Rădăcină a unității

Reprezentarea grafică a celor cinci rădăcini de ordinul cinci ale unității

În analiza complexă, rădăcinile unității (numite uneori și numerele lui de Moivre) sunt acele numere complexe care, ridicate la o putere cu exponent număr natural n, dau ca rezultat unitatea. Studiul acestora apare în contextul calculării rădăcinii de ordinul n a unui număr complex oarecare.

Un astfel de număr $z\in \mathbb {C}$ este soluție a ecuației binome:

$z^{n}=1.$

Utilizând formula lui Moivre, se constată că rădăcinile de ordinul n ale unității sunt de forma:

$\varepsilon _{k}=\cos {\frac {2k\pi }{n}}+i\sin {\frac {2k\pi }{n}},\;k\in \{0,1,2,\cdots ,n-1\}$

Sunt situate geometric pe cercul unitate cu centru în origine.

Izomorfism între grupul multiplicativ al rădăcinilor de ordin cinci ale unității și grupul rotațiilor pentagonului echilateral

Cazuri particulare

• $n=1\;\;\;\;\varepsilon =\varepsilon _{0}=1$
• $n=2\;\;\;\;\varepsilon _{0}=1,\;\varepsilon _{1}=-1$
• $n=3\;\;\;\;\varepsilon _{0}=1,\;\varepsilon _{1}=-{\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}},\;\varepsilon _{2}=-{\frac {1}{2}}-i{\frac {\sqrt {3}}{2}}$
• $n=4\;\;\;\;\varepsilon _{0}=1,\;\varepsilon _{1}=i,\varepsilon _{2}=-1,\;\varepsilon _{3}=-i$

Rădăcinile unui număr complex oarecare

Cea mai importantă aplicație a rădăcinilor unității o constituie calculul rădăcinilor unui număr complex oarecare. Fie acesta $z=x+iy,\;x,y\in \mathbb {R} ,$ care se va scrie sub formă trigonometrică:

$z=\rho (\cos \theta +i\sin \theta ),$

unde $\rho =|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ este modulul numărului, iar $\theta =\arctan {\frac {y}{x}}.$

Atunci rădăcinile de ordinul n ale numărului z sunt de forma:

$w_{k}={\sqrt[{n}]{|z|}}\cdot \left[\cos \left({\frac {\theta }{n}}+{\frac {2k\pi }{n}})+i\sin({\frac {\theta }{n}}+{\frac {2k\pi }{n}}\right)\right].$