Lucru mecanic

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

Lucrul mecanic este o mărime fizică definită ca produsul dintre componenta forței care acționează asupra unui corp în direcția deplasării punctului ei de aplicație și mărimea drumului parcurs. [1] E o mărime ce caracterizează schimbarea stării dinamice a sistemului. Lucrul mecanic este o mărime fizică derivată, scalară, extensivă în raport cu drumul, având caracter de mărime de transformare legată de variația mărimii de stare energie. Analitic, lucrul mecanic elementar efectuat pentru un drum infinitezimal  \scriptstyle d \vec r se definește ca produsul scalar al forței și deplasării (drumului infinitezimal): \scriptstyle  \delta L=\vec F \cdot d \vec r = F\,dr \cdot \cos \alpha . În general, lucrul mecanic nu admite diferențială totală exactă decât în anumite cazuri speciale cum ar fi mișcarea sub acțiunea forțelor conservative.

Terminologie[modificare | modificare sursă]

Termenul de lucru (în franceză travail) al unei forțe a fost utilizat pentru prima oară într-un articol din 1826 al matematicianului și inginerului mecanic francez Gaspard-Gustave Coriolis și apoi în cartea Du calcul de l'effet des machines din 1829 a aceluiași autor.[2][3]Înainte de denumirea dată de Coriolis, Carnot se referea la acest concept cu numele putere motrice în lucrarea sa din 1824 Despre puterea motrice a focului (Sur la puissance motrice du feu). Denumirea de lucru mecanic a fost introdusă de Jean-Victor Poncelet.

Variația energiei unui sistem[modificare | modificare sursă]

Efectuarea unui lucru mecanic asupra unui (respectiv, de către un) sistem fizic duce la modificarea energiei sistemului cu o cantitate egală cu lucrul mecanic efectuat asupra sistemului (respectiv, de către sistem). Așadar, lucrul mecanic este o formă a schimbului de energie între un sistem și lumea înconjurătoare. [4]

Definirea matematică generală[modificare | modificare sursă]

Lucrul mecanic al unei forțe necoliniare cu deplasarea.

Pentru o forță constantă \vec F care își deplasează punctul de aplicație după un segment de dreaptă \vec{s}, lucrul mecanic efectuat L este egal cu produsul scalar:

 L=\vec F \cdot \vec s = F\,s \cdot \cos \alpha  (3.1)

unde α este unghiul dintre direcția forței și direcția de deplasare. Lucrul mecanic este pozitiv dacă punctul de aplicație se deplasează în același sens cu forța (α<90°), negativ dacă punctul de aplicație se deplasează în sens invers forței (α>90°) și nul dacă punctul de aplicație este fix sau se deplasează perpendicular pe direcția forței (α=90°).

În cazul general, lucrul mecanic este definit ca o integrală curbilinie: [5]

 L = \int_{P1}^{P2} \vec F \mathrm{d} \vec s = \int_{P1}^{P2} F \mathrm{d} s \cos \alpha  (3.2)

unde \vec s este vectorul de poziție al punctului de aplicație al forței, iar P1 și P2 sunt pozițiile inițială și finală ale deplasării.

Folosind exprimarea analitică a vectorilor \vec F și d \vec r \! în funcție de proiecțiile vectorilor pe axele unui sistem cartezian Oxyz:

\vec F = \vec i F_x + \vec j F_y + \vec k F_z; \; \; d \vec s = \vec i dx + \vec j dy + \vec k dz  (3.3)

expresia (3.2) devine:

 dL = F_x dx + F_y dy + F_z dz  (3.4)

În funcție de viteza \vec v =\dot { \vec s}, \! expresia lucrului mecanic elementar este:


 d  L = \vec F \cdot \vec v \cdot dt = (F_x \dot x + F_y \dot y + F_z \dot z) dt.  (3.5)

Proprietăți[modificare | modificare sursă]

a) este o mărime scalară având ca unitate de măsură în sistemul internațional SI joule-ul (J) și în sistemul tehnic kilogram - forță - metrul (kgf.m);

b) este pozitiv când \angle (\vec F \cdot d \vec r) = \alpha \in (0, \frac {\pi}{2}) \! și poartă în acest caz numele de lucru mecanic motor

c) este negativ când \angle (\vec F \cdot d \vec r) = \alpha \in ( \frac {\pi}{2}, \pi) \! și poartă în acest caz numele de lucru mecanic rezistent

d) este nul când \alpha = \frac {\pi}{2} \!

e) dacă deplasarea d \vec r \! este compusă din n deplasări elementare:

 d \vec r = d \vec r_1 + d \vec r_2 + \cdots d \vec r_n  (4.1)

atunci:

 dL = \vec F \cdot d \vec r = \vec F \cdot d \vec r_1 + \vec F \cdot d \vec r_2 + \cdots + \vec F \cdot d \vec r_n  (4.2)

Deci: lucrul mecanic elementar corespunzător unei deplasări compuse este egal cu suma lucrurilor mecanice elementare aferente deplasărilor componente;

f) dacă forța F reprezintă rezultanta unică a unui sistem de forțe:

 \vec F = \vec F_1 + \vec F_2 + \cdots + \vec F_n  (4.3)

atunci lucrul mecanic este:

 dL = \vec F \cdot d \vec r = \vec F_1 \cdot d \vec r + \vec F_2 \cdot d \vec r + \cdots + \vec F_n \cdot d \vec r  (4.4)

Adică, lucrul mecanic elementar corespunzător rezultantei unui sistem de forțe este egal cu suma algebrică a lucrurilor mecanice elementare ale forțelor componente.

Lucrul mecanic în cazul forțelor conservative[modificare | modificare sursă]

În cazul în care forța F este conservativă, expresia acesteia este:

 \vec F = \nabla U = \frac{\partial U}{\partial x} \vec i +\frac{\partial U}{\partial y} \vec j +\frac{\partial U}{\partial z} \vec k = \mathit {grad} U,  (5.1)

unde U(x, y, z) \! este funcția de forță.

Funcția de forță este o funcție scalară de coordonatele punctului, cu ajutorul căreia se pot determina componentele forței astfel:

 \begin{cases} F_x = \frac{\partial U}{\partial x} \\ \\  F_y = \frac{\partial U}{\partial y} \\  \\ F_z = \frac{\partial U}{\partial z}    \end{cases}  (5.2)

Pentru a exista o funcție de forță trebuie îndeplinite condițiile lui Cauchy, care sunt :

\frac{\partial F_x}{\partial y} = \frac{\partial F_y}{\partial x}; \!     \frac{\partial F_y}{\partial z} = \frac{\partial F_z}{\partial y}; \!     \frac{\partial F_z}{\partial x} = \frac{\partial F_x}{\partial z} \!  (5.3)

Lucrul mecanic elementar este:

dL = \vec F \cdot d \vec r = \frac {\partial U}{\partial x} dx + \frac {\partial U}{\partial y} dy + \frac {\partial U}{\partial z} dz = dU  (5.4)
dL=dU  (5.5)

Lucrul mecanic total este:

L_{A-B} = \int_{AB} \vec F d \vec r = \int_A^B dU = U_B-U_A  (5.6)

unde U_A = U(x_A, y_A, z_A) \! și U_B = U(x_B, y_B, z_B) \! sunt funcțiile de forță corespunzătoare pozițiilor inițială și finală.


Rezultă că: lucrul mecanic total în cazul unei forțe conservative depinde numai de pozițiile inițială și finală ale punctului, fiind independent de forma traiectoriei. În locul funcției U, se poate considera funcția V, numită și funcție potențială și definită prin relația: V = -U . În acest caz, lucrul mecanic elementar are expresia dL = -dV .

Funcția de forță U și funcția potențială V nu pot fi determinate decât cu aproximația unei constante.

Dacă un punct material este acționat simultan de un sistem de forțe conservative \vec F_1, \vec F_2, \cdots , \vec F_n \! care derivă din funcțiile de forță U_1, U_2, \cdots , U_n, \! astfel încât:

\begin{matrix} F_{x1} = \frac{\partial U_1}{\partial x} &  F_{y1} = \frac{\partial U_1}{\partial y} & F_{z1} = \frac{\partial U_1}{\partial z} \\ \\ F_{x2} = \frac{\partial U_2}{\partial x} & F_{y2} = \frac{\partial U_2}{\partial y} & F_{z2} = \frac{\partial U_2}{\partial z} \\ \\ \cdots & \cdots & \cdots \\  \\  F_{xn} = \frac{\partial U_n}{\partial x} & F_{yn} = \frac{\partial U_n}{\partial y} & F_{zn} = \frac{\partial U_n}{\partial z}  \end{matrix}  (5.7)

Rezultanta \vec R = \vec F_1 + \vec F_2 + \cdots + \vec F_n \! va avea proiecțiile:

F_x = \frac{\partial (U_1+U_2+ \cdots + U_n)}{\partial x} \!

F_y = \frac{\partial (U_1+U_2+ \cdots + U_n)}{\partial y} \!

F_z = \frac{\partial (U_1+U_2+ \cdots + U_n)}{\partial z} \!
 (5.8)

adică rezultanta  \vec R \!  derivă din funcția de forță  U= U_1 + U_2 + \cdots + U_n. \! Un astfel de sistem de forțe se numește sistem conservativ.

Cazuri particulare[modificare | modificare sursă]

Lucrul mecanic efectuat de o forță conservativă nu depinde de drumul efectuat de punctul material supus acțiunii acelei forțe, ci numai de pozițiile extreme ale traiectoriei. Exemple de forțe conservative: greutatea, forța elastică, forța electrostatică.

Greutatea[modificare | modificare sursă]

Lucrul mecanic al forței de greutate are expresia:

 L = mgh,  (6.1.1)

unde:

De remarcat faptul că h este negativ când corpul urcă, în care caz  L<0.

Forța elastică[modificare | modificare sursă]

Forța elastică ce apare la deformarea unui resort este o forță centrală care are la origine o deformație elastică a unui mediu, proporțională cu deformația x, dar de sens contrar:

 \vec \mathbf F = - k \vec \mathbf x.  (6.2.1)

Lucrul mecanic al forței elastice atunci când resortul se deformează de la 0 la x este:

 L = \int_0^x F(x) dx = \int_0^x (-kx) dx = -\frac {kx^2}{2}.  (6.2.2)

Lucrul mecanic în câmp electric[modificare | modificare sursă]

Lucrul mecanic al sarcinii electrice.png

Se consideră câmpul electric generat de sarcina Q, în care se deplasează sarcina de probă  q_0 . Lucrul mecanic efectuat de forța electrostatică ce acționează asupra sarcinii de probă este:

 L_{AB} = \int_A^B \vec {F_0} \cdot d \vec R = \frac {1}{4 \pi \epsilon} \int_A^B \frac {\vec R \cdot d \vec R}{R^3},  (6.3.1)

unde

  •  \vec R = x \vec i + y \vec j + z \vec k= vectorul de poziție al sarcinii  q_0 , considerate punctuale;
  •  d \vec R = dx \cdot \vec  i +dy \cdot \vec j + dz \cdot \vec k= vectorul deplasare al sarcinii;
  •  \epsilon = permitivitatea mediului.

Rezultă:

 L_{AB} = \frac {Qq_0}{4 \pi \epsilon} \int_A^B \frac {dR}{R^2} = \frac {Qq_0}{4 \pi \epsilon} \left (  \frac {1}{R_a} - \frac {1}{R_b} \right ).  (6.3.2)

Această formulă sevește la definirea potențialului electric.

Formulă dimensională și unități de măsură[modificare | modificare sursă]

Conform analizei dimensionale, formula dimensională pentru lucru mecanic se scrie sub forma:

 [ L ]=  [F][s]= M \cdot L^2 \cdot T^{-2}

Adică, dimensiunea fizică a lucrului mecanic este masă ori lungime la pătrat ori timpul la puterea minus doi.

În Sistemul Internațional de Măsuri forța se măsoară în newtoni și lungimea în metri, rezultă că unitatea de măsură pentru lucru mecanic este:

 [ L ]_{SI}=  [F]_{SI}[s]_{SI}= N \cdot m = J (joule)

În SI, lucrul mecanic se măsoară deci în joule, notat prin litera J, care este egal cu newton ori metru. Lucrul mecanic de un joule este efectuat de o forță de un newton, atunci când produce o deplasare de un metru a punctului său de aplicație paralel și în același sens cu vectorul forță .

În sistemul de măsuri tolerat, cgs, unitatea de măsură este \scriptstyle [ L ]_{cgs}= [F]_{cgs}[s]_{cgs}=dyn\cdot cm= erg, transformarea dintre cele două unități este dată de relația: \scriptstyle 1 J=10^7 erg sau reciproc: \scriptstyle 1 erg=10^{-7} J.

Note[modificare | modificare sursă]

  1. ^ Academia Republicii Populare Române Dicționar Enciclopedic Român, Editura Politică, București, 1962-1966
  2. ^ Jammer, Max (1957). Concepts of Force. Dover Publications, Inc.. ISBN 0-486-40689-X 
  3. ^ Sur une nouvelle dénomination et sur une nouvelle unité à introduire dans la dynamique, Académie des sciences, August 1826
  4. ^ Țițeica, p. 35
  5. ^ Răduleț, R. și colab. Lexiconul Tehnic Român, Editura Tehnică, București, 1957-1966.

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

  • Șerban Țițeica: Termodinamica, Editura Academiei Republicii Socialiste România, București, 1982.
  • George C. Moisil: Termodinamica, Editura Academiei RSR, București, 1988.
  • Stoian Petrescu: Principiile termodinamicii, Editura Tehnică, București, 1986.
  • Eugen Toma: Introducere în astrofizică, Editura Tehnică, București, 1980
  • Ion M. Popescu: Fizica - Termodinamica, Editura Politehnica Press, București, 2002

Vezi și[modificare | modificare sursă]