Spațiu metric

În matematică, prin spațiu metric se înțelege orice mulțime X pe care este definită o funcție $d:X\times X\to [0,\infty )$ ce satisface proprietățile:

• $d(x,y)\geq 0$ (d este pozitiv definită)
• $d(x,y)=0$ dacă și numai dacă $x=y$ (d satisface identitatea indiscernabililor)
• $d(x,y)=d(y,x)\,,\ \forall x,y\in X$ (d este simetrică)
• $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)\,,\ \forall x,y,z\in X$ (inegalitatea triunghiului)

Orice funcție d cu proprietățile de mai sus se numește funcție distanță sau metrică.

Exemple importante

• mulțimile numerelor naturale, întregi, raționale, reale, complexe, împreună cu funcția distanță definită ca $d(x,y)=|x-y|$
• orice spațiu vectorial normat, cu distanța indusă de normă: $d(x,y)=\|x-y\|$
  • în particular, spațiul $\mathbb {R} ^{n}$ cu distanța euclidiană $d(x,y)={\sqrt {(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}+\ldots +(x_{n}-y_{n})^{2}}}$,

unde $x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$.

Bile

Prin bila deschisă de centru $x\in X$ și de rază $r\in (0,\infty )$, notată $B(x,r)$, se înțelege mulțimea punctelor a căror distanță până la x este strict mai mică decât r: $B(x,r)=\{y\in X|d(x,y)<r\}$. Bila închisă de centru x și rază r, notată ${\tilde {B}}(x,r)$ sau, uneori, ${\overline {B}}(x,r)$, este ${\tilde {B}}(x,r)=\{y\in X|d(x,y)\leq r\}$.

De notat că, în raport cu topologia indusă de metrică (vezi secțiunea următoare), orice bilă deschisă este o mulțime deschisă și orice bilă închisă este o mulțime închisă. În orice spațiu metric are loc ${\tilde {B}}(x,r)\subseteq {\overline {B}}(x,r)$, unde ${\overline {M}}$ desemnează închiderea topologică a mulțimii M. În spațiile normate finit-dimensionale, de exemplu în $\mathbb {R}$, $\mathbb {R} ^{n}$, $\mathbb {C}$ și $\mathbb {C} ^{n}$, are loc egalitatea ${\tilde {B}}(x,r)={\overline {B}}(x,r)$.

Topologia indusă de metrică

Orice metrică induce o topologie pe mulțimea de puncte. Astfel, orice spațiu metric este și spațiu topologic. Topologia indusă de metrică este definită astfel (oricare din cele două variante sunt echivalente):

• O submulțime $A\subseteq X$ a spațiului este deschisă dacă pentru orice punct al ei există o bilă centrată în acel punct și de rază nenulă inclusă în A ($\forall x\in A,\exists r>0\,:\ B(x,r)\subseteq A$)
• O submulțime $V\subseteq X$ este vecinătate a punctului $x\in X$ dacă V include cel puțin o bilă de rază nenulă centrată în x:$\exists r>0\,:\ B(x,r)\subseteq V$

Echivalența metricilor

Pe o aceeași mulțime se pot defini mai multe funcții distanță, rezultând structuri de spațiu metric distincte pe aceeași mulțime de bază. Două funcții distanță, $d_{1}$ și $d_{2}$ definite pe aceeași mulțime $X$ se numesc:

• echivalente topologic dacă induc aceeași topologie pe $X$, adică dacă orice vecinătate în raport cu $d_{1}$ este vecinătate și în raport cu $d_{2}$
• echivalente Lipschitz dacă există două constante reale pozitive $a,b\in (0,\infty )$ astfel încât $\forall x,y\in X\,,\ a\cdot d_{1}(x,y)\leq d_{2}(x,y)\leq b\cdot d_{1}(x,y)$

Două metrici Lipschitz-echivalente sunt întotdeauna echivalente topologic; reciproca nu este însă adevărată totdeauna.

Spații metrice complete

Un spațiu metric se numește complet dacă orice șir Cauchy este convergent.

De exemplu, mulțimea numerelor raționale nu este spațiu metric complet deoarece șirul $x_{n}=\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$ este fundamental fără a fi convergent (același șir, în mulțimea numerelor reale este convergent și are ca limită numărul e. În schimb, mulțimea numerelor reale este spațiu metric complet.

Alte exemple

1. Fie $(G,+)$ un grup comutativ și $p:G\rightarrow \mathbb {R} _{+}$ o funcție ce satisface proprietățile:

1. $p(x)=0\;\Leftrightarrow \;x=0;$
2. $p(-x)=p(x),\;\forall x\in G;$
3. $p(x+y)\leq p(x)+p(y),\;\forall x,y\in G.$

Atunci aplicația $d:G\times G\rightarrow \mathbb {R} ,\;d(x,y)=p(x-y),\;\forall x,y\in G$ este o metrică pe G.

2. Următoarele aplicații sunt distanțe pe $\mathbb {N} :$

1. $d:\mathbb {N} \times \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {R} _{+},\;d(m,n)=|m-n|,\;\forall m,n\in \mathbb {N} .$
2. $d:\mathbb {N} ^{*}\times \mathbb {N} ^{*}\rightarrow \mathbb {R} _{+},\;d(m,n)=\left|{\frac {1}{m}}-{\frac {1}{n}}\right|,\;\forall m,n\in \mathbb {N} ^{*}.$
3. $d:\mathbb {N} \times \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {R} _{+},\;d(m,n)=\left|{\frac {m}{1+m}}-{\frac {n}{1+n}}\right|,\;\forall m,n\in \mathbb {N} .$