Teorema bisectoarei

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Sari la navigare Sari la căutare
În această diagramă, BD:DC = BA:CA.

În geometrie, teorema bisectoarei exprimă o relație între lungimile segmentelor determinate de bisectoarea unui unghi al triunghiului pe latura pe care cade și cele ale laturilor acelui unghi.

Enunț[modificare | modificare sursă]

Într-un triunghi ABC, bisectoarea unghiului A determină pe latura opusă (BC) segmente proporționale cu laturile triunghiului:

Din scrierea relației algebrice se poate remarca o proprietate mnemotehnică a raportului lungimilor de segmente: înlocuirea punctului D cu A (și invers) nu schimbă valoarea raportului.

Propoziții înrudite[modificare | modificare sursă]

  • Reciproca teoremei bisectoarei: Dacă un punct D interior laturii BC o împarte pe aceasta în segmente ce respectă relația , atunci AD este bisectoarea unghiului A.
  • Teorema bisectoarei externe: Bisectoarea externă a unghiului A (dreapta pe care se află bisectoarele ambelor unghiuri externe BAC' și B'AC) determină pe dreapta BC (în exteriorul segmentului BC) punctul E pentru care are loc relația: . Dacă bisectoarea externă este paralelă cu BC, un astfel de punct nu există.

Demonstrații[modificare | modificare sursă]

Folosind teorema sinusurilor[modificare | modificare sursă]

Folosind teorema sinusurilor în triunghiurile ABD și ACD din desenul de mai sus:

Unghiurile ∠ ADB și ∠ ADC sunt suplementare, cu consecința că sinusurile lor sunt egale:

Unghiurile ∠ DAB și ∠ DAC sunt egale, așadar rapoartele de sinusuri din partea dreaptă a egalităților de mai sus egale ceea ce implică egalitatea rapoartelor de lungimi din partea stângă.

care e enunțul căutat.

Folosind raporturi de arii[modificare | modificare sursă]

Se folosește raportul ariilor triunghiurilor formate de o bisectoare, exprimat în două moduri, cu două perechi diferite de baze și înălțimi.

Fie înălțimea triunghiurilor corespunzătoare bazei și jumătatea unghiului din . Atunci din desenul alăturat reiese:

Considerând înălțimile corespunzătoare laturilor AB și AC ale unghiului bisectat luate ca baze reiese pentru raportul ariilor:

Din a doua egalitate împreună cu prima egalitate reiese concluzia căutată despre raportul dorit al segmentelor:

Folosind înălțimi în diviziunea triunghiului inițial[modificare | modificare sursă]

Bisekt.svg

Fie un punct D pe latura BC intre B și C și AD o ceviană oarecare, nu înălțime, B1 piciorul înălțimii din B pe AD, C1 piciorul înălțimii prin C pe AD.

Din asemănarea triunghiurilor formate cu picioarele înălțimilor

Când AD e bisectoare sinusurile din raportul din dreapta se simplifică datorită egalității unghiurilor și reiese enunțul căutat.

Folosind numere complexe sau o reprezentare în coordonate carteziene[modificare | modificare sursă]

Punctelor A și D pot fi asociate numerelor complexe 0 și 1. Atunci numerele complexe b si c vor fi asociate punctelor B și C astfel:

b = AB.( cos(θ) + i.sin(θ) ),
c = AC.( cos(θ) - i.sin(θ) ) ; aici am folosit faptul că AD este bisectoare.

Un punct de pe segmentul BC are numărul complex asociat:

λ.b + (1 - λ).c = partea reală + i.sin(θ).[ λ.AC + λ.AB - AC ] unde λ este un număr real dat de egalitatea:
λ = DC / ( BD + DC )

Cerând ca acest punct de pe segmentul BC să se afle și pe bisectoare, partea imaginară a numărului complex asociat trebuie să fie nulă, de unde reiese:

λ = AC / ( AB + AC )

Eliminând λ între cele două ecuații precedente va rezulta egalitatea cerută.

Vezi și[modificare | modificare sursă]

Legături externe[modificare | modificare sursă]