru numerele naturale. Deși proprietățile de simetrie și tranzitivitate sunt adesea văzute ca fundamentale, ele pot fi deduse din proprietățile de substituție și reflexie.

Egalitatea ca predicat

Când A și B nu sunt complet specificate sau depind de unele variabile, egalitatea este o propoziție, care poate fi adevărată pentru unele valori și falsă pentru alte valori. Egalitatea este o relație binară (adică, un predicat^⁠(d) cu două argumente) care poate produce o valoare de adevăr (fals sau adevărat) din argumentele sale. În programarea calculatoarelor, calculul său din cele două expresii este cunoscut ca comparație^⁠(d).

Ecuații

O ecuație este o problemă de găsire a valorilor unor variabile, numite necunoscute, pentru care egalitatea specificată este adevărată. Termenul „ecuație” se poate referi și la o relație de egalitate care este satisfăcută numai pentru valorile variabilelor care interesează. De exemplu, $x^{2}+y^{2}=1$ este ecuația cercului unitate.

Bibliografie

• en Kleene, Stephen Cole (2002) [1967]. Mathematical Logic. Mineola, New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-42533-7. 
• en Lévy, Azriel (2002) [1979]. Basic set theory. Mineola, New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-42079-0. 
• en Mac Lane, Saunders; Birkhoff, Garrett (1999) [1967]. Algebra (ed. Third). Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. 
• en Mazur, Barry (12 iunie 2007), When is one thing equal to some other thing? (PDF) 
• en Mendelson, Elliott (1964). Introduction to Mathematical Logic. New York: Van Nostrand Reinhold. 
• en Rosser, John Barkley (2008) [1953]. Logic for mathematicians. Mineola, New York: Dover Publication. ISBN 978-0-486-46898-3. 
• en Shoenfield, Joseph Robert (2001) [1967]. Mathematical Logic (ed. 2nd). A K Peters. ISBN 978-1-56881-135-2. 

Legături externe

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), „Equality axioms”, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104