Geometrie analitică

Geometria analitică (sau geometria carteziană) reprezintă o modalitate de abordare a geometriei cu ajutorul algebrei. Figurile geometrice sunt definite cu ajutorul ecuațiilor sau inecuațiilor, iar rezolvarea problemelor se face pur algebric. Pentru aceasta, planul și spațiul trebuie să fie dotate cu sisteme de coordonate carteziene.

Axa numerelor reale

Geometrie analitică este o ramură a matematicii, a cărui obiect este studiul elementelor geometrice, dar utilizând calculul algebric. Apariția ei are loc în sec. XVII, sub impulsul cercetărilor lui Johannes Kepler în astronomie și ale lui Galileo Galilei în mecanică, aceștia descoperind curbele de gradul doi (elipsa în primul caz și parabola, în cel de al doilea). Aceste figuri geometrice nu mai prezentau doar un inters ca și curbe în sine, ci și ca traiectorii ale mișcării corpurilor, atât planete cât și ghiulele de tun. Scopul geometriei analitice este de a asocia fiecărei figuri geometrice o ecuație algebrică. În cazul curbelor din plan această ecuație are două necunoscute, iar în cazul suprafețelor din spațiu, ecuația asociată este cu trei necunoscute.

Istoric

Matematicianului antic grec Menaechmus (Menechmus) (380 î.Hr. - 320 î.Hr.) i se atribuie (de către Platon) descoperirea secțiunilor conice parabola și hiperbola cu ajutorul cărora a rezolvat problema duplicării cubului.^[1] Apollonius din Perga^[2] (262 î.Hr. - 190 î.Hr.), în lucrarea sa, De sectione determinata (Διωρις μενη τομη), rezolvă probleme în modalitatea care astăzi ar fi numită geometrie analitică unidimensională. În scrierea Conicele, Apollonius dezvoltă metoda analitică, anticipând astfel scrierile lui René Descartes (1596 - 1650) la o distanță de 18 secole!^[3] Matematicianul persan Omar Khayyám (1048 - 1131) a rezolvat ecuația cubică folosind intersecția dintre parabolă și cerc.^[4]

Pasul decisiv a fost realizat de către Descartes, de numele căruia este legată descoperirea și introducerea geometriei analitice.^[5] Celebra sa lucrare Discurs despre metodă, conține un capitol intitulat chiar Geometrie.

Geometrie analitică plană

În cele ce urmează, considerăm planul înzestrat cu un reper $(O,{\vec {i}},{\vec {j}})$ , iar x și y sunt coordonatele punctului (abscisa și ordonata).

Punctul

Punctul poate fi reprezentat printr-un sistem de două ecuații de gradul întâi cu două necunoscute:

${\begin{cases}x=a\\y=b\end{cases}}$

Dreapta

Dreapta poate fi reprezentată printr-o ecuație de gradul întâi cu două necunoscute:

ax+by+c=0\,

.

Ecuația dreptei de pantă m care trece prin punctul A(x₀,y₀) este

y-y_{0}=m(x-x_{0}),m\in \mathbb {R}

Ecuația dreptei care trece prin două puncte diferite A(x₀,y₀), B(x₁,y₁) este

d:{\begin{vmatrix}x&y&1\\x_{0}&y_{0}&1\\x_{1}&y_{1}&1\end{vmatrix}}=0

și poate fi scrisă sub forma

{\frac {y-y_{0}}{y_{1}-y_{0}}}={\frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}

,

dacă $y_{1}\neq y_{0},x_{1}\neq x_{0}$ .

Fie dreptele d: ax + by + c = 0 și d^': a^'x + b^'y + c^' = 0.

Dacă ${\frac {a}{a^{'}}}\neq {\frac {b}{b^{'}}}$ , atunci d și d^' sunt concurente; dacă ${\frac {a}{a^{'}}}={\frac {b}{b^{'}}}={\frac {c}{c^{'}}}$ , atunci d=d^'; dacă ${\frac {a}{a^{'}}}={\frac {b}{b^{'}}}\neq {\frac {c}{c^{'}}}$ , atunci $d\|d^{'}$ .
Distanța de la punctul M(x₀,y₀) la dreapta d: ax + by + c = 0 este $d={\frac {|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

Formule

Distanța dintre punctele $P_{1}(x_{1},y_{1})\,$ și $P_{2}(x_{2},y_{2})\,$ :

d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}

Mijlocul segmentului ${\overline {P_{1}P_{2}}}$ este dat de:

M\;{\begin{cases}x={\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}\\y={\frac {y_{1}+y_{2}}{2}}\end{cases}}

Centrul de greutate al triunghiului cu vârfurile $P_{1}(x_{1},y_{1}),\;P_{2}(x_{2},y_{2}),\;P_{3}(x_{3},y_{3})\,$ :

G

{\begin{cases}x={\frac {x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}}\\y={\frac {y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}}\end{cases}}

Suprafața triunghiului $P_{1}P_{2}P_{3}\,$ :

S={\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}1&1&1\\x_{1}&x_{2}&x_{3}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\end{vmatrix}}

Geometrie analitică în spațiu

Punctul

Punctul este reprezentat prin sistemul:

{\begin{cases}x=a\\y=b\\z=c\end{cases}}

Planul

Planul poate fi reprezentat printr-o ecuație de forma:

ax+by+cz+d=0\,

Vectorul de poziție cu coordonatele (A, B, C) este perpendicular pe planul Ax+By+Cz+D=0.

Ecuația planului care trece prin punctul (x₀,y₀,z₀) este A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀)=0.

Ecuația planului care trece prin 3 puncte necoliniare A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂),C(x₃, y₃, z₃) este $d:{\begin{vmatrix}x&y&z&1\\x_{1}&y_{1}&z_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&z_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&z_{3}&1\end{vmatrix}}=0$ . Condiția de necoliniaritate a trei puncte de coordonate (x₁,y₁,z₁), (x₂,y₂,z₂),(x₃,y₃,z₃) este $d:{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&z_{1}\\x_{2}&y_{2}&z_{2}\\x_{3}&y_{3}&z_{3}\end{vmatrix}}\neq 0$ .

Două plane p:Ax+By+Cz+D=0 și p^'=A^'x+B^'y+C^'z+D^'=0 cu ${\frac {A}{A^{'}}}\neq {\frac {B}{B^{'}}}$ sau ${\frac {B}{B^{'}}}\neq {\frac {C}{C^{'}}}$ sau ${\frac {A}{A^{'}}}\neq {\frac {C}{C^{'}}}$ se intersectează după o dreaptă.

Dreapta

Dreapta în spațiu poate fi considerată ca intersecția a două plane:

{\begin{cases}{a_{1}}x+{b_{1}}y+{c_{1}}z=0\\{a_{2}}x+{b_{2}}y+{c_{2}}z=0\end{cases}}

Ecuațiile parametrice ale dreptei determinată de punctul M₀(x₀,y₀,z₀) și vectorul director ${\vec {v}}(l,m,n)$ sunt : $d:={\begin{cases}x=x_{0}+\lambda \cdot l\\y=y_{0}+\lambda \cdot m\\z=z_{0}+\lambda \cdot n\end{cases}}$ , unde $\lambda \in \mathbb {R}$ .

Dreapta determinată de punctul M₀(x₀,y₀,z₀) și vectorul director ${\vec {v}}(l,m,n)$ poate fi descrisă prin ecuațiile canonice:

{\frac {x-x_{0}}{l}}={\frac {y-y_{0}}{m}}={\frac {z-z_{0}}{n}}

.

Fie dreptele d₁ și d₂ date prin ecuațiile canonice ${\frac {x-x_{1}}{l_{1}}}={\frac {y-y_{1}}{m_{1}}}={\frac {z-z_{1}}{n_{1}}}$ și, respectiv, ${\frac {x-x_{2}}{l_{2}}}={\frac {y-y_{2}}{m_{2}}}={\frac {z-z_{2}}{n_{2}}}$ . Unghiul $\psi$ format de dreptele d₁ și d₂ este dat de formula:

\cos \psi ={\frac {l_{1}\cdot l_{2}+m_{1}\cdot m_{2}+n_{1}\cdot n_{2}}{{\sqrt {l_{1}^{2}+m_{1}^{2}+n_{1}^{2}}}\cdot {\sqrt {l_{2}^{2}+m_{2}^{2}+n_{2}^{2}}}}}

.

Formule

Distanța dintre două puncte $P_{1}(x_{1},y_{1},z_{1}),\;P_{2}(x_{2},y_{2},z_{2})$ :

d={\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}+(z_{1}-z_{2})^{2}}}

Mijlocul segmentului ${\overline {{P_{1}}{P_{2}}}}$ :

M\;{\begin{cases}x={\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}\\y={\frac {y_{1}+y_{2}}{2}}\\z={\frac {z_{1}+z_{2}}{2}}\end{cases}}

Centrul de greutate al triunghiului $P_{1}P_{2}P_{3}\,$ are coordonatele:

G

{\begin{cases}x={\frac {x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}}\\y={\frac {y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}}\\z={\frac {z_{1}+z_{2}+z_{3}}{3}}\end{cases}}

Poziția relativă a unei drepte față de un plan

Fie $d:{\frac {x-x_{0}}{l}}={\frac {y-y_{0}}{m}}={\frac {z-z_{0}}{n}}$ și $P:Ax+By+Cz+D=0$ .

1) Dacă $Al+Bm+Cn\neq 0,d$ intersectează planul într-un punct.

2) Dacă $Al+Bm+Cn=0$ și $Ax_{0}+By_{0}+Cz_{0}+D\neq 0$ atunci $d\|P$ .

3) Dacă $Al+Bm+Cn=0$ și $Ax_{0}+By_{0}+Cz_{0}+D=0$ atunci $d\subset P$ .

Unghiul format de o dreaptă cu un plan

Fie dreapta d dată de ecuațiile: ${\frac {x-x_{0}}{l}}={\frac {y-y_{0}}{m}}={\frac {z-z_{0}}{n}}$ și planul P dat de ecuația $Ax+By+Cz+D=0$ . Fie $\psi$ unghiul dintre dreapta d și planul P.

Avem $\sin \psi ={\frac {|Al+Bm+Cn|}{{\sqrt {l^{2}+m^{2}+n^{2}}}\cdot {\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}}$ .

Note

^ Cooke, Roger - The History of Mathematics, John Wilet & Sons, Inc., 1991. ISBN 0-471-54397-7.
^ Acestui matematician grec i se atribuie folosirea, pentru prima dată, a denumirilor elipsă, hiperbolă, parabolă.
^ Boyer, Carl B. - "Apollonius of Perga", A History of Mathematics, John Wilwy & Sons, Inc., 1991. ISBN 0-471-54397-7.
^ Glen M. Cooper - Omar Khayyám, the mathematician, The Journal of the American Oriental Society 123, 2003.
^ Stillwell John - "Analytic Geometry", Mathematics and its History, Springer Science + Business Media Inc., 2004. ISBN 0-387-95336-1.

Bibliografie

Bobancu, V. - Dicționar de matematici generale, Editura Enciclopedică Română, București, 1974
Creangă, I. - Curs de geometrie analitică, Editura Tehnică București, 1951
Ghioca, A., Anghelescu, N., Streinu-Cercel, G. - Matematică - manual pentru clasa a XII - a, Editura Sigma, București, 2002
Mihăileanu, N.- Geometrie analitică, proiectivă și diferențială, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1972
Savu, I., Stoica, A. - Bacalaureat la matematică, Editura GIL, București, 2006

Vezi și

Legături externe

[1] Cooke, Roger - The History of Mathematics, John Wilet & Sons, Inc., 1991. ISBN 0-471-54397-7.

[2] Acestui matematician grec i se atribuie folosirea, pentru prima dată, a denumirilor elipsă, hiperbolă, parabolă.

[3] Boyer, Carl B. - "Apollonius of Perga", A History of Mathematics, John Wilwy & Sons, Inc., 1991. ISBN 0-471-54397-7.

[4] Glen M. Cooper - Omar Khayyám, the mathematician, The Journal of the American Oriental Society 123, 2003.

[5] Stillwell John - "Analytic Geometry", Mathematics and its History, Springer Science + Business Media Inc., 2004. ISBN 0-387-95336-1.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]