Formula lui Moivre

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Jump to navigation Jump to search

Formula lui Moivre face legătura între numere complexe și trigonometrie. Poartă numele matematicianului Abraham de Moivre, care în 1707 a obținut formula:

pe care a reușit să o demonstreze pentru orice

Pornind de la aceasta, de Moivre sugerează că are loc și relația:

    (formula lui Moivre)

Leonhard Euler a demonstrat-o utilizând formula care îi poartă numele.

Cea mai simplă demonstrație a formulei face apel la metoda inducției matematice. Astfel, pentru formula este verificată.

Acum se presupune formula adevărată pentru adică:

și se va demonstra că de aici rezultă valabilitatea formulei și pentru

Într-adevăr,

Cazul ridicării la o putere rațională[modificare | modificare sursă]

Formula lui Moivre este valabilă doar pentru Dacă în locul lui n este introdus exponentul fracționar și se ia se obține:

care are n valori diferite când k parcurge mulțimea Acestea sunt de fapt rădăcinile de ordinul n ale unității.